并行分批排序综述

并行分批排序起源于半导体芯片制造过程。在并行分批排序中,工件可成批加工,批加工机器最多可同时加工B个工件,批的加工时间为批中所有工件的最大工时。首先根据传统的机器环境和目标函数对并行分批排序已有成果进行分类介绍,主要为单机和平行机的机器环境,以及极小化最大完工时间、极小化总完工时间、极小化最大延迟、极小化误工工件数、极小化总延误和极小化最大延误的目标函数;然后梳理了由基本问题所衍生出来的具有新特点的16类新型并行分批排序,包括差异尺寸工件、多目标、工件加工时间或顺序存在限制、考虑费用和具有特殊机制等情况;最后展望未来的研究方向。     

极小化加权总完工时间的分批排序问题

本文讨论了分批排序中极小化加权总完工时间的两个问题.就所有工件的加工时间都相等这一特殊情况,分别给出两个算法,并证明了算法的最优性.     

有尺寸的同型机分批排序问题的近似算法

对工件有不同到达时间、不同加工时间和尺寸的同型机分批排序问题寻找近似算法.对于大工件(工件的体积严格大于机器容量的÷)的加工时间不小于小工件(工件的体积小于或等于机器容量的÷)的加工时间的特定情形,利用动态规划的方法和拆分的技巧,我们设计了近似算法并分析了其最差性能比.     

可中断的多任务平行机排序问题

Leung等(Preemptive multiprocessor order scheduling to minimize total weighted flowtime [J]. European Journal of Operational Research, 2008, 190: 40-51)研究了如下问题: 有 n 个订单, 其中每个订单 i 含有 n_i 个不同的工件. 所有的订单在零时刻已经到达, 并且工件的加工是可中断的. 每个订单 i有一个权重 \omega_i, 定义订单 i 的完工时间 C_i 为订单 i 最后一个完工工件的完工时间. 目标是找到一个可行排序使得加权总完工时间\sum\limits_{i=1}^n \omega_iC_i 最小. Leung等证明了这个问题是NP-难的, 给出了一个近似算法, 并且分析了该算法的最坏情况界. 但是定理2的证明存在一些错误. 证明了尽管定理2的证明过程存在错误, 但是其结论仍然正确. 另外, 对上述模型的一种特殊情形给出了更好的近似算法.     

工件具有任意尺寸的混合分批平行机排序问题的近似算法

本文考虑了工件具有任意尺寸且机器有容量限制的混合分批平行机排序问题。在该问题中, 一个待加工的工件集需在多台平行批处理机上进行加工。每个工件有它的加工时间和尺寸, 每台机器可以同时处理多个工件, 称为一个批, 只要这些工件尺寸之和不超过其容量; 一个批的加工时间等于该批中工件的最大加工时间和总加工时间的加权和; 目标函数是极小化最大完工时间。该问题包含一维装箱问题为其特殊情形, 为强NP-困难的。对此给出了一个$\left( {2 + 2\alpha+\alpha^{2}}\right)$-近似算法, 其中$\alpha$为给定的权重参数, 满足$0\leq\alpha\leq 1$。     

工件具有任意尺寸的混合分批平行机排序问题的近似算法

本文考虑了工件具有任意尺寸且机器有容量限制的混合分批平行机排序问题。在该问题中, 一个待加工的工件集需在多台平行批处理机上进行加工。每个工件有它的加工时间和尺寸, 每台机器可以同时处理多个工件, 称为一个批, 只要这些工件尺寸之和不超过其容量; 一个批的加工时间等于该批中工件的最大加工时间和总加工时间的加权和; 目标函数是极小化最大完工时间。该问题包含一维装箱问题为其特殊情形, 为强NP-困难的。对此给出了一个$\left( {2 + 2\alpha+\alpha^{2}}\right)$-近似算法, 其中$\alpha$为给定的权重参数, 满足考虑了不同于Goldfarb和Iyengar （2003）的因子模型,通过横截面回归分析以及Fama-MacBeth估计构造了关于资产的平均收益向量和协方差矩阵的不确定性集合（置信区域）。基于这些不确定性集合以及Markowitz“均值-方差模型”的鲁棒投资组合问题,提出了多个鲁棒投资组合问题,并对应的推导出其等价的半正定规划形式,使得问题可以在多项式时间内求解。     

工作有到达时间且拒绝工件总个数受限的单机平行分批排序问题的近似算法

考虑了工件有到达时间且拒绝工件总个数不超过某个给定值的单机平行分批排序问题.在该问题中,给定一个工件集和一台可以进行批处理加工的机器.每个工件有它的到达时间和加工时间;对于每个工件来说要么被拒绝要么被接受安排在机器的某一个批次里进行加工;一个工件如果被拒绝,则需支付该工件对应的拒绝费用.为了保证一定的服务水平,要求拒绝工件的总个数不超过给定值.目标是如何安排被接受工件的加工批次和加工次序使得其最大完工时间与被拒绝工件的总拒绝费用之和最小.该问题是NP-难的,对此给出了伪多项式时间动态规划精确算法,2-近似算法和完全多项式时间近似方案.     

