Comparison of cartesian and lobe function Gaussian basis sets

The lobe function and cartesian (spherical harmonic) gaussian are compared with reference to calculations for second-row atoms. Single and grouped gaussian basis sets which have been reported for cartesian functions are taken over directly to construct corresponding lobe function bases with identical sets of exponents and with lobe separations chosen by a scaling procedure. Total and orbital energies and SCF coefficients resulting from calculations on the second-row atoms using the two types of functions for both primitive and grouped gaussian basis sets are seen to be in excellent agreement, thereby emphasizing the essential equivalence of lobe functions and cartesian gaussians, at the very least with respect to calculation of energy surfaces.

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Zusammenfassung Die Lobe-Funktionen und kartesischen (Kugelfunktions-) Gaußfunktionen werden in Berechnungen von Atomen der zweiten Reihe des periodischen Systems verglichen. Schon bekannte einfache und gruppierte Gaußfunktionsbasissätze für kartesische Funktionen werden direkt übernommen, um entsprechende Lobe-Funktionsbasen mit identischen Exponenten zu konstruieren, wobei die zugehörigen Lobe-Abstände nach einer Koordinatenstreckungs-(scaling) Methode berechnet werden. Gesamt- und Orbitalenergien sowie SCF-Koeffizienten für die Atome der zweiten Reihe stimmen bei Benutzung der beiden verschiedenen Funktionstypen, sowohl bei einfacher als auch bei gruppierter Gaußfunktionsbasis, außerordentlich gut überein, wodurch die wesentliche Gleichwertigkeit von Lobe-Funktionen und kartesischen Gaußfunktionen betont wird, zum allermindesten hinsichtlich der Berechnung von Energieflächen.

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Résumé La fonction de lobe et la gaussienne cartésienne (harmonique sphérique) sont comparées sur des calculs d'atomes de la seconde ligne. Des bases de gaussiennes simples et groupées utilisées pour les fonctions cartésiennes sont directement employées pour construire les bases correspondantes de fonctions à lobes avec des ensembles d'exposants identiques et des séparations de lobes choisis par calibrage. L'emploi de ces deux types de fonctions donne des résultats concordants pour l'énergie totale, les énergies orbitales et les coefficients SCF, mettant l'accent sur l'équivalence essentielle des fonctions à lobe et des gaussiennes cartésiennes, tout au moins pour le calcul des surfaces d'énergie.

     

Die Integrale mit elliptischen Gaußfunktionen in der Quantenchemie

Zusammenfassung Es werden alle Integrale angegeben, die sich im Rahmen der quantenchemischen Rechnungen bei Verwendung von elliptischen Gaußfunktionen ergeben. Es zeigt sich dabei, daß die Integrationen ähnlich verlaufen wie bei den reinen Gaußfunktionen, die bisher verwendet wurden.

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Integrals with elliptic Gaussian functions

All integrals which result from quantum chemical calculations are given by means of elliptical Gaussian functions. The technique of integration is similar to that of the pure Gaussian functions which have been used up to now.

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Résumé Toutes les intégrales d'un calcul de chimie quantique sont exprimées au moyen de fonctions gaussiennes elliptiques. La technique d'intégration est semblable à celle utilisée jusqu'à présent pour les fonctions gaussiennes pures.

     

Small gaussian basis sets for second-row atoms

6s-type and 4p-type gaussian basis sets are obtained for the second row atoms by fitting, using a least squares criterion, to 12s-type and 9p-type gaussian basis sets which are close to the self-consistent field atomic orbital wave functions. The small gaussian expansions are considered to be more suited for molecular calculations using double basis sets. The differences between these sets and the 10s-type, 6p-type and 9s-type, 5p-type are analysed. For molecular calculations using single gaussian basis sets the 10s-type and 6p-type would seem to be the best compromise.

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Zusammenfassung Ein Basissatz von Gaußfunktionen vom 6s- bzw. 4p-Typ für Atome der zweiten Reihe wird erhalten, indem die Funktionen mit Hilfe des Kriteriums der kleinsten quadratischen Abweichung einem Satz von Gaußfunktionen vom 12s- bzw. 9p-Typ angepaßt werden; dabei ist der letztgenannte Satz der selbstkonsistenten Wellenfunktion aus Atomorbitalen stark angenähert. Die kürzeren Entwicklungen nach Gaußfunktionen werden für geeigneter bei Berechnungen mit zweifachen Basissätzen gehalten. Die Unterschiede zwischen diesen Sätzen und solchen vom 10s- bzw. 6p-Typ sowie vom 9s- und 5p-Typ werden untersucht. Für Molekülrechnungen mit einfachen Basissätzen von Gaußfunktionen scheint der Satz vom 10s- bzw. 6p-Typ den besten Kompromiß darzustellen.

