Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

The loss of laminar flow stability in non-isothermal flow of plastic disperse systems through circular pipes

Summary Various methods for the evaluation of stability loss conditions for the flow of non-elastic non-Newtonian fluids in circular pipes are considered. Equations are derived for the calculation of stability parameter critical value for non-linear viscoplastic liquids based on the integral value of the kinetic energy of the flow. Computation results by both this method and local stability parameter method are compared with experimental data. The advantages of the first of these methods are shown for pseudo-plastic liquids with behaviour index below 0.5 and viscoplastic fluids with generalized Hedstrom number above 5 10⁴. Defined are stability parameters for non-isothermal flow of non-linear viscoplastic fluid obeying the Bulkley-Herschel equation with and without regard to motion energy dissipation. The effect of rheological properties dependence from temperature and heat flux direction on laminar flow stability is determined. The results of numerical calculations for different variants are presented.

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Zusammenfassung Es werden verschiedene Methoden zur Abschätzung des Stabilitätsverlustes (d. h. des Umschlagens von der laminaren in die turbulente Strömungsform) bei der Strömung nicht-elastischer nicht-newtonscher Flüssigkeiten in Kreisrohren betrachtet. Gleichungen zur Bestimmung der kritischen Werte des Stabilitätsparameters für nichtlinear-viskoplastische Flüssigkeiten werden abgeleitet, die auf der Größe der gesamten kinetischen Energie der Strömung basieren. Rechenergebnisse sowohl für diese Methode als auch die Methode der lokalen Stabilität werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen. Die Vorzüge der erstgenannten Methode werden für strukturviskose Flüssigkeiten mit einem Indexn unter 0,5 und für viskoplastische Flüssigkeiten mit einer Hedström-Zahl größer als 5 10⁴ aufgezeigt. Es werden weiter Stabilitätsparameter für nicht-isotherme Strömungen nichtlinearviskoplastischer Flüssigkeiten definiert, die der Bulkley-Herschel-Gleichung gehorchen, wobei die Energiedissipation sowohl berücksichtigt als auch vernachlässigt werden kann. Die Wirkung der Abhängigkeit der rheologischen Eigenschaften von der Temperatur und der Richtung des Wärmestroms auf die Stabilität der laminaren Strömung wird untersucht. Für eine Anzahl von verschiedenen Bedingungen werden numerisch berechnete Beispiele vorgestellt.

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With 8 figures and 1 table     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

A new torque and normal thrust measuring system for the Weissenberg rheogoniometer

Zusammenfassung Im Warren Spring Laboratory wurde ein neues Drehmoment-und Normaldruckmeßsystem entwickelt, das mit Ausnahme des R17 zu den meisten Modellen desWeissenberg-Rheogoniometers paßt. Ein einziges piezoelektrisches Kristallgerät ersetzt die luftgelagerte Torsionsaufhängung und somit die Notwendigkeit einer Preßluftzufuhr, und es ersetzt außerdem das mit Servoeinrichtung versehene Normaldruckmeßsystem.Bei gleichmäßiger Rotationsprüfung erfaßt das Gerät einen weiten Drehmoment- und Druckbereich. Ohne daß Torsionswellen, Normaldruckfedern und/oder Kegeldurchmesser ausgetauscht werden müssen, werden die gleichen Bereiche wie mit dem Standardsystem erreicht. Durch den Normaldruck verursachte etwaige Änderungen der Spaltweite sind dank der Natur dieses Gerätes praktisch bedeutungslos, und die mit Servoeinrichtung versehene Anordnung wird somit überflüssig. Damit entfallen die Schwierigkeiten durch Unempfindlichkeit und Ansprechverzögerung der Anordnung während des Einsatzes bei hochviskosen Materialien.Beim dynamischen Testen sind keine Korrekturen aufgrund der Eigenfrequenz des Gerätes erforderlich, da diese wesentlich höher als die obere Testfrequenz des Instrumentes ist. Im niedrigen Viskositätsbereich sind beim Standardmodell Korrekturen erforderlich. Dank der Torsionsstabilität der Oberplatte werden außerdem höhere Spannungen ermöglicht. Durch die Ansprechgeschwindigkeit des neuen Gerätes werden dynamische Normalkraftmessungen möglich.Es werden einige mit dem neuen und mit dem Standardsystem gewonnene vergleichende Daten einer Reihe von Materialien sowohl für gleichbleibende Rotations- als auch Oszillationstest angegeben.

