高阶拉氏乘子法和弹性理论中更一般的广义变分原理

作者曾指出[1],弹性理论的最小位能原理和最小余能原理都是有约束条件限制下的变分原理采用拉格朗日乘子法,我们可以把这些约束条件乘上待定的拉氏乘子,计入有关变分原理的泛函内,从而将这些有约束条件的极值变分原理,化为无条件的驻值变分原理.如果把这些待定拉氏乘子和原来的变量都看作是独立变量而进行变分,则从有关泛函的驻值条件就可以求得这些拉氏乘子用原有物理变量表示的表达式.把这些表达式代入待定的拉氏乘子中,即可求所谓广义变分原理的驻值变分泛函.但是某些情况下,待定的拉氏乘子在变分中证明恒等于零.这是一种临界的变分状态.在这种临界状态中,我们无法用待定拉氏乘子法把变分约束条件吸收入泛函,从而解除这个约束条件.从最小余能原理出发,利用待定拉氏乘子法,企图把应力应变关系这个约束条件吸收入有关泛函时,就发生这种临界状态,用拉氏乘子法,从余能原理只能导出Hellinger-Reissner变分原理[2],[3],这个原理中只有应力和位移两类独立变量,而应力应变关系则仍是变分约束条件,人们利用这个条件,从变分求得的应力中求应变.所以Hellinger-Reissner变分原理仍是一种有条件的变分原理.     

对弹性理论中临界变分状态的一个注记

(t) 最近钱伟长教授指出[1],在某些情况下,用普通的拉氏乘子法,其待定的拉氏乘子在变分中恒等于零,这称为临界变分状态,在这种临界状态中,我们无法用待定拉氏乘子法把变分的约束条件吸收入泛函,从而解除这个约束条件.例如用拉氏乘子法,从最小余能原理只能导出Hellinger-Reissner变分原理,这个原理中只有应力和位移两类独立变量,而应力应变关系仍然是变分的约束条件.为了消除这个约束条件,钱伟长教授提出了高次拉氏乘子法,即在泛函中引入二次项
A_ifk1(e_ij-b_iimnσmn)(e_ki-b_k1pqσ_pq)
来消除应力应变这个约束条件. 本文目的是要证明,如果在泛函中引入如下二次项
A_ifk1(e_ij-b_iimnσ_mn)(e_ki-1/2u_k2-1/2u_1:k)
我们也可以用高次拉氏乘子法解除应力应变这个变分约束条件.用这种方法,我们不仅可以从Hel-linger-Reissner原理的基础上,找到更一般的广义变分原理.在特殊情况下,这个更一般的广义变分原理,可以还原为各种已知的弹性理论变分原理.同样,我们也可以从Hu-Washizu(胡海昌-鹫津久一郎)[4,5]变分原理,用高次拉氏乘子法,求得比该原理更一般的广义变分原理.     

大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理

在前文中[1],作者首次提出了大位移非线性弹性力学的位能原理和余能原理,以及各种完全的和不完全的广义变分原理.但在约束条件和欧拉条件上,证明和叙述都不很明确,有时甚至把原来应该是欧拉方程的误认为是约束条件,如余能驻值原理中,应力位移关系原应是欧拉方程,但把它当作了变分约束条件.这就是说:我们把余能驻值原理约束得超过了必要的要求.还有,在所有变分原理中,应力应变关系式都是不参加变分的约束条件,亦即,他们是从已定应力导出应变或从已定应变导出应力的约束条件.这一点,在文[1](1979)中,并未明确指出.本文并将用高阶拉氏乘子法,导出更一般的广义变分原理(1983)[2].本文使用V.V.Novozhilov的有关非线性弹性力学的成果(1958)[3].     

有限位移理论线弹性力学二类和三类混合变量的变分原理及其应用

提出了有限位移理论线弹性力学二类混合变量和三类混合变量的变分原理.考虑已知边界条件的变化并应用有限位移理论的功的互等定理,在导出上述两类变分原理的过程中起到了关键作用和桥梁作用.首先,考虑已知位移边界条件的变化和应用功的互等定理,导出了二类混合变量的最小势能原理.用类似的方法,导出了二类混合变量的驻值余能原理.应用应变能密度和应力余能密度的关系式于上述两个变分原理,得到三类混合变量的变分原理.然后,给出了二类和三类混合变量的虚功原理和虚余功原理.同时,应用拉氏乘子法导出了广义变分原理.以一个算例说明了在某些情况下拉氏乘子法会失效,介绍了构成广义变分原理泛函的半逆法.最后,应用二类混合变量最小势能原理计算了一大挠度悬臂梁的弯曲.     

