商是纯虚数的几何意义及其应用

设非零复数z1,z2对应的向量分别是OZ1^→,OZ2^→则商z1/z2是纯虚数的充要条件是OZ1→⊥OZ2→，这就是两复数商z1/z2是纯虚数的几何意义，用好这一几何意义可简化某些复数题的计算，现举例说明。     

复数加减运算几何意义的证明

人教版高中代数下册P186,用平行四边形性质及三角形全等证明了复数加法的几何意义.在学习过程中,我们发现用中点坐标公式证明更为简便.下面给出证明: 设OZ1及OZ2分别与复数a bi及c di对应,且OZ1与OZ2不在同一直线上(如右图),以OZ1及OZ2为两条邻边画□OZ1ZZ2,则点Z1、Z2的坐标分别为Z1(a,b),Z2(c,d).由平行四边形性质,M是Z1Z2中点,所以点M的坐标为M(a b/2,b d/2),M是OZ的中点,所以点Z的     

复数相乘≠对应的向量相乘

高考题(2010年浙江理5)对任意复数z=x+yi(x,y∈ R),i为虚数单位,则下列结论正确的是A.｜z-z｜ =2yB.z2=x2+y2C.｜z-z｜≥2xD.｜z｜≤｜x｜+｜y｜笔者在教学中,发现有不少学生是这样解答的:B.设点O是坐标原点,在复平面上点Z的坐标是(x,y),则复数z对应的平面向量是(→OZ)(以下说“复数z与平面向量(→OZ)一一对应”时,对应法则就是这样的).所以z2＝(→OZ)2＝｜(→OZ)｜2＝(√(x2+y2))2＝x2 +y2.而正确答案是D(读者也容易理解该答案正确无疑).那么,以上解法错在哪里呢?     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

复数几何意义中一个有趣的问题

关于复数几何意义的有关伺题的研究,从各种书刊资料的情况综合起来看,可以说已经够全面和完善了.但有一个似乎不是问题的问题却至今未引起注意:一个复数或复数式到底有几种几何意义?这个问题的提出好象有点扯谈,因为教材已明确指出:很明显,向量OZ是由点Z唯一确定;反过来,点Z也可由向量OZ唯一确定的”(见高中《代数;甲种本》第二册 P.197)。据此,便断言复数或复数式的几何意义应该是唯一的.如果我们仔细研究一下教材中的这段阐述,不难发现,这里要求的向量是以点O为起点。有时我们又可视其为自由向量,则这时对同一个复数,就可作出几种不同的几何解释。如复数z_1+z_2,它就可解释为由z_1、z_2和x_1+z_2所对应的向量构成的     

纯虚数的充要条件及应用

纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1　纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1　复数ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数的充要条件为ａ =0且ｂ≠ 0 .结论 2　复数ｚ是纯虚数的充要条件为ｚ ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) .证　 (充分性 )设ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ) .∵ｚ ｚ =0 ,∴ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ,∴ａ =0 .而ｚ为非零复数 ,则ｂ≠ 0 ,∴ｚ为纯虚数 .(必要性 )ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数 ,则ａ= 0且ｂ≠ 0 .∴ｚ =ｂｉ,则ｚ ｚ =ｂｉ …     

浅谈例题类型设计

在当前的素质教育中 ,要努力减轻学生过重的负担 ,避免“题海战术”困扰的重要一环就是科学设计、精心安排例题的教学 .经过多年的例题教学实践和探索 ,笔者认为实际教学中 ,设计不同类型的例题组织教学 ,有利于学生深化知识、突破难点、发展思维 ,培养创新能力 .下面就 5种类型例题的设计谈一点体会 .1　设计边讲边练的小例题这一类例题主要是针对新授课的单一知识点而设计 .它不但能把课堂导、学、练有机结合 ,使课堂内容充实 ,气氛活跃 ,学生信息反馈快 ,而且还能促使学生感性认识向理性认识的升华 ,从而使学生掌握的知识不断深化 .这种类型的小例题的最大特点是 :内容单一 ,针对性强 ,题目方式灵活多样 .例如 ,在“复数乘法的几何意义的应用”教学中 ,可设计如下边讲边练的小例题组 ,收到的教学效果颇佳 .例 1　 1已知向量 OZ1→ 所表示的复数Z1=2 ( cos 60&;#176;+sin 60&;#176;) ,将向量 OZ1→ 按逆时针方向旋转 10 5&;#176;,并将长度变为原来的 32 倍 ,得到向量 OZ→ ,求 OZ→ 所表示的复数的一个辐角和模 .并用三角形式表示该复数 .2在上述条件下 ,向量 OZ→ 所表示的复数 Z与Z1...     

解复数求值问题的几种途径

复数求值问题是复数运算中的一个难点，处理不好，就会陷入繁冗的计算中去，针对这点，本文试图通过数例来说明解决这类问题的几个途径．1选择恰岂的表示形式复数有代数、三角、几何（点，向量）三种表示形式，要处理好有关复数求值问题，首先要注意选择恰当的复数表示形式．又∵z1、z2对应向量OZ1和OZ2的夹角，在△Z1OZ2中，则由复数的三角式知：2转化为一元二次方程求根问题有些复数求值问题，可利用复数的有关性质，转化为以所求值为本知数的一元二次方程，再求这个方程的根．例2已知a、B为实系数二次方程ax2＋bx＋c=0的两根，a为虚…     

