基于微积分的无限概念的理解

无限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念，可以说，数学的发展过程就是人们对无限的不断认识的过程．特别是对于微积分而言，无限是一个贯穿始终的重要概念，微积分从创立到发展都紧密困扰着对无限认识的深入和提高．甚至微积分的严密性得益于柯西对极限概念的界定．理解微积分的无限概念可谓意义深远．但是，学生往往对无限理解感到困难．笔者受美国优秀教材（Raymond A．Barnett ＆ Michael R．Zingier＆ Karl E．Byleen）：微积分及其在商业，经济,生命科学及社会科学中的应用（第9版）的启发。试图寻找一条理解无限概念的有效途径．     

极限教学初探

全日制十年制学校高中课本《数学》第四册第55面的小结中明确地指出:“极限是一个描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,极限的方法是人们从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数学方法,…极限的方法也是微积分的基     

论徐利治对数理哲学中无限问题的研究

对无限的认识是数学哲学的一个核心问题．徐利治对无限进行了深入研究,创立了超穷过程论,并据此解决了数理哲学中关于无限的许多疑难问题,从数学和哲学两方面大大丰富了人们对于无限的认识．     

从变量数学到现代数学(续一)

3·函数概念的诞生与演变数学从对运动的研究中引出了一个基本概念,其后的200年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心的地位,这个概念就是函数.近代数学的主体主要是围绕着函数和极限概念展开的.随着变量数学特别是数学分析的发展,函数概念也经历了深刻的变化,这主要是出于数学自身发展需要.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中.他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到的,或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.自从牛顿于1665年开始微积分的工作后,他一直使用“流量”一词来表…     

试谈通用高中《数学》第四册一元微积分的教学

通用高中“数学”第四册安排了一元微积分的初步知识。微积分是人们认识客观世界中量的运动变化规律的有力工具,它既是高等数学的基础,又直接应用于实际。中学教材编人微积分对于学生毕业后直接参加工作或者继续学习都有好处。在普通中学如何讲授微积分初步知识还缺少经验。本文就如何理解教材以及一些教学设想谈些粗浅看法。一、教学的目的与要求、重点、难点教学的目的与要求是: 1.使学生初步了解导数、微分和积分的概念及其产生的背景。 2.使学生初步掌握基本的微分法和积分法。 3.使学生能解决微积分应用中的几则最基本的问题;了解微积分在实际中有广泛应用,同时也是研究传统数学的有力工具。 4.使学生初步了解微积分的基本思想,并通过它对学生进行辩证唯物主义方面的教育。导数,微分,原函数,不定积分,定积分是最基本的概念;导数及积分的四则运算,复合函数求导法,换元积分法以及基本初等函数的微分表和基本积     

高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较

1 调查目的 "导数是微积分的核心概念.理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法,是学习微积分的重中之重."[1]为了体现"强调本质,注意适度形式化"、"发展学生的数学应用意识"、"注重提高学生的数学思维能力"的基本理念,<普通高中数学课程标准(实验)>(以下简称"标准")在微积分课程设计方面逾越了形式化极限概念的学习,"导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.……经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,……"[2]这是数学家、数学教育专家所倡导的理论层面的课程,具体落实到教学实践中,学生对导数概念理解的怎样?是否符合"标准"的要求?如果以数学专业本科生作为参照,我们希望了解高中生对导数概念理解的程度以及高中生和大学生在导数概念学习中存在的问题,以期更好的促进导数的教学与课程的建设.     

“折”学与数学

<正>折纸,是需要在有限的一个单位大的纸上进行科学的、近乎极致地分配,才能呈现出美丽的作品.越是复杂的成品,越需要进行精密的计算,里面蕴含了很多数学的知识.尤其是设计一个作品的时候,甚至还会用到大学微积分的概念.现代折纸与数学的完美结合,为折纸提供了无限可能,也将折纸与数学这两门看似毫不相干的学科联系了起来,使我们感受折纸当中蕴含的数学美与数学文化.     

没学过极限 学生能学会导数吗——新课程"导数"概念教学的实验研究

1问题的提出微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段[1].微积分引进和使用了与以前的工作根本不同的概念和方法,从而改变了整个科学世界的面貌.微积分蕴涵着丰富的科学价值、文化价值、教育价值和哲学思想.遗憾的是,微积分的教学方法有时流于机械不能体现出这门学科乃是震撼人心灵的智力奋斗的结晶[2].微积分的教学是数学教育改革中最活跃的领域之一,而美国的微积分教学尤其引人注目[3].美国微积教学改革的做法是:课程重点放在对概念的理解和应用;在应用…     

无限小量简史

近世科技得益于微积分这门数学分支良多 .无限小量的概念是微积分学的基础 .虽然“无穷小”方法已经被古希腊和古代中国、印度和中世纪欧洲的科学家以各种不同方式顺利地用来解决几何学和自然科学中的问题 ,但是无穷小理论的基本概念的确切定义直到 1 9世纪才被提出来 .“无穷小”的思想实际上最初是在哲学范围内提出的 ,无论是在古希腊还是在中国都是如此 .哲学家对“无穷小”进行了一定的论述 ,这正是“无穷小”方法得以在古希腊和古代中国的科学发展中应用的思想基础 .在数学上无穷是一个经常出现的概念 .简单地说它是有限性概念的反义词…     

极限教学的探讨

<正> 初学高等数学的学生往往反映极限难学,很抽象。极限概念涉及到一个从静认识动,从近似认识精确、从有限认识无限的过程,因此,的确比较抽象和难理解,它是高等数学数学的重点和难点。下面结合教学的体会,谈谈极限概念教学的一些问题。     

混沌平话（续文）

接上期）数学中的变换由常量研究向变量发展是数学发展史上的重要里程碑,微积分的发明正是这种发展的标识．随着变量数学的研究,变换,更广义地称为映射成了数学的一个重要概念,某种意义上它是“函数”概念的拓广．早在１９世纪法国数学家庞加莱曾指出：反复地对一个数...     