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With 6 figures     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Ein Differenzenverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichung für stationäre,laminare, inkompressible Strömung

Zusammenfassung Für die laminare, inkompressible, stationäre Grenzschicht an einer festen, undurchlässigen Wand -wird ein implizites Differenzenverfahren angegeben, das als Ausgangsgleichung eine Differentialgleichung vom Crocco-Typ verwendet. Durch eingehende, nur numerisch durchzuführende Stabilitätsuntersuchungen kann gezeigt werden, daß Störungen nach wenigen Rechenschritten mit Sicherheit abgebaut werden. Das Verfahren wird an einer großen Zahl von Beispielen praktisch erprobt. Der Rechenaufwand erfordert den Einsatz von Elektronenrechenanlagen, das Verfahren ist jedoch sehr gut für die Programmierung geeignet. Mit geringem Aufwand wird z. B. eine Genauigkeit von zwei Dezimalen für die Schubspannung erreicht, während der Aufwand für eine Genauigkeit von drei Dezimalen schon als relativ hoch zu bezeichnen ist.Herrn Prof. Dr. K. Nickel, von dem die Anregung zu dieser Arbeit ausging, möchte ich für die wertvollen Ratschläge danken, mit denen er diese Arbeit gefördert hat. Ebenso danke ich Herrn Dr. R. Krawczyk für die fruchtbaren Diskussionen über die Stabilität, aus denen viele Anregungen zu diesem Problem hervorgingen.Auszug der Dissertation T. H. Karlsruhe, 1963, bzw. der Mitteilung D7 des Instituts für Angewandte Mathematik, T. H. Karlsruhe.     

Kinetisches Durchschlagen des schwach gekrümmten Stabes

Zusammenfassung In der Statik ist das Durchschlagen des gekrümmten Stabes ein wohl-bekanntes Stabilitätsproblem. Ein ganz entsprechendes kinetisches Stabilitätsproblem entsteht, wenn der gekrümmte Stab unter der Einwirkung einer schwingenden Querbelastung steht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre und der Kirchhoffschen Näherung für die Stablängskraft kann man zur Beschreibung der Stabschwingungen eine inhomogene nichtlineare Integrodifferential-gleichung für die Biegeschwingung allein aufstellen. Ein Lösungsansatz mit zeitabhängigen Funktionen führt diese partielle Integrodifferentialgleichung für eine beliebige Lastverteilung auf ein System nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück. Aus diesem System lassen sich die erzwungenen Schwingungen mit einer Störungsrechnung berechnen; sie haben im wesentlichen den gleichen Frequenz-Amplituden-Zusammenhang, den man schon vom. Duffingschen Schwingungsproblem her kennt. Das Stabilitätsverhalten dieser Schwingungen ließ sich mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude näherungsweise ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des Duffingschen Schwingers verstehen. Es sind daher Amplitudensprünge zu erwarten, die sich in einer Weise deuten lassen, die erkennen läßt, daß sich das statische und das kinetische Problem weitgehend entsprechen.Herrn K. von Sanden zum 75. Geburtstag gewidmet     

Einfluß der Dichteanomalie von Wasser auf die freie Konvektion in einem flachen Rechteckbehälter mit unterschiedlich beheizten Stirnflächen

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für den Wärmetransport durch freie Konvektion von Wasser in einem flachen Behälter werden mit Hilfe der angepaßten asymptotischen Entwicklung analytisch gelöst. Durch Einführung einer sinnvoll definierten Referenzgeschwindigkeit erhält man auch für den Fall, daß die Krümmung der Dichte-Temperatur-Funktion infolge des Dichtemaximums von Wasser bei 3,98 °C berücksichtigt werden muß, eine asymptotische Lösung. Diese Lösung wird als erweiterte Boussinesq-Lösung bezeichnet, da lediglich die Dichte im Volumenkraftterm der Bewegungsgleichung durch eine quadratische Temperaturfunktion berücksichtigt, in allen übrigen Termen aber als konstant betrachtet wird.