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Résumé On obtient des bases gaussiennes de type 6s et 4p pour les atomes de la seconde ligne par ajustement selon un critère de moindre carré à des bases gaussiennes de type 12s et 9p proches des orbitales atomiques SCF. Les petits développements en gaussiennes sont plus adaptés à des calculs moléculaires en bases doubles. Analyse des différences entre cas bases et les bases de types 10s et 6p, 9s et 5p. Pour des calculs moléculaires à base simple, 10s et 6p semble le meilleur compromis.

     

Non-empirical LCAO-MO-SCF calculations with gaussian type functions on the electrocyclic transformation of cyclopropyl to allyl

Non-empirical molecular quantum chemical calculations have been performed on the electrocyclic transformation of planar and non planar cyclopropyl anions, to allyl anions in the LCAO-MO-SCF framework using gaussian type functions as atomic orbitals. Employing a total of 37 GTF 3 disrotatory and 2 conrotatory modes of transformation have been considered. A total of 34 calculations have been carried out. In the transformation of planar and non planar cyclopropyl anions to allyl anions, both the disrotatory and conrotatory modes possess activations barriers, those for the conrotatory modes being the lower by substantial margins. A detailed analysis of the energy terms involved show that is little theoretical justification for the postulate that the mode of ring opening depends only on the symmetries of the highest occupied orbitals.

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Zusammenfassung Nichtempirische SCF-MO-Rechnungen mit Gaußfunktionen (GF) für den Übergang des planaren und des unplanaren Cyclopropylanions zum Allyanion wurden vorgenommen. Mit einem Basissatz von 37 GF wurden 34 Rechnungen für 3 disrotatorische und 2 conrotatorische Übergänge durchgeführt. Sowohl die disrotatorischen als auch die conrotatorischen Übergänge besitzen Aktivierungsbarrieren, von denen diejenigen für die conrotatorischen Übergänge stets kleiner sind. Die Analyse der Energieterme gibt wenig Anlaß zu der Annahme, daß die Art der Ringöffnung nur von der Symmetrie des obersten besetzten Orbitals abhängt.

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Résumé Des calculs ab-initio en orbitales gaussiennes ont été effetués sur la transformation de cations cyclopropyliques en cations allyliques. Les barrières d'activation sont toujours plus basses pour la mode conrotatoire que pour la mode disrotatoire. Il est peu évident que l'ouverture du cycle dépende que de la Symmetrie de la plus haute orbitale occupée.

     

Quantum mechanical calculations on barriers to internal rotation

The barrier to internal rotation in hydrazine has been studied by the non empirical SCF-LCAO method, in the gaussian approximation. Calculations have been performed for values 0°, 60°, 120°, 180° and 94° (equilibrium conformation) of the dihedral angle, with all other bond angles and bond lengths fixed. The gaussian basis set used consisted of 9s + 3p for nitrogen and 3s for hydrogen. The calculated total molecular energy for the equilibrium conformation, –111.030 a.u., is 0.865 a.u. higher than the experimental value. The theoretical dihedral angle 94° is in good agreement with experimental indications of 90–95°. The computed rotation barriers are 11.5 kcal/mole for the cis position and 4.7 kcal/mole for the trans.

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Zusammenfassung Die Rotationsbarriere von Hydrazin wurde mit Gaußfunktionen nach einer nicht-empirischen SCF-LCAO-Methode studiert. Rechnungen wurden für die Werte 0°, 60°, 120°, 180°, 94° (Gleichgewichtslage) des Diederwinkels durchgeführt, wobei alle übrigen Bindungswinkel und -längen festgehalten wurden. Der Basissatz von Gaußfunktionen bestand aus 9s- und 3p Funktionen für Stickstoff und 3s-Funktionen für Wasserstoff. Die berechnete Gesamtenergie der Gleichgewichtskonformation, –111,030 at. E. liegt um 0,865 at. E. höher als der experimentelle Wert. Der theoretische Diederwinkel von 94° stimmt gut mit den experimentellen Daten von 90–95° überein. Die berechneten Rotationsbarrieren sind 11,5 kcal/mol für die cis- und 4,7 kcal/mol für die trans-Lage.

