含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…     

三角形外角平分线三角形的性质

关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所…     

再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

猜、算、推——一道向量求值考题的研究

例题(2005年全国高考理15题)△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H(三角形的垂心),(?)=m((?) (?) (?)),则实数m=___.     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

垂距余弦公式的改进、简证和应用

文[1]给出一个关于三角形垂距的余弦公式:设H是△ABC的垂心,R是△ABC的外接圆半径,则 (AH)/(|cosA|)=(BH)/(|cosB|)=(CH)/(|cosC|)=2R ① 这是一个漂亮的公式,它与正弦定理 (BC)/(sinA)=(AC)/(sinB)=(AB)/(sinC)=2R ② 具有类似的结构.我们不妨把公式①称为"关于三角形垂心的余弦定理"或"垂距余弦公式".     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

数学问题解答

2010年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1881 △ABC中,AB、BC、CA成等差数列,且大、小两个内角相差90°.问:△ABC是否存在一条高h,使得以h、R、r为边能够围成一个三角形?请作出判断并加以证明.(R、r为△ABC外接圆、内切圆的半径)     

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

垂足三角形的两个性质

文[1]证明了垂足三角形的一个性质: 定理若△DEF是非直角△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,△DEF的外接圆半径为R0,有 R0=(1)/(2)R.     

三角形的一个性质定理及其应用

定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC     

垂足三角形的又一性质

文[1]给出了垂足三角形的一个性质: 定理1若△DEF是非直角△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径是R,面积为S,△DEF的外接圆半径是R0,则有     

介绍两个“类正弦定理”

设△ABC的外接圆半径为R,则有这是众所周知的正弦定理. 有两个在形式上与正弦定理的结论类似的定理,即所谓“类正弦定理”,叙述如下: 定理1 设△ABC是一个锐角三角形,AD,BE,CF是它的三条高线,H是三条高线的交点(垂心),则有     

三角形余切定理及其应用

在△ ABC中 ,三内角及它们所对的边长 ,半周长 ,外接圆半径 ,内切圆半径 ,面积分别记为 A、B、C,a、b、c,p,R、r,S.本文介绍三角形余切定理及其应用——解答一些与斜三角形有关的试题 .三角形余切定理　在△ ABC中 ,　 actg B2 ctg C2=bctg C2 ctg A2= cctg A2 ctg B2=r.     

关于三角形的两个不等式

本文提出并证明以下关于三角形的两个不等式。 1°△ABC的内切圆分别切各边于A',B',C',则 △A'B'C'的面积≤1/△ABC的面积 (1)式中等号当且只当△ABC为等边三角形时成立: 2°设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为ρ,顶点A,B,C到内心的距离分别为α,β,γ,则有 32Rρ~5≤α~2β~2γ~2 (2)     

费尔巴哈圆圆心到各边距离之和的一个不等式链

文 [1]给出了非钝角三角形内特殊点到各边距离之和的一个不等式链 :D0 ≥ DG≥ D1≥ DH,经过研究 ,本文得到了非钝角三角形的费尔巴哈圆圆心、重心、垂心到各边距离之和的另一个不等式链 .本文约定非钝角△ ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积分别用 R、r、p、S表示 ,有以下定理定理　在非钝角△ ABC中 ,S为三角形的费尔巴哈圆圆心 ,DS表示圆心 S到各边距离之和 ;G为三角形的重心 ,DG表示重心 G到各边距离之和 ;H为三角形的垂心 ,DH 表示垂心 H到各边距离之和 ;则 DG≥ DS≥ DH,当且仅当是正三角…     

三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

一个几何命题的应用

命题求证任意三角形的外心到一边的距离等于它的垂心与这边所对顶点距离的一半。这是一道众所周知的几何命题,在证题中,凡遇到具有三角形外心和垂心等条件的一类较复杂的证明题,往往可以应用此命题简捷地给出证明,现列举几例如下: 例1 如图1.已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心,求证C、G、H共线,且GH=2GO。证明作CM⊥BC于M,连结AM和AH,则AM为△ABC边BC上的中线;连结OH交AM于