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Effect of density-anomaly of water on free convection in a shallow cavity with differentially heated end-walls

The basic equations for the heat transfer by free convection of water in a shallow cavity with differentially heated end-walls can be solved by the aid of the method of matched asymptotic expansion. By setting up an ingenious defined reference velocity one obtains an asymptotic solution, even if the curvature of the density-temperature-function must be taken into account because of the density maximum of water at 3.98 °C. This solution is called extended Boussinesq-solution because only the density in the volume force term of the momentum equation is taken into account by a quadratic temperature function whereas in all other terms it is considered as constant.

     

Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Summary A method is suggested which simplifies the investigations to the safety of buckling structures under time depending actions. The static analysis of the structure is used in order to fix the critical deformation state and hence the critical strain energy. Representing the deformation behaviour and the loading by some energetic measures an approximation for the development of the motion during the loading may be computed with less effort by using Galerkin's procedure. Representing the effect of the external actions by the energy which is induced to the structure during the loading the proof of the stability may be given by comparing this external energy to the critical strain energy.

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Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Übersicht Die zum Stabilitätsverlust von dünnen Flächentragwerken führenden Beulphänomene werden für zeitabhängige Einwirkungen an einfachen Tragwerken erläutert. Für die Untersuchung der Stabilität bei zeitabhängigen Einwirkungen wird ein Verfahren vorgestellt, das auf der Basis einer statischen Analyse skalare Energiemaße definiert, die eine zuverlässige Beurteilung der Stabilität zulassen. Die Berücksichtigung des zeitlichen Ablaufs der Verformungen infolge der vorhandenen instationären Einwirkungen erfolgt nur für wenige für den Stabilitätsverlust maßgebende Bewegungsformen. Die Trennung von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung ermöglicht eine effektive Untersuchung beulgefährdeter Tragwerke ohne die numerisch aufwendige Integration der nichtlinearen Bewegungsgleichungen.

     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

An interferometric study of thermal stratification by natural convection in a contained liquid

Transient laminar free convection to water in a rectangular container was investigated using a Mach-Zehnder interferometer. The experimental y observed temperature profiles are compared with analytically predicted profiles based on a computer program developed byBarakat. Good agreement between analysis and experiment was obtained. In addition qualitative observations of the conditions in the container during sudden discharge of the liquid are reported.

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Zusammenfassung Untersucht wurde der nichtstationäre, laminare Wärmeübergang durch freie Konvektion in Wasser in einem rechteckigen Behälter mittels eines Zehnder-Mach-Interferometers. Die im Experiment beobachteten Temperaturprofile wurden mit den analytisch vorausgesagten Profilen verglichen, die mit einem Komputerprogramm, das vonBarakat entwickelt wurde, erzielt wurden. Gute Übereinstimmung zwischen Analyse und Experiment wurde erreicht. Außerdem werden qualitative Beobachtungen der Vorgänge im Behälter während des plötzlichen Leerens der geschichteten Behälterflüssigkeit berichtet.

     

Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

Die Abhängigkeit des Retardationsmoduls thermoplastischer Kunststoffe von der mechanischen Beanspruchung,der Belastungszeit und der Temperatur

Zusammenfassung Die angeführten Beispiele sollen zeigen, in welcher Weise auch für Belastungen über denHookeschen Bereich hinaus und für längere Belastungszeiten ein zeit-,spannungs- und temperaturabhängiger KriechmodulM _K(t) definiert und aus den Ergebnissen von Kriechversuchen ermittelt werden kann. Diese der Elastizitätstheorie nicht entsprechende Größe stellt für Konstruktionsrechnungen insbesondere bei Stabilitätsproblemen eine gute Hilfe dar, mit der bei Berücksichtigung der Einflußgrößen Zeit, Spannung und Temperatur eine Rechnung in herkömmlicher Weise mit hinreichender Genauigkeit möglich ist. Für die meisten Verwendungsfälle liegt die praktische Beanspruchung in einem Spannungsbereich, in dem der Kriechmodul ohne größere Vernachlässigungen als konstant bezüglich der Spannung angenommen werden kann, so daß lediglich Temperatur- und Zeitabhängigkeit zu berücksichtigen sind.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.     

