单因子和双因子的奇合数不是完全数

奇完全数是否存在是一个至今没有解决的世界著名难题。目前最好的结果是:如果奇完全数存在,则它至少含有8个不同的奇素因数。 本文使用比较简单的方法,得到初步结果,供读者参考。     

奇完全数的两个性质

本文研究了奇完全数的两个性质.利用初等的方法以及除数函数的性质对于Jouchard[4]提出的猜想给出了确切的证明,并且推广Yamada[5]等人的结果.     

具有四个素因子的奇亏完全数

设n为自然数,σ(n)表示n的所有正因子和函数.令d是n的真因子,若n满足σ(n)=2n-d,则称n为亏因子为d的亏完全数.本文给出了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质的刻画.     

奇完全数的几个命题

本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i~(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a~(2~n)+b~(2~n)(a>b>0,a,b,n∈N~+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a~(2~n)+b~(2~m)不是完全数.     

关于具有三个不同素因子的盈不完全数（英）

设ρ是可乘算术函数,定义为对每个素数方幂p^α,ρ(p^α)=p^α-p^α-1+p^α-2-…+(-1)^α.对正整数n,若2ρ(n)=n+d,其中d是n的真因子,则称n为盈因子是d的盈不完全数.本文得到了具有三个不同素因子的所有奇盈不完全数和部分偶盈不完全数.     

有限个互素因子链上幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x1,x2,...,xn}是由n个不同的正整数组成的集合,并设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因子的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵为定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(Sa)表示;类似定义a次幂LCM矩阵[Sa].如果存在{1,2,...,n}上的一个置换σ使得xσ(1)|xσ(2)|···|xσ(n),则称S为一个因子链.如果存在正整数k,使得S=S1∪S2∪···∪Sk,其中每一个Si(1ik)均为一个因子链,并且对所有的1i=jk,Si中的每个元素与Sj中的每个元素互素,则称S由有限个互素因子链构成.本文中,设S由有限个互素的因子链构成,并且1∈S.我们首先给出幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的公式,然后证明:如果a|b,则det(Sa)|det(Sb),det[Sa]|det[Sb],det(Sa)|det[Sb].最后我们指出:如果构成S的有限个因子链不互素,则此结论一般不成立.