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Résumé La barrière de rotation interne de l'hydrazine a été étudiée par la méthode LCAO-SCF dans l'approximation des orbitales gaussiennes. Les calculs ont été effectués pour des valeurs de l'angle dièdre de 0°, 60°, 120°, 180° et 94° (valeur correspondant à l'équilibre), tout en gardant constants les autres angles et les longueurs des liaisons. On obtient pour la position d'équilibre une énergie moléculaire totale de –111.030 u.a., l'écart avec l'énergie expérimentale étant de 0.865 u.a. La valeur obtenue pour l'angle dièdre, 94°, est en bon accord avec les indications expérimentales de 90–95°. Les barrières de rotation théoriques sont de 11.5 kcal/mole pour la position cis et de 4.7 kcal/mole pour la position trans.

     

Le problème de la réduction des intégrales électroniques dans la méthode L.C.A.O. améliorée

Résumé L'auteur reprend les principes de la méthode L.C.A.O. améliorée en vue d'une justification plus complète des procédés employés. La théorie des perturbations permet d'une façon simple de tenir compte de la corrélation entre les électrons grâce à l'introduction d'une fonction universelle de la distance entre deux électrons. Le problème est ainsi ramené de l'échelle moléculaire à l'échelle atomique. On montre que la corrélation entre les électrons entraîne la réduction des intégrales atomiques. Le problème de la réduction des intégrales coulombiennes est traité en détail. La possibilité de négliger les autres intégrales biélectroniques est ensuite examiné. Enfin est étudié le problème de la réduction des intégrales de coeur.

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The principles of the improved LCAO theory are investigated to give a better justification for its methods. Perturbation theory allows a simple account for electronic correlation, when a universal function of interelectronic distance is introduced. The problem is hereby reduced from molecular to atomic scale. The reduction of electronic energy integrals by correlation is shown, especially for Coulomb integrals. The possibility of neglecting the other bielectronic integrals is examined. Finally the problem of core integral reduction is studied.

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Zusammenfassung Die Grundlagen der verbesserten LCAO-Methode werden untersucht, um dieses Verfahren besser zu rechtfertigen. Mit einer allgemeinen Funktion des Abstandes je zweier Elektronen und der Störungstheorie läßt sich die Elektronenkorrelation auf einfache Weise berücksichtigen. Damit wird das Problem vom molekularen auf den atomaren Maßstab zurückgeführt. Die Elektronenkorrelation bringt eine Reduktion der Elektronenenergieintegrale mit sich; die Coulombintegrale werden im einzelnen behandelt. Anschließend wird die Möglichkeit untersucht, die übrigen Zweielektronenintegrale zu vernachlässigen. Schließlich wird die Reduktion der Rumpfintegrale behandelt.

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Nous tenons à remercier très vivement le Docteur Chr. K. Jørgensen (Cyanamid European Research Institut, Genève) pour les intéressants échanges de vue que nous avons eu sur les divers problèmes évoqués dans cet article ainsi que le Docteur G. Berthier (Institut de Biochimie théorique, Paris) et Monsieur H. v. Hirschhausen.     

The relationship between the Ritz variational method and Frobenius's method of solving Schrödinger's equation

The solution of a linear homogeneous differential equation (in particular the Schrödinger equation) by expansion of the solutions (wave functions) in a discrete complete set of function is considered. The coefficients of the expansion are determinable by either the Ritz variational (integral) method, or by a generalisation of Frobenius's (non-integral) method. Each method leads to an infinite matrix eigenvalue equation. It is shown that the integral and non-integral matrix equations are related by the overlap matrix of the set of basis functions. The effects of truncating the infinite matrices to finite order are described. A hybrid method of transformation to a matrix representation is proposed, which employs some techniques from each of the original methods.

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Zusammenfassung Die Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung (besonders der Schrödinger-Gleichung) durch Entwicklung der Lösungen (Wellenfunktionen) nach einem diskreten vollständigen Satz von Funktionen wird untersucht. Die Entwicklungskoeffizienten sind entweder durch die Variations-Methode (Integral-Methode) oder durch Verallgemeinerung der Methode von Frobenius (Methode ohne Integrale) bestimmbar. Beide Methoden führen zur einer unendlichen Matrix-Eigenwert-Gleichung. Es wird gezeigt, daß die Matrizengleichungen der beiden Verfahren durch die Überlappungsmatrix des Satzes von Basisfunktionen in Beziehung stehen. Es werden die Effekte beschrieben, die sich ergeben, wenn die Matrizen von unendlicher auf endliche Ordnung reduziert werden. Eine Hybridmethode zur Transformation in eine Matrixdarstellung wird vorgeschlagen, die einige Rechenoperationen aus jeder der Originalmethoden anwendet.