构造容许位移的转换边界法

本文提出了在复杂边界条件下构造容许位移的转换边界法.所谓转换边界法,就是首先根据叠加原理将实际系统转换为基本系统及附加边界力和附加边界位移,然后应用变分原理于基本系统,最后应用级数转换的办法求得实际系统的容许位移.本文还给出了边界条件变化的混合能量原理.这边界条件变化的混合能量原理和边界条件变化的势能原理和余能原理都是转换边界法的主要理论基础.应用转换边界法我们构造了复杂边界条件平面应力问题和弯曲问题矩形板的容许位移.由于转换边界法构造容许位移是遵循着变分原理和确定的程序进行的,因而克服了Rayleigh-Ritz法猜测、拼凑容许位移的困难.     

非线性自然弯扭闭口薄壁复合梁的广义变分原理

对复合材料自然弯扭闭口薄壁细长梁在小应变、大位移和大转动的情况作了研究,建立了两端边界均为完全约束的该梁大变形弹性理论的非完全广义变分原理的泛函。由泛函驻值条件可以导出所给问题的平衡方程及全部边界条件。上述方法可方便地推广到其它各种不完全约束边界的情况。此外,利用上述结果还可以得到该梁在小位移理论中的基本方程和有关公式。     

含多个任意参数的广义变分原理及换元乘子法

弹性力学变分原理的泛函变换可分为三种格式:Ⅰ、放松格式,Ⅱ、增广格式,Ⅲ、等价格式. 根据格式Ⅲ,提出含多个任意参数的广义变分原理及其泛函表示式,其中包括:以位移u为一类泛函变量的多参数广义变分原理;以位移u和应力σ为二类泛函变量的多参数广义变分原理;以位移u和应变ε为二类泛函变量的多参数广义变分原理;以位移u应变ε和应力σ为三类泛函变量的多参数广义变分原理.由这些原理可得出等价泛函一系列新形式,此外,通过参数的合理选择,可构造出一系列有限元模型. 本文还讨论了拉氏乘子法“失效”问题,指出“失效”现象产生的原因,提出乘子法“恢复有效”的作法——换元乘子法.     

非线性弹性体的弹性动力学变分原理

本文根据文献[1],对非线性应力应变关系的弹性体,导出了弹性动力学问题的变分原理和广义变分原理,提出了混合位移协调元和混合应力协调元的瞬时广义变分原理.     

一类指定应力问题的变分原理与应用

针对有限元分析中对应力或内力有指定条件的问题,引入非弹性应变作为实现指定应力条件的附加未知量,在小变形条件下描述了指定应力条件应当满足的弹性力学控制方程;以位移和未知非弹性应变作为独立变量,建立了具有指定应力条件问题的势能变分原理和虚功方程;以位移、弹性应变、未知非弹性应变和应力为独立变量,建立了一个含四类变量的广义变...     

有限位移理论线弹性动力学二类和三类混合变量的最小势作用量原理和驻值余作用量原理及其应用

两个新的概念,即势作用量的概念和余作用量的概念被引入弹性动力学变分原理中.根据势作用量的概念,最小作用量原理（即Hamilton原理）被改称为最小势作用量原理.根据余作用量的概念,首次提出了驻值余作用量原理.考虑边界条件的变化并应用有限位移理论的功的互等定理,导出了以位移和应力为变分变量的二类混合变量的最小势作用量原理及驻值余作用量原理.应用应变势能密度与应力余能密度的关系式于上述二类混合变量作用量原理,导出了以位移、应力和应变为变分变量的三类混合变量的相关作用量原理.最后,应用拉氏乘子法给出了广义势作用量原理及广义余作用量原理,并且应用大挠度梁二类混合变量最小势作用量原理计算了一悬臂梁的受迫振动.     

On the solutions of elastic-plastic problems with contact-type boundary conditions for solids with loss-of-strength zones

A formulation of a quasi-static problem of the mechanics of elastic-plastic bodies with loss-of-strength zones and boundary conditions of contact type: is given which enables the properties of the loading system to be taken into account. With certain constraints on the constitutive relations and using a condition for stability of the softening process in a local zone, theorems are proved on the uniqueness of the solution of the boundary-value problem and on the maximum and minimum of the functionals when the kinematically or statically possible and actual fields are the same. The corresponding generalized variational principles are given.     

