三角形的"四心"的三种向量表示

众所周知,三角形的"四心"——重心(三条中线的交点)、内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、垂心(三条高线的交点),在三角形中有着极其重要的地位.因此,高考对三角形"四心"的考查从没间断,且常考常新.特别是与三角形"四心"有关的向量问题,由于它能凸现出较好的区分和选拔功能,因而备受各级各类考试命题者的青睐.作者近几年在这方面作了一些收集、探究工作,通过实例总结提炼了一些解题方法和规律,现整理成文,奉献给大家,希望能对读者在学习中有所启迪.……     

三角形中"四心"的向量形式

向量是现行新编高中数学教材中新增加的内容,由于向量具有几何形式和代数形式的"双重身份",使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介.本文介绍三角形中四心的向量形式.一、重心例1若G是△ABC的重心,则GA+GB+GC=0.证明以向量GB、GC为邻边作平行四边形     

三角形"四心"的向量视角及其应用

在《平面向量》这一章里面,用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面,充分体现了向量知识与平面几何知识的联系.例如,以向量为视角研究三角形的“四心”(即外心、内心、重心、垂心),可以得到三角形“四心”性质的向量表示.而且,从向量角度考查三角形“四心”的问题在最     

三角形四心的向量形式

近几年全国各地高考试卷中有不少题与三角形的“四心”有关,学生在解决这些问题时错误率较高,甚至是无从下手．笔者搜集了部分资料,结合本人积累的教学经验,利用向量的相关知识对有关三角形的“四心”的相关知识进行总结,重点体现出它们之间的结合,供读者参考．     

三角形“五心”的向量表示

<正>三角形的"五心"即:重心、内心、旁心、外心、垂心,"五心"的向量表示已经有很多研究成果.笔者通过最近几年的收集整理探究,尝试用一种结构的表达式表示这"五心",把三角形的"心"做到完美的统一.现整理成文,献给读者,希望对读者在用向量的手段研究三角形"心"的时候有所帮助.1.重心设O为平面内一点,A、B、C是平面上不     

三角形五心的一个向量统一表示

通过对文[1]的探究得到三角形五心的另一组性质，即三角形五心的一种向量表示：     

三角形"四心"的向量统一形式及证明

由平面向量基本定理我们知道,如→/e1,→/e2是平内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1→e1+λ2→e2.……     

平面向量与三角形的四心

<正>在初中学习三角形时,我们学习过三角形的"四心"及一些简单应用.所谓"四心"即重心、外心、垂心、内心.仔细研究会发现三角形的四心与平面向量有密切的联系.如果合理地运用平面向量与四心的关系,那么能够很好地解决一些相关问题.一、三角形的重心若G是△ABC的重心.则常见的向量等价     

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”

数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法.本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示.     

三角形四心向量结论及其应用

<正>~~     

三角形的“心＂的向量表示及应用

在“平面向量”这一章,用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面,这充分体现了向量知识与平面几何知识的联系,例如以向量为视角研究三角形的“各心”,可以得到三角形“各心”的向量表示,由于三角形的“各心”与向量之间有着密切的联系,这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性,与三角形“各心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试中,凸现出较好的区分和选拔功能,是考查学生数学能力和素养的极好素材,下面撷取一些例子加以剖析,希望能起到抛砖引玉的效果.     

三角形四心的向量特征及应用

翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题,笔者发现有关三角形的四心(即重心,垂心,内心和外心)的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式→GA+→GB+→GC=0具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余三心的向量特征进行了探究,得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.     

三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

三角形两个统一的向量性质

文[1]给出了三角形重心的两个性质,文[2]给出了三角形旁心的两个性质,文[3]给出了三角形外心的两个性质.读后深受启发,笔者对文[1][2][3]做了进一步的研究,得到了三角形两个统一的向量性质.性质1 经过△ABC所在平面上的一点O(不在顶点A上),任作一直线l,分别交边AB,AC所在直线于M,N两点,且→=m→(AB),→(AN)=n→(AC),用SA、SB、Sc、S分别表示△OBC、△OAC、△OAB,△ABC的面积(下文同),则(1)当点O落在区域①②时,有SB/m+SC/n=S.(2)当点O落在区域③时,有SB/m+SC/n=－S.(3)当点O落在区域④⑦时,有SB/m－SC/n=－S.(4)当点O落在区域⑤⑥时,有SB/m－SC/n=S.     

浅谈三角形外心的向量表示

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边的垂直平分线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上.     

用向量表示三角形的内心

<正>~~     

三角形四"心"的若干问题

一、定形.定位.定性.定量话三角形四"心" 　　(2003,江苏,理5)O是平面上一定点A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(OP)=(OA)+λ((AB)/|(AB)|+(AC)/|(AC)|),λ∈[0,+∞)则P的轨迹一定通过△ABC的(B)……     

两个向量形式的三角形面积公式

向量作为一种工具,在解(证)数学题时有着广泛的应用.下面介绍两个向量形式的三角形面积公式.已知△ABC中,CB=a=(a1,a2),CA=b=(b1,b2),则△ABC的面积为:(1)(2)证明设CA、CB的夹角为α,则     

三角形面积公式的向量坐标表示

定理在△ABC中,若(AB|→)=(x1,y1),(AC|→) =(x2,y2),△ABC的面积S,则应用上述定理可简便地处理一类与三角     

应用数形结合理解三角形四心的向量形式

数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合.作为一种数学思想方法,数形结合包括两个方面:第一种情形是"以数解形",而第二种情形是"以形助数".下面以三角形的四心为出发点,结合向量相关知识,应用数形结合的思想,解决三角形四心所具备的一些特定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感.