几个数值求根方法的误差估计

<正> 研究求方程f(x)=0数值根的割线法x_(n+1)=x_n-x_n-x_(n-1)/f(x_n)-f(x_(n-1))f(x_n)(n=0,1,2,(1)…以及Ostrowski与Traub各自独立地提出的方法     

高三代数高次方程一章中的三个定理

一.一元n次方程的根的个数定理一元n次方程有n个根而且只有n个根。 課本中的証明大意如下: (1)根据代数基本定理,推得 f(x)=a_1x~n+a_1x~(n-1)+…+…a_n(a_0≠0) =a_0(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0,而 f(x_1)=f(x_2)=…=f(x_n)=0,所以f(x)=0有n个根x_1,x_2,…,x_n。 (2)设x_(n+1)是和x_1,x_2,…,x_n都不相同的任一数, ∵f(x_n+1)≠0 ∴x_(n+1)不是f(x)=0的根。从而得出結論:f(x)=0只有n个根。证毕。我們知道,要断定f(x)=O的根只有n个,必須确定所有不同的根以及每一个根的重复度。上面的証法只能滿足前者的要求而不能滿足后者,因此,很容易使人发生以下的問題:如果x_(n+1)和x_1,x_2,…,x_n中的某一个相等,于是f(x_(n+1)=0;那么是否可以說x_(n+1)是f(x)=0的第n+1个根呢? 所以这个証法是不妥当的。事实上这个定理应該根据多項式的典型分解式的唯一性来証明。     

计算方程重根及其重数的算法

给出一种计算方程重根及重数的迭代算法,分别具有平方收敛和线性收敛.(i)迭代:x_(n+1)=x_n-f x_n (f'(x_n))/((f'(x_n))~2-(f(x_n)f~n(x_n)),m_n=((f'(x_n)))~2/((f'(x_n))~2-f(xn_)f″(x_n)),n=0,1,2,…,重数m≈mn;(ii)加速迭代:x_(n+1)=x_n-(f~((m-1))(x_n))/(f(~m)(x_n)).     

两点注记

[1]给出求函数方程 f(x)=0 重根的迭代函数(I.F.) x_(n+1)=x_n-m{f(x_n)/f′(x_n)+f(z_n)/f′(z_n)},Z_n=x_n-m(f(x_n)/f′(x_n)),     

精确牛頓法及其应用

(一) 引言在各种科学实验及工程技术问题中,会遇到大量代数方程和超越方程求根的问题,我们知道,在实际计算中,方程的根总是以有限位数字表出的。求方程的根的方法很多,其中牛顿法计算简单,收敛速度也好,为一般科技人员所采用。牛顿法的本质是以切线代替曲线,其计算程序为 x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f′(x_n)。(1) 为了使计算工作量减少,有简化的牛顿程序 x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f′(x_0)。(2) 在泛函分析中,为了加速收敛,还有将牛顿程序改进的契比雪夫程序及切双曲线程序,它们都是精确牛顿法的计算程序,为了深入了解其中内容,要求具备泛函知识。下面准备用简单的数学分析方法导出精确的牛顿法并讨论契比雪夫程序之实际应用。     

三次函数图像的切线问题研究

三次函数的导函数是高中同学非常熟悉的二次函数,所以在学习导函数的应用问题时,经常要以三次函数为研究对象.首先看一个例题.已知三次函数f(x)=1/3x~3+4/3,①求曲线在点P(2,4)处的切线方程;②求曲线过点P(2,4)的切线方程.解显然点P(2,4)在三次函数f(x)=1/3     

显式迭代数列的收敛性及其推广

本文研究分别由x_(n+1)=f(x_n),x_(n+1)=f(x_n,x_(n-1)),及g(x_(n+1))=f(x_n)产生的迭代数列收敛性问题,并运用构造迭代数列的方法解决一些实际问题.     

两道高考题的源的探求

八四年理科高考数学最末一道题为:设x_1=a(a>2),x_(n+1)=x~2_n/2(x_n-1),n=1,2,…,求证:(1)x_n>2,(x_n+1)/x_n<1;(2)a≤3,则x_n≤2+1/2~(n-1);(3)a>3,则当n>lg(a/3)/lg(4/3)时,x_(n+1)<3。八六年理科高考数学最末一道题为:已知x_1>0且x_1≠1,x_(n+1)=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n-1)。由于给出的参考答案回避了求通项,故有不少同志围绕怎样求通项而进行了探讨,从而得到了不少巧妙的解法,其中较显著的要算下列的解法。     

某種一次聯立方程的準確解法

一種特殊類型的一次聯立方程的逐次近似解法在1954年12月號本通報上曾經路見可同志討論過,本文將討論下屬類型一次非齊次聯立方程的準確解法,方程組可寫出爲 x_n+2+ax_(n+1)+bx_n=B_(n+1), b≠0(n=0,1,2,…,p—2), (1)其中a,b爲二常數,B_n爲已知量,P爲一正整數。這種類型的方程组無論在物理或工程的應用問題中都是常見的。例如著名的Clapeyron三齐矩力程(當樑之跨度等長時),即屬(1)類型,在這裹作者將提出應用參變數變動法求方程組     

