椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

关于Lagrange平均插值过程的逼近阶估计

本文以多项式（１＋ｘ）Ｖｎ（ｘ）Ｖｎ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｎ＋１２θｃｏｓθ２，ｘ＝ｃｏｓθ的零点作为插值的节点，构造了一个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式算子过程Ｃｎ（ｆ，ｘ），给出了其逼近阶估计．同时证明Ｃｎ（ｆ，ｘ）亦满足Ｄｉｔｚｉａｎ－Ｔｏｔｉｋ定理．     

一元二次方程教与学研究

第１课　一元二次方程（精讲式）一、问题提出１．如果一个正方形的面积为６４ｃｍ２,正方形的边长为ｘｃｍ,则ｘ２＝６４,ｘ＞０　①２．已知一个矩形的长比宽多２ｃｍ,宽为ｘｃｍ,矩形的面积为４５ｃｍ２,问矩形的宽是多少？依题意得：（ｘ＋２）ｘ＝４５　（ｘ＞０）整理得：ｘ２＋２ｘ－４５＝０　②３．在△ＡＢＣ中∠Ｃ＝９０°,ＡＢ＝１６ｃｍ,ＢＣ－ＡＣ＝２ｃｍ,求ＡＣ的长．若设ＡＣ＝ｘｃｍ则由勾股定理ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２,即ｘ２＋（ｘ＋２）２＝１６２整理得：ｘ２＋２ｘ－１２６＝０　③４．某片树林现估计木材…     

ON THE PARTIAL STABILITY OF IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＬｅｍｍａｓＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｉｍｐｕｌｓｉｖｅｅｆｅｃｔｓ：ｘ′＝ｆ（ｔ，ｘ），ｔ≠τｋ，△ｘ＝Ｉｋ（ｘ），ｔ＝τｋ，ｋ＝１，２，…，（１）ｗｈｅｒ...     

一类指数型整函数插值算子的逼近性质

设（Ｕσｆ）（ｘ）＝∑ｋ∈Ｚｆ（Ｘｋ）Ａσ（Ｘ－Ｘｋ）,Ｘｋ＝２ｋπσ,ｋ∈Ｚ,σ＞０,ｆ是Ｒ上的有界函数,而Ａσ（ｙ）＝２σ∫σ０ｓｉｎｍ（σ－Ｘ）ｈｓｉｎｍ（σ－Ｘ）ｈ＋ｓｉｎｍｘｈｃｏｓｘｙｄｘ,ｍ为奇自然数,０＜ｈ＜πσ,本文研究了此插值算子的收敛与饱和问题．     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

THE PERIODIC SOLUTIONS OF CERTAIN EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｐｅｒｉｏｄｉｃｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓｘ＝Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１．１）ｘ＝－Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１...     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

关于Hermite-Fejer插值过程的平均收敛

文［１］讨论了某些非Ｗ－过程的插值算子的加权平均逼近的收敛性和收敛阶．如记Ｈｎ（ｆ；ｘ）为以第二类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式Ｕｎ（ｘ）的零点作为插值节点，区间［－１，１］上的函数ｆ（ｘ）的Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｆｅｊｅｒ插值算子，［１］中证得：定理Ａ当０＜ｐ...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

一个多线性振荡奇异积分算子

本文建立多线性算子ＴＡ１，Ａ２，…Ａｋｆ（ｘ）＝ｐ．ｖ∫ＲｎｅｉＰ（ｘ，ｙ）Ω（ｘ－ｙ）｜ｘ－ｙ｜ｎ＋Ｍ－ｋｋｊ＝１Ｒｍｊ（Ａｊ；ｘ，ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ，ｎ２，的一个变形的ｓｈａｒｐ估计，其中Ｐ（ｘ，ｙ）是Ｒｎ×Ｒｎ上的实值多项式，Ω是零阶齐性函数且满足某种消失性条件，Ｍ＝∑ｋｊ＝１ｍｊ，Ｒｍｊ（Ａｊ；ｘ，ｙ）表示Ａｊ在ｘ点关于ｙ的ｍｊ阶Ｔａｙｌｏｒ级数余项，对所有满足｜α｜＝ｍｊ－１（ｊ＝１，２，…，ｋ）的指标α，ＤαＡｊ∈ＢＭＯ（Ｒｎ）．作为ｓｈａｒｐ估计的推论，得到了算子ＴＡ１，Ａ２…Ａｋ在Ｌｐ（１＜ｐ＜∞）上的有界性．     

