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证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x 相似文献
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高中课本第二册P88的例3是有关最值的一个例题,题目为: “己知x,y∈R~ ,x y=S,x·y=P,求证: ①如果P的定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。(2(p)~(1/2)) ②如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。(S~2/4) 事实上,上述结论包含在恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/4(x,y∈R~ ,x≥y)中,如果我们认真分析恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/(4)x、y ∈R~ ,x≥y,便可得到如下的结论。 (1)当积xy为定值时,和x y的值随差x -y的增大而增大。当且仅当差x-y取得最 相似文献
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1.巧施约分。实现通分[例1]计算x2 2xy y2/x2y xy2-x2-2xy y2/x2y-xy2. 分析将算式中的两个分式的分子、分母分别分解因式,约去公因式就可使两个分式的分母相同.解原式=(x y)2/xy(x y)-(x-y)2/xy(x-y) =x y/xy-x-y/xy=(x y)-(x-y)/xy 相似文献
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早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令 相似文献
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课 题 整式与分式的求值适用年级 初中二年级学期 2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期训练目的典型范例 已知x + y=1,x2 + y2 =2 ,求x7+ y7的值 .分析与解答 所求式与已知式关系甚远 ,考虑添设辅助式 (中间元素 )x3+ y3与x4 + y4 ,沟通它们之间的联系 ,缩短它们之间的距离 .分析与解 ∵ x +y =1, x2 +y2 =2 ,∴ xy =12 [(x + y) 2 -(x2 + y2 ) ]=12 (12 -2 ) =-12 ,x3+y3=(x +y) (x2 -xy + y2 )=1× (2 + 12 ) =52 ,x4 + y4 =(x2 + y2 ) 2 -2x2 y2=2 2 -2 (-12 ) 2 =72 .故 x7+ y7=(x3+ y3) (x4 + y4 ) -(x4 y3+x3y4 )=(x3+ y3)… 相似文献
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现行的参考书和许多数学刊物,都不时出现求值域的一种方法——根据反函数的定义域求原函数的值域,即:要求y=f(x)的值域,可先求出y=f~(-1)(x),y=f~(-1)(x)的定义域即为y=f(x)的值域。例求函数y=x+6(x-9)~(1/2)-1的值域。解 y=((x-9)~(1/2))~2+2·3·(x-9)~(1/2)+3~2-1=((x-9~(1/2))+3)~2-1 ∴ (y+1)~(1/2)=(x-9)~(1/2)+3, (x-9)~(1/2)=(y+1)~(1/2)-3,x=y-6(y+1)~(1/2)+19。所给函数的反函数为y=x-6(x+1)~(1/2)+19。其定义域[-1,+∞)即为所求值域。 相似文献
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《中学数学》1984,(7)
一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984), 相似文献
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题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当 相似文献
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一些求值问题设字母替换来解,方法别具一格。今举例给予说明。例1 求(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)的值。解:设x=(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)则 x~2=((2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2))~2=2+3~(1/2)+2(((2+3~(1/2))((2-3~(1/2)))~(1/2)+2-3~(1/2) =4+2(2~2-(3~(1/2))~2)=6 ∴x=±6~(1/2) (-(6~(1/2))不合题意舍去) 因此,原式=6~(1/2)。例2 求 (4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3)…的值。解:设x=(4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3) 则 x~3=4-3((4-3((4-3~(1/3))))~(1/3)…即 x~3=4-3x。∴x=1注:例2应该先证其存在性之后才能设,这 相似文献
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在数学解题中,三思而行,往往能抓住问题的特点,找到特殊的办法,这就要首先观察。通过观察、分析而捕捉规律,从而找到解题的合理途径,兹举例说明: 例1 已知三角形的三边长分别为24、32、40,求最大角。说明:本例常规解法是用余弦定理,但计算较繁。观察不难发现:24:32:40=3:4:5,可见,这是个直角三角形。显然,最大角是直角。例2化简(1+2(3)~(1/2)+5~(1/2))/((1+3~(1/2))(3~(1/2)+5~(1/2))(5~(1/2)2(7)~(1/2)+3)/(5~(1/2)+7~(1/2))(7~(1/2)+3~(1/2)) 相似文献
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1 问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y) =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) , =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x… 相似文献
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不等约束条件下二元函数最值问题的解法 总被引:1,自引:0,他引:1
在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1 利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1 已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解 ∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当… 相似文献
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一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 . 解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则 y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 , y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=... 相似文献