一类三角函数求值问题的错解分析

高一学生在学习三角函数时 ,常会遇到一类三角函数求值问题 .他们在解决这类问题时 ,由于对已知条件挖掘不深 ,常会出现解答错误 .笔者通过几个例题加以说明 ,仅供参考 .例 1　已知ｔｇα =17,ｔｇβ =13且 0 <α <π2 ,0 <β <π2 .那么α 2 β的值是 (　　 )　　 (Ａ) π4 .　 (Ｂ) 5π4 .　 (Ｃ)π .　 (Ｄ) π4 或5π4 .错解 :∵ｔｇ2 β=2ｔｇβ1-ｔｇ2 β=231- 19=34,ｔｇα=17,　　∴　ｔｇ(α 2 β) =ｔｇα ｔｇ2 β1-ｔｇα·ｔｇ2 β=17 341- 17× 34=1.　　又∵　 0 <α <π2 ,0 <β <π2 ,　　∴　 0 <α 2 β <3π2 ,…     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

一道课本习题的完善、推广及应用

现行高级中学课本《代数》(必修)上册Ｐ264第22(1)题是:在△ＡＢＣ中,求证ｔｇＡ ｔｇＢ ｔｇＣ=ｔｇＡｔｇＢｔｇＣ.本文试图:一说这道习题的纰漏,以期引导同学们严密地思考问题,培养思维的批判性和严谨性;二说这道习题的推广,以期引导同学们重视课本知识,培养思维的深刻性和创造性;三说这道习题的应用,以训练同学们灵活应变的数学素质,培养思维的灵活性和广阔性.1　完善　　我们知道,ｔｇπ2无意义,因而上述习题不严谨,应完善为:在非直角△ＡＢＣ中,求证:ｔｇＡ ｔｇＢ ｔｇＣ=ｔｇＡｔｇＢｔｇＣ.2　推广修正后的命题可推广为:定理　若Ａ…     

高一年级第二学期末数学自测题

选择题(共14小题,第1-10题每小题4分,第11-14题每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1　ｔｇ67°30′=(　　)(Ａ)3 1.　　　　　　(Ｂ)3-1.(Ｃ)2 1.　　　　　　(Ｄ)2-1.2　下列函数中,以π4为最小正周期的是(　　)(Ａ)ｙ=ｃｏｓ22ｘ-ｓｉｎ22ｘ.(Ｂ)ｙ=ｔｇｘ21 ｔｇ2ｘ2.(Ｃ)ｙ=1 ｓｉｎ4ｘｃｏｓ4ｘ.(Ｄ)ｙ=ｔｇ2ｘ1-ｔｇ22ｘ.3　已知圆锥底面面积是π,母线与底面所成的角为60°,则它的侧面积是(　　)(Ａ)2π.(Ｂ)3π.(Ｃ)3π.(Ｄ)33π.4　用半径为10ｃｍ的半圆形薄铁板卷成一个无底的圆锥筒,若不计损耗,…     

好题共欣赏 基础不能忘

2012年高考江西卷理科第17题是一道三角题,该题容易入手,从不同的角度出发均能轻松地加以解决,很好地体现了"考查基础知识的同时,注重考查能力"的命题原则,有效地考查了考生的数学基础知识和基本技能.以下是该题的多种不同解法.题目:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A=π4,bsinπ4+△△C-csinπ4+△△B=a.(1)求证:B-C=π2;(2)若a=2%姨,求△ABC的面积.(1)证法1:由bsinπ4+-△C-csinπ4+-△B=a,应用正弦定理得:sinBsinπ4+-△C-sinCsinπ4+-△B=sinA.     