非线性弹性理论变分原理的统一理论

本文旨在介绍和讨论非线性弹性理论的几个主要变分原理——古典的势能原理,余能原理以及目前争论甚多的另两个余能原理(Levinson原理和Fraeijs de Veubeke原理),同时给出了和这些原理相对应的广义变分原理.本文单一地从虚功原理出发,系统推导并严格论证了这些原理,并且指出了各原理间的内在联系.出发点是一个,采取不同的变量和Legendre变换就导致不同的原理.这样,各变分原理在统一的框架里构成一个有机的整体.文中未涉及的其它原理也同样可以纳入这框架.给出的关系图使读者更能看清各原理间的纵横关系.     

凑合反推法和弹性理论中的多变量广义变分原理

详细介绍了如何应用凑合反推法(semi-inverse method)构造弹性理论中的两类独立变量的广义变分原理(包括熟知的Hellinger-Reissner变分原理,Hu-Washizu变分原理)及三类独立变量的广义变分原理(钱伟长广义变分原理) 。应用凑合反推法还可以清楚地看出各变量之间的约束关系,从而再一次证明了Hu-Washizu变分原理实际上是两类独立变量的广义变分原理。     

关于弹性力学广义变分原理的等价性定理的研究

利用场论中的不变性原理研究弹性力学广义变分原理的等价性定理,主要目的是研究弹性力学广义变分原理之间的关系;根据弹性力学广义变分原理的泛函在无穷小标度变换下的不变性,证明了这些泛函之间的等价性定理．如果这些泛函具有无穷小标度变换下的不变性,那么只有两类变量是独立的, 应力应变关系是这些泛函必须满足的变分约束条件．所得到的结果再一次证明了钱伟长教授关于所有的弹性力学广义变分原理都是等价的结论．     

A variational approach to optimal meshes

Summary. A variational approach for the optimization of triangular or tetrahedral meshes is presented. Starting from some very basic assumptions we will rigorously demonstrate that the functional controlling optimality is of a certain type related to energy functionals in non linear elasticity. It will be proved that these functionals attain their minima over admissible sets of mesh deformations which respect boundary conditions. In addition the injectivity of the deformed mesh is discussed. Thereby it is possible to construct suitable meshes for various numerical applications. Received March 14, 1994 / Revised version received August 8, 1994     

Modelling of the forced motions of an elastic beam using the method of integrodifferential relations

A variational approach to the numerical modelling of forced lateral motions of an Euler–Bernoulli elastic beam is developed for a number of linear boundary conditions using the method of integrodifferential relations. A class of linear boundary actions is considered. A family of quadratic functionals, connecting the displacement field of points of the beam with the bending-moment functions in the cross section and the momentum density is proposed. Variational formulations of the original initial-boundary value problem on the motion of the beam are given and the necessary conditions for the functionals introduced to be stationary are analysed. The integral and local quality characteristics of the admissible approximate solutions are determined. The relation between the variational problems, formulated for the beam model, with the classical Hamilton–Ostrogradskii variational principles is demonstrated. An algorithm for constructing approximate systems of ordinary differential equations is developed, the solution of which yields stationary (minimum) values of the functionals introduced on a specified set of displacement fields, moments and momenta. Examples of calculations of the displacements for an elastic beam and an analysis of the quality of the numerical solutions obtained are presented.     

钱氏定理在有限变形极矩弹性力学广义变分原理的应用

应用Lagrange乘子法和钱伟长证明的两类广义变分原理的等价定理,在本文中导出有限变形极矩弹性力学的广义变分原理.文中采用了在拖带坐标系描述法建立的有限变形应变张量(称为Biot有限变形应变定义的准确形式)和应变速率定义与拖带系应力张量构成完整的数学描述.     

再论Hellinger-Reissner原理与Hu-Washizu原理之等价性

阐述了Hu-Washizu变分原理实际上是一个赝广义变分原理,即虽然其驻值条件满足所有的场方程及边界条件,但它存在某种约束.为了清楚说明问题,本文构造一些新的赝广义变分原理,用逆拉氏乘子法可以清楚地看出其约束关系,并进一步证明了Hu-Washizu变分原理和Helinger-Reisner变分原理之等价定理.