解广义特征值反问题的同伦方法

1.引言 我们讨论下列广义特征值反问题: (G)已知B是n×n阶对称半正定矩阵,λ=(λ_1,…,λ_(2n-1))~T∈R~(2n-1),且{λ_i}~(n_3),和{λ_i}_(n+1)~(2n-1)严格交错。问题是欲求一个实对称三对角n×n阶矩阵A,使得λ_1…,λ_n是Ax=λBx的特征值,λ_(n+1),…,λ_(2n-1)是A_(n-1)x=λB_(n-1)x的特征值,其中A_(n-1),B_(n-1)分别是矩阵A,B的前n-1阶主子阵。     

实对称矩阵的两类逆特征值问题

§gi.两类逆特征值问题先说明一些记号.R~(m×n)是所有m×n实矩阵的全体,R~n=R~(n×1),R=R~1;SR~(n×n)是 所有n×n实对称矩阵的全体;OR~(n×n)是所有n×n实正交矩阵的全体;I~((n))是n阶单位矩阵;A~T是矩阵A的转置;A>0表示A是正定的实对称矩阵.?(A)是矩阵A的列空间;A~+是矩阵A的Moore-Penrose广义逆;P_A=AA~+表示到?(A)的正交投影.λ(A)是A的特征值的全体;λ(K,M)是广义特征值问题K_x=λM_x的特征值的     

正则矩阵束广义特征值的灵敏度

本文对一般正则方阵束A-tB(即A,B是一般n×n复阵且det(A-tB) 0),给出了特征值问题Ax=λBx中广义特征值λ的灵敏度估计。 由初等因子理论,正则方阵对(A,B)_n有Jordan式标准形。以下的例子表明,为研究λ的性态,如[1]那样采用拟Jordan结构是合适的。     

对称奇异矩阵束的Kronecker典则形的计算(英文)

对n×n对称奇异矩阵束A-λB应用对称收缩方法导出了一个可以成对地抽出Kronecker行指标和Kronecker列指标以及同时抽出无穷初等因子的算法。由于充分利用了矩阵束A-λB的对称性,因而我们的算法比其它已有的算法更有效。经算法收缩后的矩阵束仍是对称的,但只包含有限初等除式(因而是一个特殊的对称正则矩阵束)。原矩阵束所对应的对称广义特征值问题经收缩后约化为一个只含有限特征值的对称广义特征值问题,因而易于求解。     

Hermite矩阵与可对称化矩阵特征值之间的扰动上界

正1引言矩阵特征值的扰动问题,就是研究矩阵元素的改变对矩阵特征值的影响.设矩阵A,B为n阶复矩阵,矩阵B为矩阵A经过扰动之后的矩阵,且λ(A)={λ_i},λ(B))={μ_i},研究矩阵特征值的扰动就是研究λ(A)与λ(B)之间的差距,一般用2范数和Frobenius范数来描述它们之间的差距.矩阵特征值问题是由于处理数据时存在误差而引起的,使得到的特征值往往是经过     

重特征值敏度的数值计算

一个结构系统的设计,往往归结为下述代数特征值问题:其中A(p)与B(p)为n×n实解析的对称矩阵,B(p)正定,λ(p)是特征值,x(p)是相应的特征向量. 设λ_1是问题(1.1)在点p=p~*的r重特征值,即存在矩阵X=(X_1,X_2)∈R~(n×n),     

加法与乘法逆特征值问题的可解性

1.引言 本文讨论如下代数特征值反问题可解的充分条件: 问题A(加法逆特征值问题)。给定一Hermite矩阵A=(a_(ij))_(n×n)及n个实数λ_1,…,λ_n,求一实对角阵D=diag(c_1…,c_n),使得A+D的特征值为λ_1,…,λ_n。 问题M(乘法逆特征值问题)。给定一正定Hermite矩阵A=(a_(ij))_(n×n)和n个正实数     