談第二种倒數方程

數学通報1955年10月号王友鋆同志有一篇討論倒數方程定义的文章:談倒數方程,我們在初等數学複習及研究(代數)的教学中也遇到了同样的問題,王友鋆同志的文章沒有談到倒數方程的解法,这篇短文僅就第二种倒数方程的解法問題作一些討論,为了完备起見,我們先从定义開始。定义 設f(x)=0为複數体上的n(>0)次方程,a_1,a_2,…,a_n为此方程的全部根,若-1/(a_1),-1/(a_2),…,-1/(a_n)也是f(x)=0的全部-1/a_1,-1/a_2,…,-1/a_n也是f(x)=0的全部根,則称f(x)=0为第二种倒數方程。定理1 n次方程f(x)=0为第二种倒數方程的充分必要条件是:f(x)=εx~nf(-1/x),其中当n为偶數時ε=1或-1;当n为奇數     

复旦大学1984年硕士研究生入学考试试题

1.设x_0,x_1,…,x_n,x是n+2个相异点,证明 f(x_0,x_1,…,x_n,x)=sum from i=0 to n(f(x_j,x)/(multiply from (?) to n(x_j-x_1))) 其中f(xj,x)和f(x_o,x_1,…,x_n,x)分别表示函数f(x)的一阶和n+1阶差商。 2.设n阶线性方程组Ax=b中n×n矩阵A的顺序主子式det(A1)≠0(i=1,…n),令(n+1)×(n+1)矩阵B为     

一道模拟试题的复习导向

模拟考试题不仅要检测学生的学业水平,还应当为学生指明复习的方向·2009年汕头市一模试题就具有这样的功能·以下分析第21题·1试题设函数f(x)=x-ln(11++xx),(x>-1)·(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),证明N(x)在x>-1上是单调递增的,并求N(0);(2)求f(x)在定义域上的最小值;(3)是否存在实数m、n满足0≤m-1时,N′(x)=2(x+1)+11+x>0,所以N(x)在x>-1上是单调递增,N(0)=0·(2)事实上,f′(x)=1-1-ln(1+x)(1+x)2=(1N(+xx))2,由(1)知,当-10时,f′(x)>0,所以在-10时,f(x)递增·所以,fmin=f(0)=0·(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调增函数·若存在,则必有f(m)=m,f(n)=n·也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实数根m、n,而方程f(x)=x即为ln(11++xx)=0只有一个实数根x=0,所以,不存在实数...     

一类修正牛顿法的收敛域

设非线性方程 F(x)=0 (1) 其中F:DR~n→R~n是Fréchet可导算子。为求(1)的解x=x~*,通常用著名的牛顿迭代 x_(n+1)=x_n-(F′(x_n))~(-1)F(x_n),n=0,1,2,… (2) 有时为了取得更好效果,需要使用阻尼牛顿迭代 x_(n+1)=x_n-λ_n(F′(x_n))~(-1)F(x_n),n=0,1,2,… (3) 其中λ_n∈[0,1]称为阻尼因子。 迭代点列(2),(3)敛速虽高,缺点是要用到计算代价高昂的导算子,因此有导算子被近似替代所导出的种种修正牛顿迭代     

高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法

提出了高阶常系数非齐次线性微分方程y(n)+P1y(n-1)+…+Pny=f(x)(P1,P2,…,Pn是实数)的一种新解法.首先将该方程降为n个一阶非齐次线性微分方程组:y1′-w1y1=f(x),y2′-w2y2=y1,…………………yn′-wnyn=yn-1,其中w1,w2,…,wn是对应的齐次方程的特征方程tn+P1tn-1+…+Pn=0的n个根.然后求出它的通解y=yn,最后得出了求原方程一个特解的迭代公式.     

关于线性算子方程的具有扰动的投影解

数学物理中的许多问题都可化为如下形式的算子方程λx=Kx+f x∈X,f∈X (1)来求解.这里 X 是 Banach 空间,λ(?)0为实参数。以后我们简记形如λI-T 的算子为λ—T。通常(1)的精确解是难求的,往往是用其近似方程λx=K_nx+f_n x∈X,f_n∈X (2)代替方程(1)而求其近似解,其中常用的方法是采用(1)的投影方程λx_n=P_nKx_n+P_nf x_n∈X_n (3)     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0     

利用韦达定理证明某些三角恒等式

给定复数a_0,a_1,a_2,……a_n,则n次代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+……+a_n=0 (a_0≠0)必存在n个根x_1,x_2,……x_n,韦达定理给出了这n个根与方程系数a_0,a_1,……a_n的关系如下:     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

2011年湖北卷(文20)的优美解

题目 设函数f(x)=x3+ 2ax2 +bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(Ⅰ)求a,b的值,并写出切线l的方程;(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0,x1,x2,其中x1 ＜x2,且对任意的x∈ [x1,x2],f(x)+g(x) ＜m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.     

关于Powell方法的一个注

<正> 设x=(x_1,x_2,…x_n)为代表n维空间一点的一个实向量变量，为了寻求n元实函数f(x)=f(x_1,x_2,…x_n)的近似最小值与使 f 取该近似最小值的 x 通常采用的方法依其是否用到 f 的梯度向量而分为梯度法与直接法两大类.而在直接法中比较常用的是 M.J.Powell 在[1]中提出的一个方法.在国内近年来的实践中也屡屡用到此法.本文目的是对该方法中的某些条件加以简化.