一道联赛题的别解及推广

2001年全国高中数学联赛第(12)题:在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图1)要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同植物,现有4种不同植物可供选择,则有______种栽种方案. 本题除了利用排列组合的知识解之外,还     

概率知识的一个应用--一道竞赛题别解及其推广

20 0 1年全国高中数学联合竞赛第 1 2题是一道排列组合题 .题目如下 :图 1在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有几种栽种方案 ?试题参考答案用分类讨论方法求解 ,文 [1 ]、文 [2 ]又从不同的两种途径进行了探讨 ,本文则借助递推数列 ,用概率知识求解 ,思路清晰 ,也可推广至一般情形 .答案简洁 ,回味无穷 .不妨沿 AF边界剪开展成图 2 :图 2可供选择的4种不同植物设为 a、b、c、d,题设限制条件即 A至F相邻的两块种不同的植物 ,且首尾 A、…     

用递推数列研究一例

题目 1　在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种植同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,问有多少种栽种方案 ?这是 2 0 0 1年全国高中数学联赛最后一个填空题 ,作为一个基本类型的排列组合问题 ,参考答案采用分类讨论的方法求解 ,也是常规方法 .现已有人分别从不同的途径进行了探讨与推广 ,并利用递推数列结合不同的知识对问题作了研究 .本文认为可以直接揭示相邻两项的关系 ,构造递推数列解决上述问题 .先看更一般的问题 .题目 2　把一个圆分为ｎ个扇形 (不一定相同 ) ,并且用ｍ…     

两道2001年数学竞赛试题的关联

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 ) .题目 B　将一个正六边形等分为六个全等的正三角形区域 A,B,C,D,E,F.在这六个区域内栽种观赏植物 ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 ( 2 0 0 1年全国高中数学联合竞赛试题第 1 2题 ) .我们将给出下列更一般的结论 ,从而得到题目 A和 B之间的内在联系 ,其中定理 C是[1 ]…     

试题研讨(17)

试题　 ( 2 0 0 3年全国高考题 )如图 1 ,一个地区分为 5个行政区域 ,现给地图着色 ,要求相邻区域不得使用同一颜色 ,现有 4种颜色可供选择 ,则不同的着色方法共有种 (以数字作答 ) .图 1命题溯源　此题是 2 0 0 1年全国高中联赛第 1 2题的改编题 .解法集锦解法 1　这 5部分至少要着 3色 ,可分为两类 .若着 4色 ,则不相邻的域 3与域 5、域 2与域 4中恰有一组着同色 ,有方法 C12 A14 A33种 ;若着三色 ,则域 3与域 5、域 2与域 4分别着同色 ,有方法 C34 A33种 .由加法原理 ,共有 C12 A14 A33 C34 A33=72种着色方法 .评卷分析　据估分时统…     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

运用函数思想解决环形染色问题

环形染色问题,是排列组合中一类常见类型题,它的解题思路较为复杂.本人发现运用函数的思想方法来探讨这类问题.能轻松地得以解决,并形成较为系统的思想方法加以推广运用.本文试结合几个实例加以说明.1问题的提出问题某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6部分(如图1所示)现栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种(以数字作答).图12常见的解决方法常见的环形染色问题如果用分步解决问题,会遇到最后一个区域选择颜色不确定的情况,所以一般运用分类原理.解法1第一步考虑1,2,3三个部分有A43=2…     

一个涂色问题的推广

文[1],[2]讨论了这样一个涂色问题(为了问题的严谨与简洁,这里对原题作了改写):题目将图1中n(n≥3)个扇形区域用三种不同颜色涂色,要求相邻的区域不能够同色,且三种颜色都要使用,求所有的涂色方法总数an.     

从一道复数题所想到的

高中代数甲种本第二册P.239,19题是“已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点分别表示复数1 2i,3-5i,求与另外两个顶点对应的复数”。教参中用正方形各边相等的条件转化为二元二次方程组求解。本文再给一种解法,并导出求正n边形顶点对应复数的通项公式,由通项公式推出正n边形的一个充要条     

对于2002年高考数学第21题的一点思考

原题　 ( )给出两块面积相同的正三角形纸片 ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图中并作简要说明 .( )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 .( ) (略 )标准答案是一种解法 ,摘要如下 :解　 ( )剪法如图 1、图 2所示图 1　　　　　　图 2( )设给出正三角形的边长为 2 ,则V锥 - V柱 =( 13h锥 - h柱 ) . 34=( 69- 36 ) . 34<0 .所以 V柱 >V锥 .这道题另一种迥然不同的剪法 (如图 3) ,先把正三角形拼成一个长…     