代数特征值反问题之解的稳定性分析

考虑如下代数特征值反问题: 问题 G(A;{A_k}_1~n;λ).设 A=(a_(ij)),A_k=(a_(ij)~((k))),k=1,…,n是n+1个n×n的实对称矩阵,λ=(λ_1,…,λ_n)是n维实向量且λ_i≠λ_j,i≠j.求n维实向量c=(c_1,…,c_n)~T,使矩阵A(c)=A+sum from k=1 to n (c_kA_k)的特征值是λ_1,…,λ_n. 这一问题是经典加法问题的推广.当A_k-e_ke_k~~T(e_k是n阶单位阵的第k列)时,     

计算对称带状矩阵广义特征值问题的并行分治多分法

1 引 言 本文研究了广义特征值问题 Ax=λBx (1)的并行计算。其中,A,B均为半带宽为r的n阶实对称带状矩阵且其中之一是正定的.本文总假设B是正定的.     

广义特征值问题的分块子空间迭代法及其在有限元振动计算中的应用

一、引言 考虑矩阵的广义特征值问题这里(?),(?)是n阶复矩阵,且设(?)非奇,在实践中特别重要的是对称广义特征值问题,即(?),(?)是n阶实对称矩阵,且(?)正定的情况。 求解广义特征值问题(1.1)的方法之一是将它变换到标准特征值问题,即对矩阵A≡(?)~(-1)(?)的标准特征值问题,而对于对称广义特征值问题,可利用B的平方根分解(?)=LL~T,若令x=L~T(?),A=L~(-1)(?)L~(-T),则(1.1)被变换成对称标准特征值问题     

正规矩阵的任意扰动

设A为n×n矩阵,其特征值为λ1,λ2,…,λn;矩阵B=A+X之特征值为μ1,μ2,…,μn.若A,B均为正规矩阵,由Wielandt-Hoffman定理[1],存在1,2,…,n的一个排列k1,k2,…,kn,使得nj=1|λj-μkj|2≤‖X‖2F,(1)其中‖·‖F表示Frobenius范数.又,在同样条件下,存在1,2,…,n的一个排列l1,l2,…,ln,使得对1≤j≤n均有|λj-μlj|≤2.91‖X‖2,(2)其中‖·‖2表示谱范数,这是R.Bhatia等人的结果[2].本文旨在讨论A为正规矩阵,B为任意矩阵时特征值的扰动估计,得到了几个扰动定理,分别推广了上述两个结果.本文用CH表示矩阵C的共轭转置,trC表示C的迹;…     

矩阵特征值问题的Bendixson定理的改进

任一n×n矩阵A可分解为A=B C,其中B=1/2(A A~H),C=1/2(A-A~H)。Bendixson定理的主要内容是:λ_j(A)(j=1,2,…,n)落在矩形区域F上,而构成F的四个边的直线分别为x=max(λ_j(B)),x=min(λ_j(B)),y=max(-iλ_j(C)),y=min(-iλ_j(C))。本文给出用B,C的特征值和矩阵A的正规性偏离度对A的特征值的进一步估计。     

陀螺特征值问题的并行子空间迭代法

<正>1引言陀螺系统特征值问题是转子动力学中的基本问题,是一类特殊的二次特征值问题.假设M和K是n阶对称矩阵,C是n阶反对称矩阵,则二次特征值问题(λ~2M+λC+K)x=0(1)     

确定实非对称矩阵Jordan标准型的一种算法

1 引言 1972年W.B.Rubin在[1]中提出的二次算法,在已给n×n矩阵A的全部特征值的前提下,对A的每一个特征值λ,计算n_1=Rank[(A-λI)~1],l=0,1…,直到n_p=n_(p+1),然后由{n1}_(l=0)~(l=p)的二次差确定A的Jordan标准型。即使A是实的,该法仍不能避免复运算,而且需作大量n×n矩阵的乘幂和求秩,运算量较大。     

求解特征值互补问题的ABS算法

正1引言对给定的矩阵A∈R~(n×n)和正定阵B∈R~(n×n),特征值互补问题(EiCP)~([1-3])是指:求实数λ和向量x∈R~n\{0}使得{y=(A-λB)x y≥0,x≥0 y~Tx=0 (1)它源于工程和物理问题,如对力学接触问题和结构力学系统的稳定性的研究[3-6].EiCP也可表示为如下形式的锥约束特征值问题[7,8]:对给定的矩阵A∈R~(n×n)和正定阵B∈R~(n×n),求实数λ和向量量x∈R~n\{0}使得     