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Résumé On considère la résolution d'une équation différentielle linéaire homogène (en particulier l'équation Schrödinger) en développant les solutions (fonctions d'ondes) dans un groupe discret complet de fonctions. Les coefficients du développement peuvent être déterminés par la méthode de la variation de Ritz (intégral) ou par une généralisation de la méthode de Frobenius (non-intégral). Chaque méthode mène à une équation infinie matrice eigenvalue. On montre que les équations matrice, intégrales et non-intégrales, sont reliées par la matrice à recouvrement du groupe des fonctions fondamentales. On décrit les effects de tronquer les matrices infinies en ordre limité. On présente une méthode hybride de transformation à une représentation de matrice, qui utilise des techniques de chacune des méthodes originales.

     

On radial weighting effects in gaussian expansions of self-consistent field atomic orbitals

Gaussian expansions of the SCF functions for the first row atoms, boron through fluorine, in ground and low-lying electronic states have been generated under a wide range of radial weighting conditions by a full least-squares procedure. Typical results are presented and the quality of the wavefunctions obtained are analyzed in terms of regional electron densities and a variety of expectation values including energies. A novel method for recursive evaluation of repeated integrals of the error function, F _l (,), is adopted and analyzed. These integrals are central quantities in the least-squares procedure employed.

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Zusammenfassung Entwicklungen nach Gaußfunktionen für SCF-Funktionen von Elementen der ersten Reihe (Bor bis Fluor) wurden für den Grundzustand und niedrige angeregte Zustände einer Methode der kleinsten Quadrate berechnet, wobei eine Reihe von radialen Gewichtsfaktoren benutzt wurden. Einige typische Ergebnisse werden mitgeteilt und die Qualität der erhaltenen Wellenfunktion wird mit Hilfe von regionalen Elektronendichten und einer Reihe von Erwartungswerten sowie der Energie geprüft. Eine neue Methode für die rekursive Auswertung der mehrfachen Integrale der Fehlerfunktion F _l (, ) wird angewendet und analysiert. Diese Integrale sind von zentraler Bedeutung in der benutzten Methode der kleinsten Quadrate.

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Résumé Engendrement de représentations gaussiennes des fonctions SCF pour les atomes de la première ligne, du bore au fluor, dans les états électroniques fondamentaux et faiblement excités, avec un large éventail de conditions de pondération radiale obtenues par une procédure de moindres carrés. Des résultats typiques sont présentés et les qualités des fonctions d'onde obtenues sont analysées en fonction des densités électroniques par régions et de différentes valeurs moyennes dont les énergies. Adoption et analyse d'une nouvelle méthode pour l'évaluation récursive d'intégrales répétées de la fonction d'erreur F _l (,). Ces intégrales sont des quantités centrales dans les procédures de moindres carrés utilisées.

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Research performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.

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Summer student program participant, 1971, from Swarthmore College, Swarthmore, Pa.     

Gaussian basis set for molecular wavefunctions containing second-row atoms

A Gaussian basis set consisting of 12s-type and 9p-type functions has been optimized for the second-row atoms. Energy values are also reported for different contractions of this basis set.

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Zusammenfassung Es wird ein Basissatz von 12s- und 9p-Gaußfunktionen für die Atome der zweiten Periode optimiert. Für verschiedene Kontraktionen dieser Basis werden die Energiewerte angegeben.

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Résumé On presente un ensemble optimal de fonctions de base gaussiennes pour les atomes de la seconde ligne. Cet ensemble comprend 12 fonctions du type s et 9 fonctions du type p. On etudie egalement l'effet de differentes contractions de cet ensemble sur l'energie totale.

     

FEMO treatment of all trans-polyenes with parametric energy dependences

The semi-empirical free electron theory with inclusion of interelectronic and electron-nuclear molecular integrals is used to examine the spectroscopic properties of the trans-polyenes. The molecular integrals were calculated at many values ofQ, the free electron theory length parameter. Comparisons are made to equivalent LCAO-MO methods, especially in regard to molecular coulomb and exchange integrals, singlet-triplet separations and parametric dependence. The FET viriel theorem is examined.

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Zusammenfassung Mit der semiempirischen Elektronengasmethode unter Einschluß von Elektronen-Kern- und Zweielektronen-Wechselwirkungsgliedern werden die Anregungsenergien der Polyene untersucht. Die MO-Integrale werden für verschiedene LängenQ des Elektronengases bestimmt and mit den entsprechenden Größen der MO-LCAO-Methode verglichen, ebenso auch die Singulett-Triplett-Aufspaltungen und die Parameterabhängigkeiten. Das Virialtheorem wird untersucht.

