数学王国历险记

第十四届“希望杯”培训题解答题的第一题如下： 设x，y，z∈R^＋且x＋y＋z=1．     

关于一道数学竞赛试题

利用加权幂平均不等式的等价形式求解一类条件极值问题．     

关于一道数学竞赛试题

利用加权幂平均不等式的等价形式求解一类条件极值问题.     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 找到所有映射f：R→R，满足，f（f（x）＋y）=f（x^2-y）＋4f（x）y。     

数学竞赛之窗

本期给出单墫先生的“评2002年全国高中数学联赛”．     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了美国第33届数学奥林匹克试题及解答。本文将第二天其中的第5题给出推广。     

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

数学开放性试题三例

开放性试题是近几年高考新出现的题型 ,主要类型有三类 :条件开放 ,结论开放 ,条件与结论同时开放 .对于此类型题型在解答时 ,思维较灵活 .有时图 1　例 1图要从条件探求结论 ,而且结论又不唯一 ;有时又要从结论出发逆向探求条件 ,而且结论不唯一 ;有时又要根据题意自己去探求条件和结论 ,而且两者都不是唯一情形 .以下举例说明 .1　条件开放 ,结论确定题型例 1　如图 1,在正四棱椎ＡＢＣＤ Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是棱ＣＣ1、Ｃ1Ｄ1、Ｄ1Ｄ、ＤＣ的中点 ,Ｎ是ＢＣ的中点 ,点Ｍ在四边形ＥＦＧＨ及其内部运动 ,则Ｍ只需满足条件…     

一道数学奥林匹克试题的再推广

2005年全国高中数学联赛加试第二大题的等价问题．     

世界各地数学奥林匹克试题选析

1　是否存在一个这样的函数 ｆ(ｘ) ,它不是多项式且对任意实数ｘ有(ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 ) =4ｘ(ｘ2 - 1 ) ?解　答案是肯定的 .任取函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 +ｘｋ(ｘ) ,这里ｋ(ｘ)是定义在Ｒ上的一个有界的、非常数、周期为 2的函数 (例 ,ｋ(ｘ) =ｓｉｎ(πｘ) ,ｋ(ｘ) =ｘ - [ｘ],… ) ,对这样的ｆ(ｘ) 和任意实数ｘ有　 (ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 )=(ｘ - 1 ) (ｘ + 1 ) 3 - (ｘ + 1 ) (ｘ - 1 ) 3 +(ｘ2 - 1 ) (ｋ(ｘ + 1 ) -ｋ(ｘ - 1 ) )=4ｘ(ｘ2 - 1 ) + 0　 (因为ｋ(ｘ)的周期为 2 ) .2　 (圣…     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

趣味数学一则

如图1所示，0是四面体ABCD内部一点，记VA=Vo-ACD，     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1（2000年俄罗斯数学奥林匹克）求证：存在10个不同的实数a1，a2，…，a10使得方程（x-a1）（x-a2）…（x-a10）=（x＋a1）（x＋n2）…（x＋a10）（1）     

关于一道全国大学数学竞赛题的再议

对第五届全国大学生数学竞赛一道试题的冗余条件进行了讨论。     

注重数学观察力的训练

人们在研究创新精神和创造能力的时候 ,已经意识到发现问题比解决问题更为重要 .其实要发现首先就必须观察 ,不会观察 ,就不可以发现问题 ,更谈不上解决问题 .正如前苏联教育家苏霍姆林斯基所言 :“一个有观察力的学生 ,绝不会是学业落后或文理不通的学生 .”观察力是顺利完成各种活动所必备的基本心理能力 .数学观察力主要体现在 :学习数学概念时 ,要能舍弃非本质特征 ,抓住本质特征 ;学习数学知识时 ,要能发现知识的内在联系 ,形成知识结构或体系 ;学习数学原理时 ,要能从数学事实或现象展现中 ,掌握数学方法或规律 ;解决数学问题时 ,要能…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 求证：对任意实数a3，a4，…，a85，方程a85x^85 a84x^84 … a3x^3 3x^2 2x 1=0的根不全为实数．     

从2006年几道数学考研试题谈起

考研与平时教学应相互促进,“考研是教学的指挥棒”,因此,分析和研究每年的考研试题是很必要的,让我们从今年的几道试题谈起.一、一题六解与六题一法首先我们将2006年考研题中的一道大题作为例1,这道题至少可以用6种方法来解.例1(2006,二、四)确定A、B、C的值使ex(1 Bx Cx2)=1 Ax o(x3)(x→0)解1可以把题设等式的右边看作是左边的函数的局部泰勒展式,则A=[ex(1 Bx Cx2)]x′=0=1 B(1)0=[ex(1 Bx Cx2)]x″=0=1 2B 2C(2)0=[ex(1 Bx Cx2)]x=0=1 3B 6C(3)由(2)、(3)解得B=-23,C=16;代入(1)得A=13.解2先将ex用泰勒公式展开:ex=1 x x22 3x…