借助中点巧构图

几何问题常常会涉及到线段的中点 ,巧用线段的中点是解决几何问题的重要技巧 .2 0 0 2年高考数学试题第 2 1题除了命题组提供的方法外 ,还可借助线段的中点巧解此题 ,下列解法供参考 .试题　 (Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片 (如图 1,图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ )如果给出的是一块任意三角形的纸片 (如图 3 ) ,要…     

对一道竞赛题解法的思考

本刊 2 0 0 3年第 1期刊载的朱启文老师“巧用辅助圆解竞赛题”一文 ,我认为有一道竞赛题答案虽然正确 ,但解法使用了余弦定理 ,超出了初中知识范畴 .原题及解法摘抄如下 :题　A1 A2 A3 …A9是一个正九边形 ,A1 A2 =a ,A1 A3 =b ,则A1 A5等于 (　　 ) .(A)a2 +b2 　　　 (B)a2 +ab +b2(C) 12 (a +b) (D)a +b(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )解　作圆内接正九边形A1 A2 A3 …A9(如图 ) .连结A1 A3 ,A1 A4,A1 A5.易知A1 A2 =A2 A3 =A3 A4=A4A5=a ,且知A1 A3 =b .由正九边形的定义可知 ,∠A1 A2 A3 =14 0° .∴∠A2 A3 A1 =2 0…     

构造锥体模型巧解2003年高考排列组合题

题目　某城市在中心广场建造一个花圃 ,花圃分为 6个部分 (如图 1) .现要栽种 4种不同颜色的花 ,每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的图 1　原题图花 ,不同的栽种方法有种 .(以数字作答 )这是 2 0 0 3年全国高考 (理科 )试题第 (15 )题 ,本文构作锥体模型巧解之 .图 2　模型图解析　如图 2 ,将花圃的每个部分视作为棱锥的一个顶点 ,相邻部分用“棱”相连 ,由图1知 ,花圃第 1部分与其余每个部分都相邻 ,因此 ,由该点引出的棱有 5条 ,于是将其视作为五棱锥的顶点 ,而其余部分则视为棱锥底面的顶点 .　　现要在花圃 1至 6六个部分栽种 4…     

着色问题的一种统一解法

有 n种颜色给 m个区域涂色 ,解决这样一类问题 ,比较容易产生“疑团”[1 ] .现介绍一种统一的方法 ,可以轻松地解决问题 ,疑团随之烟消云散 .图 1例 1　如图 1 ,用 5种颜色给图中的五个区域涂色 ,每个区域涂一种颜色 ,相邻区域不同颜色 ,那么共有多少种不同的涂色方法 ?解　我们把每一个区域画成一个小圆圈 ,相邻区域间用一条线段连接起来 ,就可以得到图 2 .图 2图 3用 5种颜色 ,有 A55种方法 ;用 4种颜色 (参见图 2 ) ,共有 3种情形 ,有 3A4 4种方法(相同的颜色打上同样的阴影 ,以下同 ) ;用 3种颜色 (参见图 3) ,有 A33种方法 ;所以共有…     

正多边形的自生和衍生

<正>如果有正n边形,我们对正n边形进行一定的操作可以得到另一个正n边形.这样的操作可以有两种:一种是对一个正n边形操作;我们把这一种叫做正多边形的自生;另一种是对两个正n边形进行操作,我们把这一种叫做正多边形的衍生.下面从两方面分别阐述.一、正多边形的自生在此给出n=3,4,5,6时的图形,其它以此类推.命题的结论用全等三角形即可简单证出.     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

综合题新编选登

题188有一种摇奖盘是将一单位圆分成n（n≥3）个均匀的扇形区域构成的（如图1所示），现需将这n个扇形区域用三种不同颜色涂色，并要求三种颜色都要使用，且相邻的区域不能同色，如果把含有n（n≥3）价扇形区域摇奖盘的涂色方法数记为an（图1），     

试题研讨(17)

试题 (2003年全国高考题)如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种(以数字作答).     

圆环染色问题的公式解法

一、圆环染色问题计算公式 如图1所示,把一个圆环（从圆环“中心”出发,以环“半径”为界）分成n（n≥2）个扇形区域A1A2…An,现有m（m≥2）种不同颜色为这n个区域染色,要求相邻两个区域An与An＋1颜色不同,则共有an=（m-1）^n＋（-1）^n（m-1）种不同的染色方法。     

圆锥曲线的一个优美性质

本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个优美性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A1A2A3的三边A1A2、A2A3、A3A1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T1、