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Résumé Les trans-polyènes sont étudiés par la théorie de l'électron libre semi-empirique avec introduction des intégrales moléculaires interélectroniques et électron noyau. Les intégrales moléculaires ont été calculées pour de nombreuses valeurs deQ, le paramètre de longueur de la théorie de l'électron libre. Des comparaisons sont faites avec les méthodes LCAO MO équivalentes, en particulier en ce qui concerne les intégrales coulombiennes et d'échange, les séparations singulet-triplet et le rôle des paramètres. Le théorème du viriel de la théorie de l'électron libre est examiné.

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Supported in part by the Petroleum Research Fund of the Americal Chemical Society, and in part by the National Science Foundation.     

MO-SCF-LCAO studies of sulphur compounds

Results from an MO-SCF-LCAO study of the electronic structure of the sulphate ion is reported. An extended sp basis set of contracted Gaussian functions has been used together with 3d polarization functions on the sulphur atom. The effect of these functions has been found to be significant, but not as large as has been suggested from previous calculations made with a minimal sp-basis. The effect of the 3d functions on a number of expectation values of one-electron operators has been studied.

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Zusammenfassung Es wird über die Ergebnisse einer MO-SCF-LCAO-Studie der Elektronenstruktur des Sulfations berichtet. Es wurde ein erweiterter sp-Basissatz von kontrahierten Gaußfunktionen zusammen mit 3d-Polarisationsfunktionen am Schwefelatom benutzt. Der Einfluß dieser Funktionen ist bedeutend, aber nicht so groß wie in früheren Rechnungen mit minimalen sp-Basissätzen vermutet wurde. Der Effekt der 3d-Funktionen auf eine Anzahl von Erwartungswerten von Einelektronen-Operatoren wurde untersucht.

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Résumé Résultats d'un calcul MO SCF LCGO sur la structure électronique de l'ion sulfate. On a utilisé une base sp étendue de fonctions gaussiennes contractées avec des fonctions de polarisation 3d sur l'atome de soufre. L'effet de ces fonctions s'avère significatif, mais cependant moins important que ne le laissaient prévoir des calculs antérieurs en base sp minimale. Etude de l'effet des fonctions 3d sur les valeurs moyennes des opérateurs monoélectroniques.

     

Pariser and Parr type calculations on saturated hydrocarbons I

A Pariser and Parr-type approximation is proposed for saturated paraffinic hydrocarbons and is applied to methane, ethane and propane.The choice of the integrals is discussed in detail. One center electron repulsion integrals are determined from atomic spectral data by deducing empirical Z numbers in Bingel's manner. Two center electron repulsion integrals are obtained according to the procedure used by Pariser and Parr. Resonance integrals are computed so that only the (p:pp) type coreintegrals therein are adjusted empirically.A preliminary attempt is made to interpret the electronic spectra due to valence-shell transitions. The trend toward lower energies with increasing chain length of both the first ionization potential and the first excitation energy is successfully interpreted. Diagrams of electronic charge densities and bond orders are also given.

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Zusammenfassung Für gesÄttigte Kohlenwasserstoffe wird ein Verfahren, analog dem von Pariser und Parr entwickelten, vorgeschlagen und auf Methan, Äthan und Propan angewendet. Dabei werden die Einzentren-Coulombintegrale nach der Methode von Bingel aus den Atomspektren errechnet, die Zweizentren-Coulombintegrale gemÄ\ dem Verfahren von Pariser und Parr geschÄtzt, die Resonanzintegrale berechnet und die Rumpfintegrale als Justierungsparameter verwendet.In einem ersten Versuch werden die der Anregung von Valenzelektronen zugeordneten Banden interpretiert. Ferner lÄ\t sich das Absinken von Ionisierungs- und erster Anregungsenergie mit zunehmender KettenlÄnge verstehen. Schlie\lich werden Diagramme für Ladungsdichte der Elektronen sowie für die Bindungsordnung gegeben.

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Résumé Une approximation du type Pariser et Parr pour le calcul des propriétés des hydrocarbures saturés est décrite et appliquée au méthane, l'éthane et le propane.Le choix des intégrales est discuté en détail. Les intégrales de répulsion électronique à un centre ont été tirées des spectres atomiques en déduisant des nombres Z empiriques à la manière de Bingel. Les intégrales de répulsion à deux centres ont été obtenues par la procédure utilisée par Pariser et Parr. En calculant les intégrales de résonance seules les intégrales du type (p:pp) étaient ajustées d'une manière empirique.On rapporte une tentative à l'interprÊtation du spectre électronique dû aux transitions dans la couche de valence. Les résultats interprÊtent correctement le glissement vers les grandes longueurs d'onde du premier potentiel d'ionisation et de l'énergie d'excitation de la première transition singulet-singulet avec l'allongement de la chaÎne carbonique. Des diagrammes des charges électroniques et des indices de liaison sont également présentés.

