第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

第36届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

第３６届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答张筑生（北京大学数学系１００８７１）（第３６届ＩＭＯ中国队领队）第一天，１９９５年７月１９日（４小时，每题７分）１设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一条直线上依次排列的四个不同的点．分别以ＡＣ，ＢＤ为直径的两圆相交于Ｘ和Ｙ；直线...     

第三十届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

地点:联邦德国,不伦瑞克第一试(1989年7月18日) 1.求证:集合{1,2,…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,1,…,117),使得(1) 每个A_i含有17个元素;     

第二十二届国际数学竞赛试题及解答

1981年7月13日至14日,来自27个国家的代表队,共192名选手在美国首都华盛顿的乔治亚大学举行了第22届国际中学生数学竞赛。比赛分两天进行,每天用四个半小时来解答三个试题。 第22届国际数学竞赛的试題,一般认为并不算容易。但这次竞赛的结果却异常的好?有36名选手获得了一等奖(21届获一等奖的仅有8名),其中26名选     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

第二十二届国际数学竞赛试题及解答

第二十二届国际中学生数学竞赛于1980年7月在卢森堡举行。我们拟了一份解答,不妥之处期望读者批评指正。 1.设Q是全体有理数的集合,求所有适合下列条件的从Q到Q的函数f:     

第九届全俄数学竞赛第四轮试题解答

八年级 1.100个实数的和等于0,证明:能够将它们编号后,满足下面不等式组: a_1≥0,a_1+a_2≥0,…,a_1+a_2+…+a_(99)≥0。解我们可以证明更一般的问题:若n个实数c_1,c_2,…,c_n的和为非负,则能够将其重新编号,满足不等式组: c_1≥0.c_1+c_2≥0,…,c_1+c_2+…+c_(n-1)≥0。为此先来证明:若实数x_1,x_2,…,x_m的和为非负(S=x_1+x_2+…+x_m≥0),则总能从中划去一个数,使得余下的(m-1)个数的和为非负。反之,若对所有的i=1.2.…,m,都有S-x_i<0,于是(s-x_1)+(s-x_2)+…+(s-x_m)<0,也就是(m-1)s<0,矛盾。这就是说,对于c_1+c_2+…+c_n≥0,总可从中划     

第三届美国初中数学竞赛试题(ATHSME)及解答

拿赢赢拿1987.12名(星期习上午9:3(卜一10:10《)通十0.02+().006二 (A火)又)12.(B又).()66.(CX少.12.(l水).24.(E只)滩26. 夕2.丽= (A沁.0()8.(HX川8.((’X)夕弓.(l))1 .25、(l二)12.5.3.2(81+83+85+87+8冬,+91干冬)3+95+97+99)如图。大认方体由27个大小相同的小立方体组成,大企方体的各个面1二的一些小方格涂LJ’黑色,相对的两个面涂色的花样是样的,至少有·个面涂卜黑色的小认叮5.(A)1600.(B)165七).((’)17(洲).(l))175().(E)18(刃.马丁用某一个单位“(子’来度{找角度,整个圆周角是汉助个“〔朴,那么个六角是多少个“(引?(A队).(…     

浙江省第二届初中数学竞赛决赛试题及解答

(1990年10月l刁日上午8:30一一:00) 一、选择肠 1.某商品88年提价25线,90年要恢复原价,则应降价() (^)15%;(B)20%,(e)25%;(b)30%. 2.在所有六位数中,各位数字之和等于52,这样的六位数有() (A)2个;(B)12个;(c)21个;(o)31个. 3.已知两列数: 2,5,8,11,]4,17,…,2 (200一l)X3, 5,9,13,17,21,25,.‘·,5十(200一l)义4它们都有200项,这两列数中相同的项数有() (A)49项,(B)50项,(e)51项;(D)1 49项. 4.设。为、瓜万于一石万于的/J、数部分,。为了6 。万一流万丁于的小数部分,则粤一冬的值为‘’乙a目子二,二、 (^)了万一护万. 一(B)了丁 了万一1…     

第3届罗马尼亚大师杯数学竞赛试题及解答（一）

1．对一个由有限个素数组成的集合P,用m（p）表示具有下述性质的连续正整数的个数的最大值：这些连续正整数中的每个数都能被P中的至少一个元素整除．     

第3届罗马尼亚大师杯数学竞赛试题及解答（二）

第3题解答二：不妨设射线A4A1与A2A3交于点Q,而射线A3A4与A1A2交于点P．设＜QA1A2=α,＜QA2A1=β,＜PA1A1=γ,＜QA3P=180°-δ.     

1983年第九届全俄数学竞赛部分试题解答

在上期我刊已发表了郑兆龙同志编译的《1983年第九届全俄数学竞赛试题》,这一期刊出第三轮试题的解答供参考。第四轮的解答将在下期刊出。     

第32届国际数学奥林匹克试题及解答

1.(苏联提供)已给△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别与其对边交于A′,B′,C′。求证     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

第31届国际数学奥林匹克试题及解答

周彤同学在第31届国际数学奥林匹克中以满分的成绩获得金牌,为祖国贏得了荣誉。今将其解答全文发表如下,以飨读者。文中少处叙述经其指导老师钱展望同志修改和润色。     

1989年澳大利亚数学竞赛试题及解答

随着经济实力的增长,澳大利亚在各个领域里都崭露头角。它主办了第二十九届国际数学奥林匹克,又发起了亚洲太平洋地区数学竞赛。堪培拉高等教育学院的P.J.o’Halloran教授尤为活跃,担任了世界各国数学竞赛联合会的主席与亚太地区数学竞赛委员会的主席,出版了一本杂志《数学竞赛》,专门报道各国数学竞赛的动态。     

第32届国际数学奥林匹克试题解答

第一试 (1991.7.17. 9:00-13:30) 一、△ABC之三内角平分线交对边于A＇、B＇、C＇,且内心为1,则 1/4相似文献   

湖南省第四届中学生数学夏令营试题及解答

(1991年8月15日上午8,00~12:DO,湖南师大) 一、简答题 1.在四面体川男。中,AB=韶~AD=肥一1,BD=了了,cD二了万.试求对校AD、Bc所成的角. ,.△月6‘的三内角的正切值为三个连续的整数,x.l筑大内角的位是多少? ,.设集合E.={(:,梦)},成}:}’,{:!)l},无二l,2,…,1991.试求E:门E,n…n