三维静态Landau-Lifshitz方程组多重正则解的存在性

对三维Landau-Lifshitz方程u×(-△u+λ(u,n)n)=o,|u|=1,x∈ΩR3的Dirichlet常边值问题,证明了当λ＞λ1时,存在两个正则解,当λ＞max(λ1,λ*)时,存在三个正则解,除常数外,还有一个是非轴对称极小解,另一个是轴对称解,其中λ1是-△算子齐次Dirichlet问题的第一特征值,     

关于Kahan定理的一个注记

设A∈C~(n×n),B∈C~(k×k)均为Hermite矩阵,它们的特征值分别为{λ_j}_(j=1)~n和{μ_j}_(j=1)~k(k≤n);Q∈~(n×k)为列满秩矩阵.令 (1) 则存在A的k个特征值λ_(j_2),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得 (2) 其中σ_k为Q的最小奇异值,||·||_2表示矩阵的谱范数.这是著名的Kahan定理·1996年曹志浩等在[2]中将(2)加强为 (3) 这是Kahan的猜想.在本文中,我们讨论将Kahan定理中“B为k阶Hermite矩阵”改为B为k阶(任意)方阵后,特征值的扰动估计,有以下结果. 定理 设A∈C~(n×n)为Hermite矩阵,其特征值为{λ_j}_(j=1)~n,B∈C~(k×k)的特征值为{μ_j}_(j=1)~k,而Q∈C~(n×k)为列满秩矩阵.则存在A的k个特征值λ_(j_1),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得     

等式约束加权线性最小二乘问题的解法

1 引言 在实际应用中常会提出解等式约束加权线性最小二乘问题 min||b-Ax||_M,(1.1) x∈C~n s.t.Bx=d, 其中B∈C~(p×n),A∈C~(q×n),d∈C~p,b∈C~q,M∈C~(q×q)为Hermite正定阵. 对于问题(1.1),目前已有多种解法,见文[1—3).本文将利用广义逆矩阵的知识,给出(1.1)的通解及迭代解法.本文中关于矩阵广义逆与投影算子(矩阵)的记号基本上与文[4]的相同.例如,A~+表示A的MP逆,P_L表示到子空间L上的正交投影算子,λ_(max)(MAY)表示矩阵M~(1/2)AY的最大特征值.我们还要用到广义BD逆的概念: 设A∈C~(n×n),L为C~n的子空间,则称A_(L)~(+)=P_L(AP_L+P_L⊥)~+为A关于L的广义BD逆.     

低计算精度下实对称矩阵的特征值分解

1引 言 1.1背景简介 设A ∈Rn×n为n阶实对称矩阵,矩阵A的特征值分解是找正交矩阵U ∈Rn×n,使得 A=UΛUT,(1.1) 其中UT指U的转置,A为对角矩阵,且A=diag(λ1,λ2,...,λn),其中λi,i=1,...,n是矩阵A的特征值.矩阵A的奇异值分解为 A=UΣUH,(1.2) 其中,U...     

广义特征向量几种算法的比较

关于求一个矩阵 Jordan标准型的变换矩阵问题须计算矩阵的广义特征向量 ,目前常见的矩阵理论教材中有下述两种方法 .下设 A是 n× n阶矩阵 ,λ是 A的某特征值 ,其代数重数为 r,几何重数为 s且r>s.方法 1　由方程 ( A- λI) x=0解出 A的特征向量 p,由 ( A- λI) x=p解出第一个广义特征向量 q,这里的 p不能是任一特征向量而应是 A的 λ特征子空间内使方程 ( A- λI) x=p有解的那一个 .设 A的 λ特征子空间的基是 p1,p2 ,… ,ps,当 s>1时正确的说法是 :通过选择系数 k1,k2 ,… ,ks由方程 ( A- λI) x=k1p1+ k2 p2 +… + ksps解出第一个广…