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On leave of absence from Department of Chemistry, Tohoku University, Sendai, Japan.     

Integral approximations for molecular orbital theory

The electron repulsion integrals arising in LCAO-MO theory are approximated by replacement of the product of two orbitals on different centers by linear combinations of one-center products. The approximation differs from those previously proposed in that the coefficients of the various terms are determined by requiring agreement for certain integrals, and in the emphasis of the role of symmetry in selecting the one-center products. For two-center integrals, the new approximation is significantly better than older approximate methods. Reasons are given for expecting this improvement to extend also to multi-center integrals.

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Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Elektronenwechselwirkungsintegralen der LCAO-MO-Theorie beschrieben, bei welchem das Produkt zweier Zustandsfunktionen an verschiedenen Zentren durch eine Linearkombination von Produkten am gleichen Zentrum ersetzt wird. Der Unterschied zu ähnlichen Ansätzen liegt in der Justierung der Koeffizienten. Für Zweizentrenintegrale liefert die hier vorgeschlagene Methode bedeutend bessere Ergebnisse als das Mulliken-Verfahren.

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Résumé Les intégrales de répulsion électroniques intervenant dans la théorie LCAO MO sont calculées d'une manière approchée en remplaçant le produit de deux orbitales sur des centres différents par des combinaisons linéaires de produits à un centre. Cette approximation diffère de celles proposées auparavant par la détermination des coefficients des différents termes au moyen de l'ajustement de certaines intégrales et par l'importance du rôle de la symétrie dans le choix des produits monocentriques. Cette nouvelle approximation est bien meilleure que les anciennes en ce qui concerne les intégrales bi-centriques. Nous donnons des raisons d'espérer que cette amélioration s'étendra aux intégrales polycentriques.

     

Calcul des facteurs de diffusion polycentriques sur une base de fonctions Gaussiennes

Résumé L'évaluation des facteurs de diffusion polycentriques se trouve considérablement simplifiée lorsqu'on substitue à la base usuelle des fonctions de Slater, un développement en termes de fonctions Gaussiennes. On donne les expressions analytiques de ces facteurs de diffusion: valeurs ponctuelles et valeurs moyennes. Un exemple numérique permet de confronter les résultats obtenus avec ceux issus d'une autre méthode.

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The evaluation of multi-center scattering factors is considerably simplified when an expansion in terms of Gaussian functions is substituted to the usual basis of Slater functions. Analytic expressions of such scattering factors are given: point values and average values. A numerical example allows comparison of the results with those obtained by another method.

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Zusammenfassung Die Berechnung von Mehrfach-Streufaktoren vereinfacht sich beträchtlich, wenn man eine Entwicklung nach Gaußfunktionen an Stelle der üblichen Slaterfunktionen vornimmt. Analytische Ausdrücke solcher Streufaktoren werden angegeben, und zwar sowohl für punktuelle als auch gemittelte Werte. Ein numerisches Beispiel zum Vergleich der Ergebnisse mit denen eines anderen Verfahrens wird angeführt.

     

The electronic structure of bicyclo [2.1.1] hexane

Non empirical SCF-LCAO-MO calculations have been performed on bicyclo [2.1.1] hexane using a molecule optimized minimal basis set of gaussian functions. The electronic structure, the nature of the molecular orbitals and of the bonds are analyzed. The most notable results lie in the strong interaction between the two bridgehead sites and between two of the CH bonds of the methylene bridges. Interactions between fragment orbitals are considered. The relations with the molecular properties are discussed, especially with respect to molecular strain.

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Zusammenfassung Nichtempirische SCF-LCAO-MO-Rechnungen wurden für das Bicyclo [2.1.1]-Hexan durchgeführt, wobei ein minimaler am Äthylen optimierter Basissatz von Gaußfunktionen verwendet wurde. Die Elektronenstruktur sowie die Art der Molekülorbitale und der Bindungen wird untersucht. Als bemerkenswerte Resultate erscheinen die starke Wechselwirkung zwischen den beiden Brückenkopf-Gruppen sowie zwischen den beiden CH-Bindungen der Methylenbrücken. Die Wechselwirkungen zwischen den Orbitalen von Molekülbruchstücken werden untersucht. Die Beziehungen zu den molekularen Eigenschaften werden diskutiert, insbesondere im Hinblick auf molekulare Ringspannung.

