中等學校裹序列的學習

本文的目的是按照中等學校裏應該講授的計畫給中學數學教師以學習序列問題的典型的探討。序列應該看作是以自然數為變元的函數,因此,必需重複一下學生們在八年級就已得到了的關於函數的基本知識。函數的定義大致以下面的形式教給八年級的學生們。如果變元x的每一允許的數值,對應著某個完全確定了的數值y,那末y就是變元x的函數。所給的x值的集合叫做變元的允許的數值的集合或函數的定義域,而相應的y的數值的集合就叫做函數的數值的集合。要規定一個函數,就應該確定變元的允許的數值的集合和一個對應的規律,按照這個規律,可以給變元的每個已給的數值確定一個唯一的函數值。 學生們應該知道,集合和對應的概念是函數的定義的基礎,它們是基層的,那就是說,集合和對應的概念不能藉助更簡單的概念來定義。     

數學舆實際

學生學習的過程中,沒有一個階段裏沒有數學課程。從小學一年級開始學算術,進了中學要學代數、幾何、三角。到了大學和高等學校裏,除了文法科裏一部分學生外,要學高等数學。但高等数學的內容,在概念上就和中學的數學課程的內容完全不同,理論也增多了,常有講了很多理論而没有把它們直接用到計算裏的情形。在第一次講課裏,雖在序言中講了數學的發展是由於客觀實際的需要,但到了理論很多而沒有把它們直接應用到計算時,例如講到無窮小定理舆變量極限定理那一段時,同學往往又會感到這些理論似乎是脫離了實際,因而感到很抽象,於是發出這類的問題:“老師,這些理論在實際上怎樣用法?”這種思想是狭隘的實用觀點,為了要澄清這稀狹隘的實用觀點,應該深刻地體會數學舆實際的關係。通過生產活動,人類逐漸地了解自然的現象,自然的規律,人和自然的關係,封建時代的生產主要是農業生產,由於田畝的計算,我國的數學家早在公元前一千餘年就發現了勾股定理,即     

我對於代數學教程中關於近似计算法的一點意見

最近教師們在使用中等技術學校代數學教程時,發現下面幾個問題: (1) 在第二章“近似算法”中,存疑數字的定義不够確印嚴密; (2) 準確有效數字和存疑數字的兩個定義不相啣接; (3) 在第四章開平方的近似算法中違反前面自己所立的法則(乘法); (4) 還違反了自己所立的四捨五入法 這樣就使教師們和同學們發生疑難,為了更好的學習蘇聯,讓我把該書的主要精神指出,並對錯誤部分提出一些補充和修正意見;還希望大家提供意見,來解决在使用教材中所發生的疑難問題。 (一) 該書關於“近似算法”的主要精神,在結合四捨五入法提出準確有效數字的定義 (1) 該書首先介紹數的四捨五入法(§19)這是最好的近似數的記法,測量值的記法是和四捨五入法一致的,也以誤差不超過最精細單位的     

關於評定五至七年級學生數學書面作業和口頭回答的經驗

正確評定學生數學書面作業和口頭回答所具有教育的和實際的重大意義;是提高學生知識質量和學業成績的各種措施之一,並且對於學生畢業考試成绩的優劣也起着重要的作用。 關於學生書面作業和口頭回答的要求問題,在教育界和科學界有着不少值得注意的意見,這些意見表明,在數學書面解題的要求上存在着一系列的爭論,因而也涉及書面作業評定這一問題的爭論,讓我們把這些意見綜合起來研究一下,就不難看出它們的分歧是由於一方面對教育部各項關於學生數學書面作業評定標準原則的指示掌握得不够,只憑主觀和個人看法來理解和解釋這些指示;在另一方面,又沒有把正規的作業要求同個別人士對這個問題的見解和希望區別開來,學生書面作業正式要求和其評定     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。     

在中學數學課程中的邏輯概要

在高年級的數學教學中,必然要面臨這樣的一個時刻,這時為了使學生能自覺地與深刻地掌握今後的課程,應當本質上依據某些邏輯概要的知識,不過在以前的各年級中,學生不可能獲得必要的知識,所以在一定的教學階段上就產生了迫切的需要:給予學生一些有系統的、嚴格地敘述的、最低限度的數學的邏輯概要。我的個人經驗以及曾與我討論過這一問題的教師們的經驗證明,在邏輯學的領域內走馬觀花地流覽,不可能給上面所提的問題以充分全面的解答,所以我用一個定名為“數學命題和證明方法”的專門的課題給予學生們這些最低限度的邏輯知識。根據進行這一課題的四年工作經驗,產生了它的具體計畫,這一計畫我將在下面提出以供大家討論。     