Cauchy和严格微积分的起源

考察十七、十八世纪的数学状况,叙述早期微积分的技巧,讨论十八世纪微积分严格化的紧迫性,解释Euler、d’Alembert、Poisson和Lagrange所开创的数学技巧的发展过程,最后指出这些数学成果是如何被Cauchy用来建立新的严格微积分基础的.     

自主招生考试中的热点——极限

极限思想是微积分的基本思想,数学中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等都是借助于极限来定义的.极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限思想,人     

关于中学数学中微积分教学的思考

《高中数学课程标准》大幅度删减了传统的教学内容,代之以更为有用的近代数学最基础的知识和技能,新课程增加的微积分内容在近几年高考数学试卷中始终作为重要的考查对象,保持较高出题率,而且也达到了一定的深度·为适应21世纪的需要,提高学生的数学素养,加快中学数学课程的现代化步伐,推动中学数学课程改革,在教学中,教师必须使学生掌握微积分的概念、思想和价值,从更高的角度俯瞰传统的中学数学·本文将从以下几个方面探讨中学微积分的教学·1培养学生学习微积分的兴趣兴趣是最好的老师·微积分由于其公式多、推导繁等特点,许多初学者感到难以掌握,缺乏学习兴趣,其实微积分有深厚的历史背景和辩证思想方法·在教学中,教师应给出问题的背景,使学生看到基本概念的形成过程,并注意揭示实际问题数学化的思想方法,以提高其学习兴趣·极限的思想方法是微积分的基础,极限概念的教学是一个公认的难点,在讲解极限时,我们可以介绍一些背景材料,如在《庄子·天下篇》中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法·即首项为1,且以1/2为公比的无穷等比数列,是一个有头无尾但永远不能变为0的无限变小过程·又如在魏晋时代数学家刘徽“割圆术”的极限思想中,刘徽用圆内接正多边形求圆...     

高中数学概念教学探析——以2019人教A版第一册“函数的概念”教学为例

<正>在数学教学中,数学概念的教学是比较困难的,这是一个从无到有的认知过程,学生在学习数学概念时要经历概念的形成、表述、辨别以及应用等阶段,其中还包括一些思想方法的融合以及数学能力的训练,也是学生认识与概念相关的其他知识的基础.概念教学结果的好坏直接影响着学生的数学思维,决定了学生在以后的学习过程中的学习方式.因此,教师要要格外注意高中阶段数学概念的教学过程,它会对学生的认知进行打破重组以及深化加强,一定程度上决定了学生以后的学习思维方式.     

第一讲 学习《数学手稿》引言

马克思的《数学手稿》(以下简称《手稿》)是马克思运用唯物辩证法研究数学的光辉文献,是又一个辩证法的宝库.在这部著作中,马克思运用唯物辩证法,批判地分析了微积分(重点是微分学)的历史发展过程,科学地阐明了微积分的基本理论问题——微分学的辩证法问题.     

浅谈数学概念的教学

数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。概念是数学知识体系中的核心,不言而谕,数学概念在数学中应占有十分重要的地位,它不仅是加强基础知识教学的重要组成部分,而且也是培养能力、发展智力的先决条件。古人云:“授人一鱼,仅供一饭之需;教人以渔,则终身受用无穷”。教师只有教会学生正确地理解数学中的每一个概念,才能使之掌握与运用这些概念所形成和发展起来的数学知识。加强数学概念教学是整个数学教学过程中不可忽视的重要环节。一、引入新概念要遵从认识规律数学概念是人们对客观事物中有关数量与形式的关     

从历史出发讲授微积分

微积分拥有漫长的历史,其中重要概念的发展史同时也是呈现这个数学主题的最好方式,而这也是许多学者建议从历史视角教学数学的重要原因之一.本文就尝试从回顾微积分的思想发展开始,探讨如何从历史中获得启发,丰富微积分的教学方法,如何从历史出发,创造出适合课堂的教学素材.     

Liouville在分数阶微积分概念方面的研究

分数阶微积分的概念是以整数阶微积分理论研究为基础,而分数阶微积分概念的建立经历了漫长的过程.探析此过程中数学家在研究分数阶微积分理论方面的贡献,进而整理Liouville在分数阶微积分概念方面的研究,进一步概括分数阶微积分第一定义的由来以及为后续相关研究奠定的坚实基础.     

微积分中反例的作用和构造

在微积分的创立和发展过程中,各种反例的出现对微积分概念的精确化,理论的严格化起到重要的促进作用.在微积分的教学过程中,反例仍可帮助深化知识的理解,否定错误的习题,辨析错误的解法.反例的构造有法可循.