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Résumé Une étude théorique ab initia SCF-LCAO-MO du bicyclo [2.1.1] hexane a été effectuée en utilisant une base minimale de fonctions gaussiennes optimisée sur une molécule. La structure électronique, la nature des orbitales moléculaires et des liaisons ont été analysées. Le résultat le plus marquant est l'existence d'une forte interaction entre les deux sites en tête de pont et aussi entre deux des liaisons C-H des ponts méthylène. Par ailleurs on peut mettre en évidence des interactions entre «orbitales de fragments». Les relations entre structure électronique et propriétés moléculaires (spécialement la tension de cycle) sont discutées.

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Equipe de Recherche Associée au C.N.R.S. N 265.     

A modified Hückel method for calculating ring current contributions to the diamagnetic susceptibilities of conjugated hydrocarbons

SCF calculations of the ring current contributions to the diamagnetic susceptibilities of certain conjugated hydrocarbons are compared with the Hückel values. It is shown that discrepancies arise because of the inherent inability of the Hückel formalism to allow for two-electron terms in the Hamiltonian. A modified Hückel scheme is proposed which rectifies this omission while still retaining the fundamental simplicity of the theory.

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Zusammenfassung Der Anteil des Ringstroms an der diamagnetischen Suszeptibilität konjugierter Kohlenwasserstoffe wurde mit der SCF-MO-Methode berechnet und mit den mittels Hückelmethode erhaltenen verglichen. Es wird gezeigt, daß die Unterschiede daher rühren, daß im Hückelformalismus die Zweielektronenterme des Hamiltonoperators nicht richtig berücksichtigt sind. Ein modifiziertes Hückelschema, das diese Terme berücksichtigt, aber die fundamentale Einfachheit der Theorie beibehält, wird angegeben.

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Résumé La contribution des courants cycliques à la susceptibilité diamagnétique des hydrocarbures conjugués est calculée par la méthode SCF-MO et comparée avec les valeurs obtenues par la méthode de Hückel. On montre que les désaccords proviennent de l'inaptitude propre au formalisme de Hückel de tenir compte des termes biélectroniques contenus dans l'hamiltonien. On propose une méthode de Hückel modifiée qui corrige cette omission tout en conservant la simplicité de la théorie.

     

An approximate ab initio SCFMO method

An approximate SCFMO method of calculation is presented which includes several features which are new to this type of approach. A minimal basis set of Slater type orbitals is used, and all integrals are included, but are evaluated approximately, using a series of analytical formulae which have been chosen to reproduce the rigorous values of the integrals. Results are given for the ground states of the H₂O, CH₄, BH₃, NH₃ and BeH₂ molecules, and are compared with previously calculated results.

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Zusammenfassung Eine Näherungs-SCF-MO-Rechnung mit einigen neuen Abänderungen wird vorgeschlagen. Eine minimale Basis von Slater-Orbitalen wird benutzt; es werden alle Integrale berücksichtigt, jedoch nur näherungsweise berechnet, wobei eine Reihe von analytischen Formeln benutzt wird, welche die exakten Werte der Integrale möglichst reproduzieren sollen. Ergebnisse für den Grundzustand von H₂O, CH₄, BH₃, NH₃ und BeH₂ werden mit früher berechneten Ergebnissen verglichen.

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Résumé Présentation d'une méthode SCF MO approchée comportant certaines caractéristiques nouvelles pour une telle méthode. On emploie une base minimale d'orbitales de Slater en ne négligeant aucune intégrale, mais en évaluant chaque intégrale d'une manière approchée au moyen d'une série de formules analytiques calibrées de manière à reproduire les valeurs exactes des intégrales. Les résultats obtenus pour les états fondamentaux de H₂O, CH₄, BH₃, NH₃ et BeH₂ sont comparés à ceux obtenus auparavant.

     

Torsionsabhängige Beiträge zur Spin-Bahn-Kopplung in organischen Molekülen

Zusammenfassung Die Spin-Bahn-Kopplung der niedrigen elektronischen Anregungszustände von organischen Molekülen wird untersucht. Es wird gezeigt, daß die Zerstörung der aromatischen Ebene durch Torsionen oder Schwingungen zu nicht-verschwindenden Zweizentrenbeiträgen führt. Am Beispiel des Triphenylmethyl-Kations wird mit Hilfe der LCAO MO SCF-Methode die Größenordnung der auftretenden Wechselwirkungen ermittelt. Diese haben wahrscheinlich großen Einfluß auf die strahlungslosen Prozesse in Molekülen mit leicht beweglichen Gruppen.

