等比数列求和公式的另三种证法

对于首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列 {an)的前n项和Sn的求和公式的证明,课本上 采用了错位相减法,下面给出另外三种证法．     

一个三角不等式又一证法

笔者在《中学生数学》2008年2月（上）P29的文《西部数学奥赛一题的三角证法》中给出如下试题：     

一道课外练习题的另一证法

<正>《中学生数学》2013年7月下初三课外练习题第3题为:设△ABC的三条边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥4槡3S.另证由12bcsinA=12casinB=12absinC=S,得bc=2S sinA,ca=2S sinB,ab=2S sinC.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca=(1sinC+1sinA+1sinB)2S.显然,可知当a=b=c时,取等号,于是∠A=∠B=∠C=60°.故a2+b2+c2≥(1sin60°+1sin60°+     

全微分定理的另一证法

<正> 微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy要成为某一函数全微分的条件有定理若P(x,y)与Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+     

高斯公式的一种物理证法

关于高斯公式,数学上有多种证法,本文将从力学的角度入手给出高斯公式的一种物理证明．在三维空间的稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）中,设速度场为V＝（P（H,y,2）,Q（x,y,z）,R（x,y,Z））其中P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）都有连续的一阶编导数．由物理意义,速度场7单位时间在民点单位体积内所散发的流量定义为该点的散度,记作点的散度可用下面极限求出．在点给Z,y,Z,分别取增量得到点封闭曲面。及所围空间长方体域nG,其体积OV一tanyat,取月一mp,则单位时间内由6G散发的流量近似为根据散度的物…     

三角形中位线定理的另一证法

三角形中位线定理是:“三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半”.课本(人教版初二几何)在证明“三角形中位线定理”时,采用了“同一法”,方法如下: 如图1,DE是△ABC的一条中位线.如     

切线性质定理的另一种证法

切线的性质定理:圆的切线垂直于经过 切点的半径． 反证法对于初中阶段学生接受起来比较 困难,不易理解．下面给出另外一种证法．     

简谈一种三角题证法的规律

首先,我们看下面的一个例子。例1已知A B C=180“ ·Cos求证:SinA SinB SinC=4Cos~B七05一 艺 ,A=4七05一 Z。B oC切“万七。s丁.A一2证明:‘:A B十C=180“ .’.A B=1800一CA B 2 C之廿U一一 Z这是我们熟知的。51刀A 5 inB 51儿C=25‘,A一B七05— 2 Sin(A B) 。。,A B,A一B二乙     

西部数学奥赛一题的三角证法

<正>题目求证:对任意正实数a、b、c都有1≤(a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2)≤(3 2^1/2/2).《中学生数学》2007年1月（上）P₃₆刊出了杨安琪同学对此题的"新解".可惜原文的最后两步有误.因由cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（cos²α·cos²β·cos²γ）^1/3,cos²αcos²βcos²γ≤（1/8）,不能推出cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（1/8）^1/3.尽管原文出现小小的失误,但原文的思想方法很好.     

四面体求积的另一公式

数学通报85年3期发表了“四面体的求积公式”一文。该文给出了由四面体的六条棱求其体积的公式。读后颇受启发。 本文试图证明四面体求积的另一公式。即已知四面体由一个顶点出发的三条棱长及其中每两条棱的夹角,求其体积,这个公式较易记忆,且计算量较小。为此,先证明如下的引理。     

一道习题的三角证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3(cm),DC=2(cm)。求△ABC的面积。对于此题,几乎所有的参考书都采取了如下的证法:(有的以习题形式收入的还直接提示辅助线的作法)。解:作△ABC的外接圆O,过C作圆O的直     

几何题的三角证法

利用三角法证几何题,是一种常用的方法。几何中有大量问题都可以用三角法加以解决。 用三角法证几何题,有以下优点: 1.几何法往往需要作比较巧妙的辅助线,而三角法在许多情况下,利用现有的图形,不需或少需辅助线,而且辅助线一般说来也比较明显,比较容易想,因而使图形比较简洁。 2.由于三角法是利用对含有三角函数的式子进行化简,计算,证明来进行证明,而这样的方法常常有成法可循,思路一般说来比几何法要简单些,容易被学生所理解、掌握。不单是思路,就是证明过程在     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

三角恒等式的多种证法

<正>题目求证:sum from k=1 to n cos[(a+2(k-1)π)/n]=0(n≥3,n∈N).这是一道经典的三角恒等式,有不少文章谈及它的证明方法.笔者收集、整理,得到了四种构造性的证明方法.本文一一介绍给大家.以供参考.     

几何题的三角证法

<正>用三角法证几何题可以不添辅助线或少添辅助线,降低证明难度,同时又能开拓思路,从而提高证题能力.在初中用三角法证几何题是以直角三角形为基础,以锐角三角函数为主要手段,通过运算或用运算代替推理进行证明,它的证题步骤是:(1)选择或构造直角三角形;(2)设某角为α,用一些线段和α的三角函数表示其他的线段,建立起边角关系等式.     

Hamilton－Cayley定理的另一种证法

本文提出了线性代数中重要的Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙ定理的另一种证明．     

斯特林公式的一种简易证法及其高精度误差估计公式

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长．近年来，一些国内外学利用概率论中的指数分布、泊松分布、X^2分布证之．《数学通报》在1990年第11期上译登了Patin J M利用Г函数和勒贝格控制收敛定理进行证明．现在，本仅利用普通的工科高等数学知识给出一个浅易简洁的证明，并简易地推出更好的误差估计公式．     

点到直线距离公式的一种证法

关于点到直线距离公式有许多不同的证法,其中不少证法用到相似三角形,向量,三角或微积分。然而,本文介绍的证法仅用到基本的代数和几何知识。命题设Ax+By+C=0是一条直线的方程,(x_0,y_0)是这直线外一点,则该点到这直线的距离为     

Legendre多项式递推公式的一种新证法

本文对Ｌｅｇｅｎｄｒｅ多项式的重要性质——三项速推关系式，给出一种新的证明方法。此证法有别于目前一些教科书中的证明方法，使人更易接受．有一定参考性。     

台劳公式的另一证明

本文给出带有拉格朗日型余项的台劳公式的又一个证明方法。这一证法以罗尔定理为基础,也象拉格朗日中值定理的证明那样,引进一个辅助函数。笔者以为本文采用的辅助函数比