空间几何体求解平面投影的分类与总结

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题 ,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类 ,给出了总结。( a)空间曲线在平面上投影的求法通常先将空间曲面方程联立 ,消去 x,y,z中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式 ,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为 F( x,y,z) =0和G( x,y,z) =0 ,设 FG( x,y)是两个方程联立消去 z后的解析式 ,则该空间曲线在 xoy平面上的投影就为 FG( x,y) =0z =0 。这类问题的解法较为…     

求曲线轨迹方程的五种常用方法例析

<正>求曲线轨迹方程的问题，历来是高考数学的重点、难点问题之一．许多学生面对这类问题，常常感到束手无策．为此，笔者综合平时的教学，梳理归纳出以下五种求轨迹方程的常用方法．1直接法若动点M满足的几何条件是用等量关系给出的，求动点M的轨迹方程可按建系、设点、代入、化简、证明五个步骤进行．     

关于极坐标方程等价变形的一个问题

在曲线的极坐标方程的变形中,常常要施行方程两边同乘以或同除以ρ的运算。为了保证这类变形的等价性,我们给出下面的定理。定理设曲线c_1;f(ρ,θ)=0,c_2:ρf(ρ,θ)=0,如果c_1过极点,则f(ρ,θ)=0与ρf(ρ,θ)=0等价。     

求轨迹方程必须注意的问题

求轨迹方程是高中数学的重要内容,也是学生易犯错误的部分.对此,笔者认为首先应加强"曲线与方程"概念的教学,使学生深刻理解在平面直角坐标系下,根据曲线与方程之间建立一一对应的要求,必须曲线上所有点的坐标都满足方程(完备性),并且坐标满足方程的所有的点都在曲线上(纯粹性),即轨迹方程必须满足完备性与纯粹性的要求,才能为"就数论形"与"以形论数"提供可靠的保证.其次在处理具体问题时应注意以下三个环节,现分别举例说明如下.     

查甫雷金方程的唯一性定理(Ⅲ)

<正> 考虑下列混合型方程的唯一性问题K(y)u_(xx)+u_(yy)=0(K(0)=0;当y≠0时,dK/dy>0).(1)所考虑的区域由三条曲线围成.其一是双曲区域中由原点引出的特征线Г_1,它满足下面方程     

运用参数解题时应注意的两点

在曲线的参数方程中,对于参数t的每一个允许值,由参数方程所确定的点(x,y)都在这条曲线上;另一方面,对于曲线上的任一点M(x_0,y_0),在t的允许取值范围内,都至少存在一个t_0,满足。因而,我们在运用参数方程解题时,必须充分注意这个关系,可是,在现行的一些数学书刊、资料中,却往往忽视了这种关系。本文想从两个方面来说明。 一、要充分注意参数的取值范围     

一类奇异临界椭圆方程非平凡解的存在性

研究了一类带Sobolev-Hardy临界指数的奇异椭圆方程,应用变分方法,通过能量估计和证明对应的能量泛函满足(PS)_c条件,运用山路引理得到了这类方程非平凡解的存在性.     

一类共形不变摄动积分方程正解的存在性

本文讨论了一类共形不变摄动积分方程正解的存在性. 我们证明了:当参数对(p, q) 属于集合(-n, 0) × (0,∞) 且pq + p + 2n = 0 时, 对应摄动积分方程存在正解; 而当参数对(p, q) 属于集合(0,∞)×(-∞, 0) 也满足pq +p+2n = 0 时, 摄动积分方程不存在非负解. 这与原共形不变积分方程有着本质的不同, 此结果隐含着这类积分方程正解的存在性取决于解在无穷远处的性态.     

含临界指数p-Kirchhoff型方程的非平凡解

本文研究了一类含临界指数的p-Kirchhoff型方程.利用变分方法与集中紧性原理,通过证明对应的能量泛函满足局部的(PS)_c条件,得到了这类方程非平凡解的存在性,推广了关于Kirchhoff型方程的相关结果.     

线性对称变换中的可对换性及其条件

我们经常会遇到线性对称变换问题:求曲线C:F(x,y)=0关于直线l:ax by c=0对称后所得曲线C′的方程.解这类问题,一般是设点P(x,y)是C′上的任意一点,关于直线l对称后的点为P′(x′,y′),则P′(x′,y′)必在曲线C上,然后根据直线l垂直平分线段PP′列出两个方程y′-yx′-x·(-ab)=-     

例谈导数在求曲线切线方程中的应用

<正>导数的几何意义是高考重点考查内容之一,也是导数重要应用之一.主要考查求曲线切线的斜率,切线的方程,已知曲线的切线斜率或方程来求参数的范围等问题.在处理这类问题时,有些同学求完导数就乱了章法.本文将对这类问题的处理办法做个总结,希望对学生有一定的帮助.     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。     

一类椭圆曲线的正整数点

本文研究了一类椭圆曲线的正整数点个数的问题.利用二元四次Diophantine方程的新近结果,给出了这类椭圆曲线的正整数点个数的上界,推广了文献[4]中的结果     

求圆锥曲线对称轴的一种方法

形如Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F-0的二次曲线的对称轴的求法,一般地需要通过旋转变换、平行变换等大量繁琐的计算。本文给出一种方法,不进行坐标变换便可较为简捷地求出。这种方法的步骤为 1°利用二元二次方程的判别式B~2-4AC判断出二次曲线的类型,并根据 ctg2θ=(A-C)/B求出一条对称轴与x轴正向交角θ的正切; 2°设出垂直于一条对称铀的直线系方程; 3°把直线系方程代入二次曲线方程得出曲线上两对称点坐标所满足的方程; 4°根据中点公式和韦达定理求出两对称点连线的中点坐标所满足的参数方程; 5°消去参数得出曲线上两对称点连线的中点的轨迹方程。由于此轨迹就是对称轴,因此所求得的轨迹方程就是对称轴方程。     

读“过一点切线方程的另一种初等求法“有感

文[1]首先分析了Δ法求圆锥曲线过一点切线方程的不足,然后介绍了借助构造关于给定点对称的曲线求过一点切线方程的方法.受文[1]的启发,笔者对求这一点切线方程这类问     

用矩阵符号函数解(广义)周期Sylvester方程

(广义)周期Sylvester方程来源于周期离散线性系统. 本文主要研究这类方程满足特征值分别位于开左半复平面和开右半复平面或位于单位圆周内和单位圆周外条件时用矩阵符号函数求解的数值方法.并通过数值例子说明我们的结论.     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

Khler曲面上的辛临界曲面

本文在辛曲面类中研究了泛函Lβ=∫Σ1cos~βαdμ,β≠-1.之前的研究曾推导了它的EulerLagrange方程,并把满足这个方程的曲面称为β辛临界曲面.当β=0时,得到的是极小曲面方程;当β≠0时,常Khler角极小曲面满足这个方程.特别地,全纯曲线或特殊Lagrange曲面满足这个方程.本文研究β辛临界曲面的一些性质.     

双周期裂纹场平面弹性焊接的数学问题

本文讨论双周期胞腔中含任意形状裂纹的不同材料的弹性平面焊接(焊线为任意形状的封闭光滑曲线)的第二基本问题.运用Мусхелишвили复变函数方法,对这类弹性平面问题建立起了数学模型,将求解弹性平衡问题化归为寻求复应力函数满足一定边界条件的边值问题,然后构造其解的形式,再将其转化为正则型的奇异积分方程,数学上严格证明其解的存在与唯一.     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…