巧用均值定理求最值

<正>两个正数的均值定理是高中数学的必修内容,在不等式证明和代数式求最值中经常用到,因此要求同学们熟练掌握.首先,两个正数的均值定理是指:如果a、b∈(0,+∞),那么a+b/2≥ab^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab^(1/2)),其次,由均值定理可得:两个正数的积为常数时,当它们相等时和取得最小值;两个正数的和为常数时,当它们相等时积取得最大值.下面举例说明如何应用均值定理求代数式的最值(最大值或最小值).     

一个最值定理的应用

一个最值定理的应用１１０５湘潭大学子校傅会理从中学教材中得知，对于任意复数ｚ１，ｚ２，…，ｚπ都有｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＋…＋｜ｚｎ｜≥｜ｚ１｜＋ｚ２＋…＋ｚｎ｜．运用这个不等式求复杂函数的最小值，万法简捷．但是ｚ；，ｚ。，ｚ。，…，ｚ。满足什么条件卜；...     

一个最值定理的推广

一个最值定理的推广武延树（山东惠民师范学校２５１７００）以下定理１是大家熟知的。定理１已知Ｘ，ｙ都是正数．（１）如果和ｘ＋ｙ是定值ｓ，那么当ｘ＝ｙ时，积ｘｙ有最大值．（２）如果积ｘｙ是定值ｐ，那么当Ｘ＝ｙ时，和ｘ＋ｙ有最小值．下面给出此定理的几何意义...     

一个最值定理的再推广

对于两个正数ｘ，ｙ，有如下结论．定理１已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，ｘ＋ｙ＝ｓ，ｘｙ＝ｐ．（１）如果ｐ是定值，那么当ｘ＝ｙ时，ｓ取最小值；（２）如果ｓ是定值，那么当ｘ＝ｙ时，ｐ取最大值．应用这个定理求最值，取等号的条件是ｘ＝ｙ，比较严格．为了拓广应用范围，本刊文...     

无向图上最小树的唯一性定理

本文研究各边具非负长度的有限无向图中最小树的唯一性,得到下述定理:H为图G上唯一最小树的充要条件是对任一不属于H之边e,图H∪{e}所含之唯一圈中,e是唯一最长边. 给定无向图G=(X,U),X为顶点集合,U为边集合,对边e∈U,给定长度l(e)≥     

两个最值定理的推广

高中代数课本第二册P.88例3给出了二个最值定理: 定理1 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。定理2 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的     

多元函数的最值定理及其应用

给出多元函数最值存在的两个定理,然后通过一些实例说明它们在有界开集或无界闭集上的极值问题中的运用.     

基于高相关区域上最小角回归的华南初夏暴雨日数预测

本文研究华南地区暴雨日数与前期环流因子及外强迫因子关系,并在此基础上构建该地区暴雨日数预测模型.我们首先使用高相关区域算法选取构造特征进行变量降维,然后使用最小角回归方法对华南地区初夏暴雨日数进行预测.时间距平相关系数(TCC)、同号率(SS)、决定系数(CD)及调整的Ps评分(APs)等评分结果表明:与其它模型相比,基于高相关区域的最小角回归模型预测结果与观测值具有较强的时间相关性及较高的APs评分,这表明本文所构造方法具有较强的实用价值.     

讲多元函数最值定理的一点注记

现在一般的高等数学教材中,讲多元函数的最大值和最小值定理时,往往要求多元函数在有界闭区域D上连续(不证).这个条件当研究在曲面或曲线上连续的函数时,就用不上了.所以不如把在有界闭区域上连续改为在有界闭连通集上连续,这样定理仍正确(不证).但它对在有界闭区域、有界闭曲面或有界闭曲线上连续的函数就都能用,这才方便.请看以下例子.     

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.     

连续系数倒向随机微分方程最小解的Levi定理

本文研究了倒向随机微分方程解的连续依赖性问题.利用文献[4]中使用的方法,提出并证明了连续系数的一维倒向随机微分方程最小解的Levi定理,推广了文献[10]中的相应结果.     

F_q[x]上的素数定理和Dirichlet定理及最小范数不可约多项式

讨论了F_q[x]上的zeta函数和L函数的解析性质,并在不假定黎曼猜想的情况下,导出了F_q[x]上的多项式环及其算术级数中不可约多项式的分布.然后,通过一系列的技术性处理,给出了算术级数中不可约多项式的最小范数的估计.成功地把素数定理及Dirichlet定理推广到了F_q[x]中,最重要的是,对应于最小素数问题,得到的最小范数的估计值本质上要比有理整数环上假定黎曼猜想情况下所推得的结果还好.     

Fq[x]上的素数定理和Dirichlet定理及最小范数不可约多项式

讨论了Fq[x]上的zeta函数和L函数的解析性质,并在不假定黎曼猜想的情况下,导出了Fq[x]上的多项式环及其算术级数中不可约多项式的分布.然后,通过一系列的技术性处理,给出了算术级数中不可约多项式的最小范数的估计.成功地把素数定理及Dirichlet定理推广到了Fq[x]中,最重要的是,对应于最小素数问题,得到的最小范数的估计值本质上要比有理整数环上假定黎曼猜想情况下所推得的结果还好.     

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…     

一个定理的类比定理

本刊2005年第11期发表了甘志国老师的“一类问题的统一解法”一文后，2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文，其观点基本正确．其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x＋f（x）=m的根，且函数f（x）存在反函数f^-1（X），则m—a为方程x＋f^-1。（x）=m的根”．它揭示了方程X＋f（x）=m与方程x＋f^-1（x）=m的根之间的对应关系＋证明如下。[编者按]     

一个定理的类比定理

[编者按]本刊2005年第11期发表了甘志国老师的”一类问题的统一解法”一文后,2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文,其观点基本正确.其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x f(x)=m的根,且函数f(x)存在反函数f-1(x),则m-a为方程x f-1(x)=m的根”.     

Steiner定理与蝴蝶定理

如图 1 ,设Ｈ是欧氏平面上圆的弦ＡＢ的中点 ,过Ｈ的弦ＣＤ ,ＥＦ的端点连线ＣＦ与ＥＤ分别交ＡＢ于Ｉ,Ｇ ,则ＡＩ=ＧＢ .这就是平面几何中的蝴蝶定理 .它可以“纯平面几何”地证明 ,也可以用解析几何的方法证明 .运用射影几何的知识会使证明变得简单并且容易推广 .欧氏平面加上平面上所有直线的无穷远点 ,并把任意一组平行直线上的无穷远点看成同一点 .所有的无穷远点组成一条直线 ,叫无穷远直线 ,所得平面称为拓广欧氏平面 .假如对于拓广欧氏平面上的普通点与无穷远点不加区别就得到射影平面 .我们讨论的主要工具是射影映射与下面的Ｓｔｅ…     

Browder定理和Weyl定理

本文通过定义两个新的谱集,给出了Browder定理和Weyl定理对算子T以及f(T)成立的充要条件,其中f∈H(σ(T)),H(σ(T))表示在谱集σ(T)的开邻域上解析的函数的全体。     

微分中值定理的预备定理

罗尔定理是证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理的预备定理。以罗尔定理为基础,通过引进适当的满足罗尔定理的辅助函数便能证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理。然而教学中学生总感到老师给出的辅助函数不好想,很难。辅助函数的引入多年来一直成为教学上的一个难点。