世界数学奥林匹克竞赛试题选

1 (俄罗斯1999年数学奥林匹克竞赛)是否存在19个不同的正整数使得它们的和是1999而且每个数的数字之和是相等的?     

第二十七届国际数学奥林匹克竞赛的一道题目的命题经过

第二十七届国际中学生数学奥林匹克竞赛于1986年7月在波兰的首都华沙举行。我国中学生为国争光,得到了三个一等奖,与美国同是夺得一等奖最多的国家。我国代表队的总分名列第四,这真是使全国人民都感到高兴的消息。与此同时,我国提出的四个题目中,有一个被选中作为本届竞赛的题目。在由各个参赛国提出的众多赛题中,有一题能被选中,这也是一件荣耀的事。须知,各国代表团的领队们都是经验丰富的数学专家,他们对于题目的趣味性和科学性是有高度鉴别能力的。我们先把这个题目写在下面。在平面上给定三点A、B、C,一个人从同一平面上的二点P出发,直线行进到A,向左转60°之后     

第二十八届国际数学奥林匹克竞赛第5题的分析

编者按:中国科技大学数学系副教授国家数学奥林匹克集训队教练杜锡录先生在给我国参加第28届国际数学奥林匹克的选手集训时讲了有关组合几何的问题,其例题恰中赛题之第五题。致使我国选手,在这一题上,总共六名选手中,五人满分,另一人仅失两分,而且得满分的五名选手中,对此题的解法几乎完全是一个模式。在第28届IMO中,我国选手取得良好成绩,这不能说不与杜先生的训练有关。本刊特请杜先生将他演讲此题的构思过程写出来,以飨读者。并且我们还邀请杜先生为本刊撰写数学竞赛系列讲座,将从明年第一期起进行连载。     

数学奥林匹克的命题原则和方法

随着数学竞赛的发展,正在逐步形成一门特殊的数学学科——奥林匹克数学。奥林匹克数学主要研究以下五个方面的问题: 历史的分析:从数学奥林匹克演变的过程探讨其存在和发展的规律和特点;     

美国第十二届奥林匹克数学竞赛题解

决赛于5月3日举行,时间三小时半。笔者试拟了这份解答,作为引玉之砖,与广大数学爱好者共同研讨。 第一题 在给定的圆周上随机地选择A、B、C、D、E、F六个点,这些点的选择是独立的,而且相对于弧长而言是等可能的。求ABC、DEF这两个三角形不相交(即没有公共点)的概率。 解:不失一般性,可设圆的直径为1,则周长为π。考虑到对称性,可设A为圆周上定点。设沿逆时     

世界各地数学奥林匹克竞赛试题摘编

1　 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解　以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一…     

浅谈数学建模竞赛的命题

随着大学生数学建模竞赛的广泛开展,对竞赛命题的探讨也越来越重要.一道好的竞赛命题应该满足几方面的要求.     

国际数学奥林匹克和中国的数学竞赛——写在第31届国际数学奥林匹克前

<正> 1986年,我国申请举办国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称IMO)。第二年,IMO常设委员会决定由我国举办1990年的第31届IMO.举办本届IMO,是我国教育界和数学界的一件大事。     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,试证 :x2 y + y2 z +z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若x1,x2 ,… ,xn(n≥ 3)为满足x1+x2+… +xn=1的非负实数 ,则x21x2 +x22 x3+… +x2n- 1xn+x2nx1≤ 42 7( 2 )当x1,x2 ,… ,xn 中一个为 23,另一个为 13,其余n - 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,n ,m∈N+且n≥m ,则　xnym + ynzm +znxm≤13nnmm(n +m) n +m　…     

第五讲 奥林匹克数学的命题原则

第五讲奥林匹克数学的命题原则４３００２２武汉市教学研究室朱华伟命题是数学奥林匹克的中心环节，命题对数学奥林匹克活动的开展带有指导性作用，题目出得好坏是数学竞赛成败的关键．正如已故数学大师华罗庚教授所言：“出题比做题更难，题目要出得妙，出得好，要测得出...     

美国第十届奥林匹克数学竞赛

美国第十届奥林匹克数学竞赛于1981年5月5日举行。参加这次竞赛的150名学生都是1981年度高中数学竞赛的优胜者。美国奥林匹克数学竞赛的参加者都是从每年高中数学竞赛的优胜者中选拔出来的。1981年3月10日有422,000名学生参加了高中数学竞赛。第十届奥林匹克竞赛题目如下: 1.已知一个角的角度是180°/n,其中n是一个不能被3整除的正整数。试证明在欧几里德(直尺和圆规为工具)的意义下,该角能被三等分。 2.有一个县,其中每两个公社之间,用以下三种运输方式中之一种直接进行交往联系:汽车、火车     

数学竞赛命题失误例说

数学命题,是一项艰苦细致,严谨周密的工作,出一套普通考题并不难,但要为数学竞赛出一道有一定的针对性,有较强的综合性和灵活性的上乘好题,则非易事,现就数学竞赛题中常见的一些失误现象综述如下,以期引起注意,做到防患于未然。     

一道奥地利数学奥林匹克题的溯源与推广

对第36届奥地利数学奥林匹克中一道平面几何试题进行溯源,并将该题推广到更一般的情况,分析它与另外几道竞赛试题的关联.     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则　xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ …     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广

在本刊2005年第19期P48上,刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题,当中的第3题为:设a,b,c是正数,求证:2ab 2bc 2ca≥a b c 4(a-b)2a b c.经过探索,我们从变量的个数方面,给出了上述不等式的一个推广.结论1已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广

在本刊2005年第19期P48上，刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题，当中的第3题为：设a，b，c是正数，求证：     

对一道数学竞赛命题的改进

北京市第4届大学生数学竞赛试题第9题，可以删去冗余条件而得到改进。     

一道数学奥林匹克竞赛试题的简证

题 (2007女子数学奥林匹克)已知a,b,c≥0,且a+b+c=1.求证:a+14(b-c)2+b+c≤3.……     

第三十届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

地点:联邦德国,不伦瑞克第一试(1989年7月18日) 1.求证:集合{1,2,…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,1,…,117),使得(1) 每个A_i含有17个元素;     

第36届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

第３６届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答张筑生（北京大学数学系１００８７１）（第３６届ＩＭＯ中国队领队）第一天，１９９５年７月１９日（４小时，每题７分）１设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一条直线上依次排列的四个不同的点．分别以ＡＣ，ＢＤ为直径的两圆相交于Ｘ和Ｙ；直线...