改進幾何作業批改方法的體驗——批改作業和課外輔導相結合

在中學裏,批改數學練習本,一般的說,目前還是一個存在的問題,特別是批改幾何練習本困難最多,問題最大,因此許多老師大多採取“全面檢閱,輪改抽查,重點批改,加强總結”等辦法,最近數學通報上又介紹了一種批改紙片上的習題的辦法(1955年2月號),這些方法,雖然都有着一定的優點,能節省老師們一定的時間和精力,使他們能更好地進行備課和學習,以及進修等工作,但根據目前學生的知識質量,學生的學習態度舆學習方法的情况來說,特別是對初中的學生青少年們來說,這些批改方法的實際效果和作用究竟有多大,還有值得研究的地方,我認為這些方法(包括全批全改在內)都有下列幾個共同的缺點: 1.不管全批全改也好,重點批改也好,輪改抽查也好,當練習本發給同學後,他們是否認     

初中算術小数一章的教法

第一課主題:小数、小數的單位、小數的寫法本課計劃Ⅰ.講授新教材:(1)本課主要目的是使學生弄清“小數”這一概念,有些學生可能這樣想:“有小數點的數就是小數”或“比1小的數就是小數”但這两種說法,都不足以說明“小數”到底是什么?谝粋€說法的毛病在於用“小數點”這一名詞下小數的定義而小數點是什么在這里還是一個未定義的名词。第二個说法顯然失去它的完全     

初中平面幾何課本上两個作圖题的讨论

在東北人民政府教育部編譯的初級中學教科書“平面幾何”中,§101舉了一個四边形的作图题,§102最末附問一個撞台球的問題。這兩題在劉薰宇編的初級中學課本“平面幾何”中,後者列為習題二九的第20題,前者作為§140的例2.前者在兩书中都僅有解法而無討論,後者在本通報1953年5月號“數學问题及解答欄”中(第27題)亦僅有解法而無討論。關於它們應如何討論,屢有讀者來函詢問,今筆者承編者同志的     

關於在中學數學教學中如何形成學生辯證唯物主義的世界觀的問题

中央教育部編訂的中學數學教學大綱(草案)中規定:“教師在講授數學的過程中,要貫徹新民主主義教育的一般任務,形成學生辯證唯物主義的世界觀,培養他們新的愛國主義以及民族自尊心,鍛鍊他們的堅强的意志和性格”。近年來,全國各地教師們在努力完成這樣光榮而艱鉅的任務中也積累了一些寶貴的經驗,這些經驗如果能經常及時交流,總結推廣,會使我們的工作提高一步。但這方面我們的經驗還遠不够多,如何創造性地想出一些辦法來實现這些任務,目     

混合型微分方程

<正> 自從F. Tricomi在1923年發表了一篇關於混合型微分方程的論文以後,各國數學家繼續在這方面工作的,不乏其入;尤其是蘇聯數學家,近年來在這方面有極其光輝的貢獻。過去所考慮的問題,都是兩個域的問題,現在我們要考慮的,是多個域的混合型問題。我們考慮下面兩個方程的定解問題:     

對“數學學習”的两點意見

“數學學習”本年4月號第20頁所載“三個親密的朋友-0,1,∞”中有兩句話:“0可以看做∞的例數,∞可以看做0的例數”。我以為這兩句話不但容易使初學的人誤認為1/∞=0和1/0=∞,並且“∞的例數”和“0的例數”是沒有意義的。現在將有意義的0和∞看做沒有意義的東西,殊覺费解。舊書如葛斯郎三氏微積分中確乎有c/∞=0,c/0=∞這些樣的記法,雖然書中已談明這些是(?)的簡略形式,絕不是用∞或0去除常數c,但這兩種記法很容易引起不正確的觀念,還是應該批判的,又第22頁所載“一個小問題”的原文是:“如果以x-a除x的多項式f(x)     

初中算术百分法一章的教法

(一) 数學目的百分法一章的教學,是在學生已經掌握了分數四則的基础上来進行的.因此百分法一章的教學目的應該是使學生在充分理解分數四則的基礎上,能用百分法更熟練地解决各式各樣的应用問題.所謂“在理解分数四則的基础上”這句话,是指在解决有关百分法的問題時要避免一些机械的背誦、申言之:即是防止學生形式主義地套用公式而不動用思想例如說:見了一個問題、一點也不聯系分數的运算的理論,而先去生硬地尋找哪是母數哪是子數……,然後即搬用公式. 另外,在教百分法這一章時,進行愛国主義教育是有特别重要的意義的.我們国家在短短的幾年建設中,在各方面都已獲得了極為光輝的成就.這樣的资料在報紙上雜志上隨處皆是.利用這樣的資料編為例題或习題,是非常之好而且是很自然的.     