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Spin-orbit coupling of the lower excited electronic states of organic molecules has been investigated. It is shown that any destruction of the aromatic plane through torsions or vibrations leads to non-vanishing contributions from two-centre integrals. The order of magnitude of this type of interactions is determined for the triphenylmethyl-cation with the aid of the LCAO MO SCF method. These interactions probably have much influence on radiationless transitions in molecules containing mobile groups.

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Résumé Etude du couplage spin-orbite dans les états électroniques exités les plus bas des molécules organiques. Toute non planéité aromatique créée par torsions ou vibrations entraîne une contribution non nulle de la part des intégrales bicentriques. L'ordre de grandeur de ce type d'interaction est detérminé, à l'aide de la méthode L.C.A.O. M.O. SCF, pour le cation triphenylméthyle. Ces interactions ont probablement beaucoup d'influence sur les transitions non radiatives dans les molécules contenant des groupements mobiles.

     

Gaussian expansions of minimal STO basis for calculations in molecular quantum mechanics

By means of minimal basis SCF calculations for HF, H₂O, NH₃ and CH₄ different expansions of Slater orbitals (STO) in terms of Gaussian orbitals (GTO) are tested in order to find an appropriate compromise between sufficient accuracy of the results and reasonable computing times. The least squares fit of the GTO expansion to STO does not appear to have any advantages over the expansion based on a variational procedure. It turns out that for hydrogens an expansion of the 1s orbital in terms of three GTO is quite sufficient, whereas for first row atoms an expansion of the 1s orbital in terms of three to five GTO, of the 2s orbital in terms of two GTO and of the 2p orbitals in terms of three GTO seems to be adequate.

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Zusammenfassung An Hand von SCF-Rechnungen mit minimaler Basis für die Moleküle HF, H₂O, NH₃ und CH₄ wurden verschiedene Entwicklungen von Slater-Orbitalen (STO) nach Gauß-Orbitalen (GTO) getestet, um einen geeigneten Kompromiß zwischen ausreichender Genauigkeit der Ergebnisse und vertretbaren Rechenzeiten zu finden. Es zeigt sich, daß die Entwicklung der STO nach GTO mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate keine Vorteile gegenüber der auf einem Variationsverfahren basierenden Entwicklung aufweist. Für H-Atome erweist sich eine Entwicklung des 1s-Orbitals nach drei GTO als ausreichend, für Atome der 1. Periode erscheint eine Entwicklung des 1s-Orbitals nach drei bis fünf GTO, des 2s-Orbitals nach zwei GTO und der 2p-Orbitale nach drei GTO als geeignet.

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Résumé En vue de trouver un compromis approprié entre la précision et la durée des calculs, différents développements des orbitales de Slater (STO) en termes d'orbitales gaussiennes (GTO) sont testés au moyen de calculs SCF en bases minimales pour HF, H₂O, NH₃ et CH₄. L'ajustement par les moindres carrés du développement des STO en GTO ne présente apparemment d'avantages sur le développement fondé sur un procédé variationnel. Il apparaît que pour l'hydrogène un développement de l'orbitale 1s en fonction de trois gaussiennes est largement suffisant, alors que pour les atomes de la première rangée il semble nécessaire de développer l'orbitale 1s en 3 à 5 GTO, l'orbitale 2s en 2 GTO et les orbitales 2p en 3 GTO.

     

Evaluation des facteurs de diffusion bicentriques par la méthode de la fonction zeta

Résumé Le développement sur un centre unique de distributions de charge bicentriques est utilisé dans l'évaluation des facteurs de diffusion. On donne les expressions analytiques des diverses intégrales, valeurs «ponctuelles» et valeurs moyennes sur une base de fonctions de Slater de nombre quantique principal n 2. Les différentes techniques de calcul employées sont développées en appendice.

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The expansion of a two-center charge distribution about one center is utilized to calculate diffusion factors. The analytical expressions for the various integrals employed are given, both for the single case and averaged over a basis of Slater functions having a principal quantum number 2. The different methods of calculation used are summarized in an appendix.

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Zusammenfassung Die Entwicklung einer Zweizentrenladungsverteilung um ein Zentrum wird benützt, um Diffusionsfaktoren zu berechnen. Die analytischen Ausdrücke für die verschiedenen Integrale werden angegeben, und zwar einfache wie über eine Basis von Slaterfunktionen mit Hauptquantenzahl 2 gemittelte Werte. Die benutzten Rechenverfahren sind im Appendix zusammengestellt.