复数在几何中的应用

复数可以用点和向量表示,复数集与复平面上的点集及复平面上从坐标原点发出的向量集具有一一对应关系,复数的加减法运算可以按照向量的加减法进行,若设z=r(cosθ isinθ)复数z_1与向量OZ_1对应,那么Z·z_1的几何意义是把向量OZ_1绕o点按逆时针方向旋转θ角,再把|OZ_1|变为原来的r倍,而z-1/z(z≠0)的几何意义则是把向量OZ_1绕o点按顺时针方向转θ角,再把|OZ_1|变为原来的1/r倍,根据复数及其运算的几何意义,平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻划,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果。     

安徽卷（理科数学）

一、选择题 1．设i是虚数单位，复数2－i/1＋ai为纯虚数，则实数a为（ ）     

一个复数命题的证明与应用

命题设z∈C，a∈R，且az≠0，则为纯虚数．1证明思路1利用纯虚数的定义证法1设z=x yi，x、y∈R，因z≠0，故x、y不同时为零．于是，思路2利用共轭复数模的性质：思路3利用复数的几何意义证法4在复平面内，设复数z、a、-a所对应的点分别为P、A、B，如图1．因Z≠0，故P不可能是坐标原点即线段AB的中点．于是动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线且除去AB的中点的轨迹为虚轴为纯虚数．证法5在复平面内，设复数z、a所对应的点分别为P、H，以OA、OP为邻边作回O从P，如图2，则OC-OA＋AC-a十z，AP--OP--OA一z一a，于是，z-a一fi十。lpAP…     

用复数的几何意义解题

用复数的几何意义解题是高中数学中数形结合思想的重要应用,试举数例如下: 例1 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1且 ,求z,z2的值. (199年上海高考题)解 设z1 z2,z1,z2在复平面内表示的点分别为Z0,Z1,Z2,显然Z0,Z1,Z2都在单位圆上(如图1).     

利用复数乘法解决垂直问题

两条直线的垂直关系是一种重要的图形位置关系,在复平面上利用复数乘法的几何意义有时可以很方便地处理垂直问题. 首先我们有下面的结论: 设zA、zB是两个非零复数,它们在复平面上对应的点分别为A、B,则OA⊥OB的充要条件是zB=zA·(?)i.其中(?)为非零实数,i为虚数单位. 还可以推广到一般的情形: 设zA、zB、zC、zD是四个复数,且zA≠zC,zB≠zD,它们在复平面上对应的点分别为A、B、     

《复数的几何意义》的教学设计与教学反思

1 教学过程实录 1.1 以史设疑,引入课题 师:1545年出现了负数开方问题.到了1637年,笛卡尔也认为负数开方是"不可思议的",称这样的数为"虚数"(虚数一词沿用至今).1799年高斯给出了复数的几何解释,并有了广泛应用,人们接受了复数.你猜猜看,高斯是怎样给出复数的几何解释的?     

复数运算的几何意义

自从复数与复平面上的点建立一一对应的关系之后 ,复数与几何便结下了不解之缘 .复数的运算表现出明显的几何意义 ,解题中若能恰当地应用 ,便能获得简捷的解法 .复数加、减法的几何意义即为向量的合成与分解 ,可简化为三角形法则 ;复数乘法、乘方与除法的几何意义即为向量的旋转变换和伸缩变换 ;复数开方的几何意义可概括为圆内接正多边形法则 .除此之外 ,还应重视以下结论 :1 )ｚ -ａ表示由ａ(对应的点Ａ)指向ｚ(对应的点Ｚ)的向量 ,即ＡＺ =ｚ -ａ .2 ) |ｚ -ａ|表示ａ(对应的点 )到ｚ(对应的点 )的距离 .3 )若ｚ1ｚ2 ≠ 0 ,则 |ｚ1+ｚ2 |…     

巧用z与的关系解题

在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于ｚ与 ｚ的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1　复数ｚ为实数的充要条件是 : ｚ=ｚ .证　设ｚ =ａ ｂｉ,则 ｚ =ａ -ｂｉ.ｚ∈Ｒ ｂ =0 ｚ = ｚ .命题 2　设ｚ≠ 0 ,则ｚ为纯虚数的充要条件是 ｚ =-ｚ .证　∵ｚ≠ 0 ,设ｚ =ａ ｂｉ,则ａ ,ｂ不全为 0 .ｚ为纯虚数 ａ =0且ｂ≠ 0 ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ｚ ｚ =0 .例 1　设复数α ,β ,…     

一类矩阵多项式的L-值的摄动分析

1.引言 考虑矩阵多项式: F(λ)=sum from j=0 to m(A_jλ~j),这里A_0,A_1,…,A_m均为n×n矩阵,λ为纯量.在工程实践中,上述问题归结为:求λ及非零n维列向量x,使得     

复数及其应用

A)助(c)(D)10.(A)(B)(c)(D)1l.一、选择题1.设二、习是虚数,则下列命题正确的是()(^)若二全+即全=0则:=梦=0(B)}x 12二:2(c)若卜!相似文献   

一题三变话“四心”

近年来,随着平面向量的引入,与三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)有关的几何问题已经成为各种考试考查的热点,求解这类问题的基本策略是利用好以下两个判定向量平行与垂直的基本性质.性质1a⊥b(a,b为非零向量)a·b=0.性质2存在唯一实数λ,使a=λb(b≠0)a∥b(b≠0)a与b(     

高中数学基础练习(四)

练习31 1.在复数集内因式分解: 答: 2.当实数a为何值时,复数(a~2-1) (a~2 a-2)i是纯虚数。答:a=-1。 3.求i~(66) i~(77) i~(88) i~(99)的值。答:0.