圆锥曲线弦的中点与斜率的关系及其应用

关于圆锥曲线弦的中点问题,许多文章已有论述,本文综其为一体,给出圆锥曲线弦的一个重要性质．定理　圆锥曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的弦的斜率为ｋ,弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,同有Ａｘ０＋Ｃｋｙ０＋１２Ｄ＋１２ｋＥ＝０．证　设弦的两端点为（ｘ１,ｙ１）,（ｘ２,ｙ２）斜率为ｋ,则有Ａｘ２１＋Ｃｙ２１＋Ｄｘ１＋Ｅｙ１＋Ｆ＝０,Ａｘ２２＋Ｃｙ２２＋Ｄｘ２＋Ｅｙ２＋Ｆ＝０．两式相减,得Ａ（ｘ２１－ｘ２２）＋Ｃ（ｙ２１－ｙ２２）＋Ｄ（ｘ１－ｘ２）　＋Ｅ（ｙ１－ｙ２）＝０．两边同除以ｘ１－ｘ２,注意到…     

三角函数与反三角函数单元测试题

一、选择题（每小题４分，共４０分）１．集合Ｐ＝｛ｘ｜ｘ＝ｃｏｓｋπ６，ｋ∈Ｚ｝中元素的个数为（）．（Ａ）９个（Ｂ）８个（Ｃ）７个（Ｄ）６个２．若ｓｉｎθ＝３５，ｃｏｓθ＝－４５，则２θ的终边在（）．（Ａ）第二、四象限（Ｂ）第三、四象限（Ｃ）第三象限（...     

一类离散型奇异积分算子

设｛αｋ｝∞ｋ＝－∞为正数缺项序列，满足ｉｎｆｋαｋ＋１／ｄｋ＝α＞１，Ω（ｙ′）为Ｂｅｓｏｖ空间Ｂ０，１１（Ｓｎ－１）上的函数，其中Ｓｎ－１为Ｒｎ（ｎ２）上的单位球面．本文证明：若∫Ｓｎ－１Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）＝０，则离散型奇异积分ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝∑∞ｋ＝－∞∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）和相关的极大算子ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝ｓｕｐＮ∑∞ｋ＝Ｎ∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）均在Ｌ２（Ｒｎ）上有界．上述结果推广了Ｄｕｏａｎｄｉｋｏｅｔｘｅａ和ＲｕｂｉｏｄｅＦｒａｎｃｉａ［１］在Ｌ２情形下的一个结果     

一类具周期系数的Riccati型方程的周期解

给出Ｒｉｃｃａｔｉ型方程ｘ＾&;#183;＝Ａ（ｔ）ｘ＾２ｍ＋Ｂ（ｔ）ｘ＾２ｋ－１＋Ｃ（ｔ）（Ａ（ｔ），Ｂ（ｔ），Ｃ（ｔ）是周期为Ｔ的连续函数，ｍ，ｋ∈Ｎ且ｍ≥ｋ）无周期解及存在周期解的充分条件。     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式

对于二元二次多项式ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ（其中Ａ，Ｂ，Ｃ不全为零），设ｈ＝２ＣＤ－ＢＥＢ２－４ＡＣ，ｋ＝２ＡＥ－ＢＤＢ２－４ＡＣ，Ｆ１＝ｆ（ｈ、ｋ）＝１２Ｄｈ＋１２Ｅｋ＋Ｆ，△＝２ＡＢＤＢ２ＣＥＤＥ２Ｆ＝－２（Ｂ２－４Ａ...     

Hermne-Fejér插值算-T的平均收敛准则

给出了一个有用的有判断Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｆｅｊｅｒ插值算子Ｈｎ（ｆ,ｘ）平均收敛准则,即Ｈｎ（ｆ,ｘ）依范数收敛于ｆ（ｘ）的充分必要条件是：Ｈｎ（ｆ,ｘ）一致 有界（对一切ｎ）并且Ｈｎ（Ｆ,ｘ＾ｋ）依范数收敛于ｘ＾ｋ（ｋ＝１,２）。     

一类指数型整函数值算子的逼近性质

设（Ｕσｆ）（ｘ）＝Σ↓ｋ∈Ｚｆ（Ｘｋ）Ａσ（Ｘ－Ｘｋ），Ｘｋ＝２ｋπ／σ，ｋ∈Ｚ，σ〉０，ｆ是Ｒ上的有界函数，而Ａσ（ｙ）＝２／σ∫σ０ｓｉｎ＾ｍ（σ－Ｘ）ｈ／ｓｉｎ＾ｍ（σ－Ｘ）ｈ＋ｓｉｎ＾ｍｘｈｃｏｓｘｙｄｘ，ｍ为奇自然数，０〈ｈ〈π／σ，本文研究了此插值算子的收敛与饱和问题。