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题求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,(a+b-c)2(a-c)(b-c)+(b+c-a)2(b-a)(c-a)+(c+a-b)2(c-b)(a-b)是常数.这是2012年北京市中学生数学竞赛初二年级试题之一.贵刊2012年8月下P.31给出了一个运算量要求较高的证明,一般的学生不易掌握.本文给出一个一般学生易掌握,且运算量要求不高的换元证法,供学习与欣赏.证明设a=y+z,b=z+x,c=x+y.则原式=4z2(z-x)(z-y)+4y2(y-z)(y-x)2 相似文献
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《中学生数学》2016,(24)
<正>在中学数学中有这样一个恒等式,即a2+b2+b2+c2+c2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)2+(b-c)2+(b-c)2+(c-a)2+(c-a)2].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x2].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x2+y2+y2+z2+z2-xy-yz-zx的最小值是(). 相似文献
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《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)2+(b-c/c-a-3)2+(c-a/a-b-3)2≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)2+(y/-x-y-3)2+(-x-y/x-3)2≥29■(x/y-3)2+(y/x+y+3)2+(y/x+4)2≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)2+(1/t+1+3)2+(1/t+4)2≥29■(t-3)2(t+1)2t2+(3t+4)2t2+(4t+1)2. 相似文献
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a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+ 相似文献
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美国数学月刊问题 11240为:
在三角形ABC中有:e(b-c)2/2a2+(c-a)2/2b2+(a-b)2/2c2≤R/2r
中国不等式研究小组网站上对此问题有所讨论,但最终仅给出了机器证明,至今无人能给出手工证明.笔者发现了它的一个简易的证明方法,现把其分析过程整理出来供参考. 相似文献
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对一道IMO试题的发散性研究 总被引:2,自引:1,他引:1
1赛题与启示 第24届IMO试题: 设a,b,c是三角形的边长,试证a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0(1) 相似文献
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《中学数学》1984,(7)
一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984), 相似文献
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1996年,Carulan提出并证明了如下不等式(文[1]). 设a,b,c是三角形的三边长,求证 a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0.(1)等者发现了不等式(1)的一个加强. 相似文献
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Weisenbock不等式是:设△ABC的三边长分别为a,b,c;面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S ①加强后的Weisenbock不等式是: a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S (a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2 ②类似地有不等式 a~4 b~4 c~4≥16S~2 ③以及: a~4 b~4 c~4≥16S~ 2 (a-b)~4 (b-c)~4 (c-a)~4 ④①式本刊第五期黄伟华同志已给出了多种证明,这里我们先给出①及②式的巧妙构造几何模型的新奇证法。 相似文献
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高一代数在第一学期讲的內容是冪和方根,二次方程和可化为二次方程的方程。本文打算提出有关复习二次方程的一些問題。 (一)关于解一元二次方程教师应着重要求学生,对于二次方程,不但要会正确地解,而且会用简捷的方法去解,并能达到熟练程度。 1.如果所給的二次方程能写成特殊形状 ax~2 c=0,ax~2 bx=0就直接求出它們的根,不必应用二次方程求根公式来解。 2.如果所給的二次方程很容易利用视察法来求出它的一个根,那末就可以利用韦达定理求它的另一个根。例如解方程 (a-b)x~2 (b-c)x (c-a)=0(a≠b),由視察,设x=1得 (a-b) (b-c) (c-a)=0, 相似文献
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本文以三角形不等式 a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)≤3abc ①(a,b,c为△ABC三边)的证明及种种等价变形为例,探索等价约化法的规律,并研究相关不 相似文献
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安振平老师在文[1]中将Carulan不等式加强为: 设a,b,c和r分别是三角形的三边长与内切圆半径,则 a2b(a-6)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥8r2(a-b)2读后深受启发,我们对该不等式进行了研究,又得到两个结果,现整理如下: 相似文献
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<正>数学命题是数学研究的重要部分.如果没有好的题目源源不断地“生产”出来,解题研究也难以持续发展.然而,发现一个好的命题并不容易.设a,b,c为正数(下同),求证:a~3+b~3+c~3≥3abc+a (b-c)~2+b (c-a)~2+c (a-b)~2.这是华东师范大学《数学教学》(1985年第三期)上的一题.供题人冷岗松教授在《数学竞赛试题的若干命题策略》中讲述此题的发现经历.他给学生讲解瑞典1983年试题abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)时,一个学生采取“暴力展开”,于是有了发现. 相似文献