The effect of a solid wall for the flow of dilute macromolecular solutions

Summary In the vicinity of a wall the behavior of the molecules of a fluid is not only influenced by neighboring molecules but also by the wall. For a macromolecular solution this implies that the constitutive equations cannot be employed in any finite system except for the calculation of average quantities if, in addition, one accounts for a velocity slip at the solid wall. For planeCouette flow of a dilute solution of flexible macromolecules idealized asHookean dumbbells the slip velocity,u _s , is evaluated under the assumption that the interaction between the solute molecules and the wall is a hard core repulsion. This furnishes a slip velocity in the direction of the flow so that the apparent viscosity goes down by increasing the ratio of the length of the molecules to the distance between the plates. Increasing the intrinsic viscosity and/or the concentration will enhance that effect.

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Zusammenfassung In der Nähe einer Wand wird das Verhalten der Moleküle einer Flüssigkeit nicht nur von Nachbarmolekülen, sondern auch von der Wand beeinflußt. Für eine makromolekulare Lösung bedeutet das, daß die rheologischen Stoffgleichungen in einem endlichen System nicht anwendbar sind. Zur Berechnung gemittelter Größen kann sie jedoch noch verwendet werden, vorausgesetzt, man zieht eine Geschwindigkeitsgleitung mit in die Betrachtung ein. Für die ebeneCouette-Strömung einer verdünnten Lösung flexibler Makromoleküle, die man durchHookesche Hanteln idealisiert, läßt sich die Gleitungsgeschwindigkeitu _s berechnen unter der Annahme, daß die Wechselwirkung mit der Wand rein abstoßend ist. Es zeigt sich, daß dies eine Gleitungsgeschwindigkeit in Strömungsrichtung nach sich zieht, so daß sich die scheinbare Viskosität der Strömung bei größer werdendem Verhältnis von Länge der Moleküle zum Plattenabstand erniedrigt. Eine Vergrößerung desStaudinger-Index und/oder der Konzentration vergrößert den Effekt.

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Paper presented at the Annual Conference of German Rheologists in Berlin, April 28–30, 1975.

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With 2 figures     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Estimation of ultimate safe loads in elastic stability theory

Ultimate safe load estimates are derived for general isotropic materials. Conditions sufficient to assure stability of equilibrium in the dead load traction boundary value problem are obtained from an energy type criterion by application of certain inequalities and by subsequent separation of the incremental shear strain components from the others. Specific estimates are provided for stability of the undistorted states of every isotropic elastic material, and it is shown that the inequalities based upon the estimates derived here imply those given elsewhere; in the natural state of vanishing stress and strain the conclusions are coincident with the classical inequalities for the shear and bulk moduli. General sufficient conditions for stability of equilibrium of an incompressible Mooney-Rivlin body are derived. Simple shear and simple extension analyses for isotropic Hadamard elastic materials reveal that several classical relations can be obtained for this class of materials in the theory of finite strain, and explicit formulae for determination of certain elastic constants and familiar moduli are provided. Sufficient conditions for stability for every such Hadamard elastic material are obtained by special application of the general formulae developed earlier in the work, and particular results for a compressible Mooney-Rivlin type material are given. It is found that these include as a special case our earlier results for the familiar incompressible Mooney-Rivlin body. It happens also that several inequalities usually obtained from certain requirements that assure resonable material response to the loading, but which otherwise have been unrelated to stability, appear here as natural sufficient conditions for stability in the dead load problem. Finally, several of the results are applied to study the problem of stability of an Euler column, and physical implications of the analyses are discussed.