中国数学會天津分會學術講演會纪要

中國數學會天津分會根據會員的意見,認為對於近似計算存在問题很多,很多教師過去都未加注意,有的教師去年講過貝爾曼著數學解析教程及加里寧著代數學教程(皆係張理京等譯)也發現很多不明確的問題,其他如中學的幾何物理,大學的許多課程的蘇聯教材中都很重視這點,天津分會根據這種情况遂於六月廿七日上午請中國科學院數學研究所研究員閔乃大同志作了一次報告。 閔乃大同志在報告中指出近似計算的重要性,計算數學和理論數學在處理問題中的區别,又详細解釋和比較上述兩書中許多名詞的含義,也指出一些翻譯文字的可能錯誤,詳細地解釋了絕對誤差,相對誤差舆近似數的關係,近似數的基本運算(加减乘除乘方開方求對數等)所發生的誤差問题。以後並單略介紹方程的近似解,並舉一突出的例子來喚起大家的注意,這是一個普通二元一次聯立方程,由这方程求出的解的誤差比這解本身的值還大,因此這種解是毫無實際意義的,最後在     

我如何講解初中平面幾何的軌跡問题

一般而言,初中平面幾何中軌跡部分的教學,大家都感到比較困難,學生也以為比較難以理解舆接受。許多同志在這方面已經介紹過很多的寶貴的經驗。現在,我把我在教學中關於軌跡問題的一些體會談談,是否正確,希望大家来討論。我從下列各方面來研究這個問題: (一) 為什麽對軌跡的教學會感到困難? 我想有這樣幾個原因:第一、是舊教學思想的影響。因為舊教學本質上就是唯心的、脫離實際的、生硬的、教條式的,當教師教軌跡時,開始就搬上一大套生硬的名詞及定義,而且還强調軌     

對於數學批改作業的一些意見

目前在中學裏,對於批改學生的作業還存在一定的缺點和困難,因此改進作業的批改方法,是目前中學數學教學中亟待解决的問題。最近在數學通報上刊登了壽望斗同志的“關於数學練習本批改力法的改進意見”。個人認為壽望斗同志對這項工作的主張和他所介紹的批改方法都有極大的參考價值,為此個人謹對這個問題發表幾點補充性的意見。 數學課的書面作業負有雙重任務:一方面通過學生獨立的書画作業,來鞏固學生的既得知識,把已學得的理論知識應用於實際,鞏固和提高學生的技能和熟練技巧,提高學生的作題能力,同時書画作業還有它一定的教育意義,因此,“教師應當把學生家庭獨立作業看做是我國青年腦力勞動文化發展底一種方法,也應當看做是培養性格底意志品質——正確性、目的性、堅決性、     

某些有窮級數的求和

如果注意地撿查一下初等代數的課程,不難發覺,共中有幾章和其餘的材料没有聯系,如序列、組合論等等,自然就想到,未必不能把這些間題完全從課程大綱中刪去。 說序列是形成方程和解决方程的很好的材料,這種論據是下確鑿的,因為可以舉出許多在這方面並下遜色於序列但现在中等學校裏並下講授的問題,說序列是學習對數所必需的,這種說法也有一些陳腐了,因為在近代對敷是用函數的觀點來說明的首先序列是組成級數學說一部分,如果在課程大綱中沒有級數,那麼序列就失去其意義。在十八世紀以及十九世紀,俄國的數學家們曾予級數以特別注意並且得到重大的成就,特別是對於數學有興趣的青年學生們似乎應該熟悉我們的數學家的工作。我們還要指出一種情况:即中等學校裏課外的數學作業有些片面性。徵求解答的問題,通俗性的報告(數的發展     

关于北京大学数学力学系編“数学分析”上册一书教学实践的点滴体会与意見

我們愉快地教完了北京大學數學力學系編的“數學分析”上冊(以下簡稱“上冊”)。感到該書在某些方面具有特色,學習之後受益不淺。但另一方面也還覺得有些不足之處,下面想就此兩方面談談自己的體會和意見,以就教于同志們。一、關於若干基本概念的處理“上冊”對於“極限”特別是對於“微分”與“定積分”這兩個概念的處理是有鮮明特色的。 數學分析是用極限方法來研究函數的。因此一開始就接觸到極限這個重要的概念以及它的一般性貭與     

對於數π的瓦理斯公式,萊布尼茲公式和歐拉公式的初等推導

在高等數學中,推得了許多把數π表爲無窮級數或無窮乘積的公式,這些公式中最著名的是瓦理斯公式2/1·(2/3)·(1/5)·(1/5)·(5/6)·(6/7)·=π/2 (1)萊布尼茲公式 1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=π/4 (2)歐拉公式 1+(1/2~2)+(1/5~2)+(1/4~2)+…=π/6~2 (3) 在高等學校裏,這些公式普通是在研究積分學(瓦理斯公式),研究函數展為冪級數(萊布尼茲公式)和展為三角級數(歐拉公式)的理論時被證明的,我們認為,對於大學裏的高等代數教師,特別,對於師範大學的高等代數教師來說,下面的一個這些公式的簡單推導,它只基於複數的運算法則和多項式代數的基礎,可能引起興趣;實際上,這個推導甚至對於中學生來說,都是可以理解的。