工件可拒绝排序问题综述

可拒绝排序问题是兴起于2000年前后的有代表性、应用背景极强的的排序问题,是经典排序问题的衍生和推广.经典排序问题总是要求每个工件必须被加工,然而在实际中由于某些特殊原因,决策者会选择拒绝加工某些工件.把允许工件被拒绝的这类问题称为工件可拒绝排序问题,有的文献称之为外包的排序问题.这些问题不仅具有很强的应用价值,在理论上也有重要的意义.近年来该领域受到越来越广泛的关注,新的研究成果不断涌现.现就离线、在线情况下的可拒绝排序问题的进展情况作了全面介绍,展示了已有的研究成果和新的问题,给出了此方面的比较重要的参考文献,旨在帮助感兴趣的读者迅速了解问题研究的进展并由此进入此研究领域的前沿.     

带服务器的三台平行机排序问题的复杂性和近似算法

本文研究了带服务器的三台平行机排序问题的复杂性，并给出了一个最好的在线近似算法．     

提前预知信息的在线分批排序问题

研究工件可提前预知信息的在线分批排序问题, 工件的预知信息时间依时间到达, 目标为极小化最大完工时间. 已知从工件的信息可预知到该工件可加工需要时间~$a$, 所有工件的最大加工时间为~$p_{{\rm max}}$, 多个工件可以作为一批被机器同时加工, 批的加工时间为该批工件中最长加工时间. 对于批容量无限的单机问题给出一个在线算法~$\gamma H^\infty$, 并证明其竞争比和问题的下界都为~$1+\gamma$, 其中~$\gamma=\left(-1+\sqrt{1+\frac{4p_{{\rm max}}}{p_{{\rm max}}+a}}\right)/2$, 进而算法是最优的.     

带工件相容约束的单机分批排序问题

The single machine parallel batch problem with job compatibility is considered to minimize makespan,where the job compatibility constraints are represented by a graph G.This problem is proved to be NP-hard.And when the graph G is limited to be a general bipartite,a complete bipartite and a complete m-partite graph,these problems are solved in polynomial time respectively.     

机器具有准备时间的双目标平行机排序问题

本文讨论机器具有准备时间的双目标平行机排序问题，目标函数为完工时间和最优条件下极小化最大完工时间．通过对SPT排序的性质的分析，给出了最优排序的下界．在此基础上证明了SPT排序的误差界为3／2，并且是紧界．     

主指标为最大延迟的主次指标分批排序问题

研究现代排序问题—主指标为最大延迟的主次指标分批排序问题.这里利用动态规划的递推法给出了次指标分别为最大完工时间和误工总数时的多项式时间算法,并给出了次指标为关于工件完工时间的任意正规函数时的拟多项式时间算法.     

工件加工可拒绝的无界批量分批排序问题的几点探讨

本文对两个加工可拒绝的无界批量分批排序问题1|B≥n,rej|∑ωjTj+TP和1|B≥n,rej|∑ωj+TP进行了研究,对这两个问题分别给出了伪多项式时间算法和(FPTAS)近似算法.目前为止它们都是比较好的精确算法和近似算法.     

Approximating Scheduling Unrelated Parallel Machines in Parallel

We show how to approximate in NC the problem of scheduling unrelated parallel machines, for a fixed number of machines in which the makespan C _max is the objective function to minimize. We develop an approximate NC algorithm which finds a schedule whose length is at most (1+o(1))(C^* _max + 3 C^* _maxln(2n(n-1)/)), where C*_max denotes the optimal schedule, n the total number of jobs and a small positive constant. Our approach shows how to relate the linear program obtained by relaxing the integer programming formulation of the problem with a linear program formulation that is positive and in the packing/covering form. The established relationship enables us to transfer approximate fractional solutions from the later formulation that is known to be approximable in NC. Then, we show how to obtain an integer approximate solution, i.e. a schedule, from the fractional one, using the randomized rounding technique. We stress that our analysis assumes that the length of the schedule is (ln n) and that the min p _ij and max p _ij values are not too disparate (where p _ij is the time to run job j on machine i).Finally, we show that the same technique can be applied to the general assignment problem with a fixed number of machines and makespan T.     

可拆分平行机排序问题研究

平行机排序问题是把n个产品安排到m台机器上加工，使其总费用最小．通常的平行机排序问题都假设（C1）：任何产品不能在不同机器上同时加工．但是，如果把产品的加工时间看成一个产品量的需求，就可以假设（C2）：允许同一产品拆分在不同机器上同时加工．本文首先回顾了C1假设下平行机排序问题已有的结果，然后基于假设C2，讨论了各种费用目标下问题的算法及其复杂性．在没有生产准备时间的情况下，给出了一些问题的多项式算法和线性规划方法．在有独立生产准备时间的情况下，给出了P／split／Cmax问题的启发式算法及其算法分析．     

A Flexible On-line Scheduling Algorithm for Batch Machine with Infinite Capacity

We study on-line scheduling on a batch machine with infinite capacity. We present a flexible on-line scheduling algorithm that aims at minimizing the makespan and achieves the optimal competitive ratio of . This research is substantially supported by a grant from City University of Hong Kong (Grant No. 7001119). The second author is supported by this grant and by the Natural Science Foundation of China.     

The Coordination of Scheduling and Batch Deliveries

This paper considers several scheduling problems where deliveries are made in batches with each batch delivered to the customer in a single shipment. Various scheduling costs, which are based on the delivery times of the jobs, are considered. The objective is to minimize the scheduling cost plus the delivery cost, and both single and parallel machine environments are considered. For many combinations of these, we either provide efficient algorithms that minimize total cost or show that the problem is intractable. Our work has implications for the coordination of scheduling with batch delivery decisions to improve customer service.