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Zusammenfassung Für allgemeine isotrope Materialien werden völlig sichere Lastabschätzungen hergeleitet. Bei Randwertproblemen nicht mitgehender Lasten werden hinreichende Bedingungen zur Gewährleistung der Stabilität des Gleichgewichts von einem Energie-Kriterium durch Anwendung verschiedener Ungleichungen und durch nachfolgende Trennung des Zuwachses der Schubspannungskomponenten von den übrigen erhalten. Für die Stabilität unverformter Zustände beliebiger isotroper elastischer Materialien werden spezielle Abschätzungen geliefert. Dabei wird gezeigt, daß die Ungleichungen, die sich aus den hergeleiteten Abschätzungen ergeben, diejenigen anderer Autoren enthalten. Die Ergebnisse stimmen für den spannungs- und verformungsfreien Zustand mit den klassischen Ungleichungen für Schub- und Kompressionsmodul überein. Es werden allgemeine hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gleichgewichts eines inkompressiblen Körpers vom Mooney-Rivlin-Typ abgeleitet. Einfache Schub- und Dehnungsberechnungen für isotrope Hadamard-elastische Materialien zeigen, daß einige klassische Beziehungen in der Theorie endlicher Dehnungen für diese Materialien erhalten werden können, und es werden explizite Formeln für die Bestimmung gewisser elastischer Konstanten und üblicher Moduln angegeben. Hinreichende Stabilitätskriterien werden durch eine spezielle Anwendung der allgemeinen Gleichungen gewonnen und Ergebnisse für ein kompressibles Mooney-Rivlin-Material dargestellt. Es zeigt sich, daß diese unsere früheren Ergebnisse für den inkompressiblen Mooney-Rivlin-Körper als Spezialfall enthalten. Es tritt auch der Fall auf, daß einzelne Ungleichungen, die gewöhnlich aus gewissen Forderungen zur Gewährleistung einer sinnvollen Reaktion des Materials auf die Belastung folgen, die aber auf der anderen Seite keinen Bezug zur Stabilität besitzen, hier als natürliche hinreichende Stabilitätskriterien bei Problemen nicht mitgehender Lasten auftreten. Schließlich werden einige Ergebnisse zur Untersuchung der Stabilität eines Euler-Stabes herangezogen und die physikalische Bedeutung der Rechnungen diskutiert.

     

On the imperfection sensitivity of compound branching

Summary The effect of small imperfections on the stability behaviour of an N-degree-of-freedom system exhibiting 2-fold coincident critical points is investigated. The analysis is based on equilibrium surfaces and the multiple-parameter perturbation technique. The relationship between certain forms of the equilibrium surface and the Catastrophe theory is discussed. An illustrative structural model is analyzed.

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Übersicht Es wird der Einfluß kleiner Abweichungen auf die Stabilität von Systemen mit N Freiheitsgraden mit einem zweifachen kritischen Punkt untersucht. Die Analyse beruht auf der Betrachtung von Gleichgewichtsflächen und auf der Störungsrechnung für mehrere Parameter. Die Beziehungen zwischen den auftretenden Gleichgewichtsflächen und der Katastrophentheorie werden erörtert. An einem Strukturmodell wird die Vorgehensweise erläutert.

     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

Ein neues Verfahren zur Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen bei Berücksichtigung der Torsion zweiter Art

Zusammenfassung Einer genauen Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen ist die Torsion zweiter Art zugrunde zu legen. Für je drei aufeinanderfolgende Drehmomente läßt sich eine Rekursionsformel angeben, welche sich von derjenigen bei der Torsion erster Art dadurch unterscheidet, daß alle drei Koeffizienten der Momente ein mit der Eigenkreisfrequenz behaftetes Glied enthalten. Im Fall einer homogenen Maschine vereinfacht sich diese Rekursionsformel auf eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten; ihre Lösung führt auf einfache trigonometrische Ausdrücke. Insbesondere lassen sich im rein homogenen Fall die Eigenfrequenzen streng und in geschlossener Form angeben. Ferner werden die praktisch wichtigen Fälle einer homogenen Maschine mit einer oder zwei Zusatzdrehmassen eingehend behandelt; allerdings müssen dabei die Eigenwerte aus im allgemeinen nicht explizit lösbaren transzendenten Gleichungen bestimmt werden, wobei zu beachten ist, daß auch komplexe Eigenwerte möglich sind. Es zeigt sich weiterhin, daß die einem komplexen Eigenwert entsprechende Frequenz (theoretisch) imaginär werden kann; dieser Fall dürfte jedoch in der Praxis kaum eintreten, da, wie man durch eine genauere Untersuchung erkennt, hierzu die Einflußzahlen der Nebentorsion die Größenordnung derjenigen der Haupttorsion erreichen müßten. Für die behandelten Schwingungssysteme werden außerdem Formeln zur Ermittlung der Momenten- und Drehwinkelverhältnisse abgeleitet. Als Beispiel wird abschließend eine Vierzylindermaschine mit Schwungrad vollständig durchgerechnet.Die Verfasser sind Herrn Prof. Grammel für die Anregung zu dieser Arbeit sehr zu Dank verbunden.