高一数学同步训练题

同步内容 :三角函数的图象和性质 ,多面体与旋转体　　 选择题 (共 14小题 ,第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 )1　已知集合Ｅ ={θ|ｃｏｓθ <ｓｉｎθ ,0≤θ <2π},Ｆ ={θ|ｔｇθ <ｓｉｎθ},那么Ｅ∩Ｆ为 (　　 )(Ａ) ( π2 ,π) .　　　 (Ｂ) ( π4 ,3π4 ) .(Ｃ) (π ,3π2 ) .　　 (Ｄ) ( 3π4 ,5π4 ) .2　函数 ｙ =3ｃｏｓ( 15π2 - 2ｘ3)是 (　　 )(Ａ)奇函数 .　　　　 (Ｂ)偶函数 .(Ｃ)既奇又偶函数 .　 (Ｄ)非奇非偶函数 .3　设Ｍ ={正四棱柱 },Ｎ ={长方体 },Ｐ ={直四棱柱 },Ｑ ={正方体 },则这四…     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史财经类)

参考公式与理科卷相同一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )ｔｇ3 0 0° ｃｔｇ40 5°的值为(Ａ) 1 3　　　 (Ｂ) 1 - 3(Ｃ) - 1 - 3 (Ｄ) - 1 3(3 )若一个圆锥的轴截面是等边三角形 ,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是(Ａ) 3π　 (Ｂ) 3 3π　 (Ｃ) 6π　 (Ｄ) 9π(5 )已知复数ｚ=2 6ｉ,则ａｒｇ1ｚ 是(Ａ) π6 　 (Ｂ) 1 1π6 　 (Ｃ) π3 　 (Ｄ) 5π(6 )函数ｙ=2 -ｘ 1 (ｘ>0 )的反函数是(Ａ)ｙ=ｌｏｇ21ｘ - 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｂ)ｙ=-ｌｏｇ2 1ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｃ)ｙ =ｌｏｇ21ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 …     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

一道课本习题的引申及其应用

题 :已知一个圆的直径的端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :圆的方程是(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ -ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )Ｐ82 第 3题 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的推论和相应结论的应用 .推论　设直线ｌ∶Ｆ(ｘ ,ｙ) =0与二次曲线Ｇ(ｘ ,ｙ) =0交于不同的两点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,由Ｆ(ｘ ,ｙ) =0Ｇ(ｘ ,ｙ) =0 分别消去 ｙ ,ｘ得 ｆ(ｘ) =0 ,ｇ(ｙ) =0 ,并使 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｙ)的二次项系数相等 ,则以ＡＢ为直径…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

余切公式及其应用

在△ＡＢＣ中 ,记内角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边为ａ ,ｂ ,ｃ,Ｓ为△ＡＢＣ的面积 ,由余弦定理可得 :ｃｔｇＡ =ｂ2 ｃ2 -ａ24Ｓ ,ｃｔｇＢ =ｃ2 ａ2 -ｂ24Ｓ ,ｃｔｇＣ =ａ2 ｂ2 -ｃ24Ｓ .我们称这组公式为“余切公式” .“余切公式”在形式上有与余弦定理相媲美的对称美 ,且在解决三角形中与内角的正 (余 )切有关的命题时 ,能起到化繁为简 ,化难为易之功效 ,请看如下例题 .例 1　 ( 1 999全国高中数学联赛试题 )在△ＡＢＣ中 ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,若9ａ2 9ｂ2 - 1 9ｃ2 =0　则ｃｔｇＣｃｔｇＡ ｃｔｇＢ=.解　由余切公式得 :ｃ…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

高二同步测试题

复数的三角形式选择题1　若复数ｚ的辐角为 56 π ,实部为 - 2 3,则ｚ等于(　　 )(Ａ) - 2 3- 2ｉ .　　 (Ｂ) - 2 3 2ｉ.(Ｃ) - 2 3 2 3ｉ. (Ｄ) - 2 3- 2 3ｉ.2　设ｚ是复数 ,ｚ 2的幅角是 π3,ｚ - 2的幅角是56 π ,那么ｚ等于 (　　 )(Ａ) - 12 32 ｉ. (Ｂ) - 32 12 ｉ.(Ｃ) - 3 ｉ. (Ｄ) - 1 3ｉ.3　已知复数ｚ1 =1 ｉ,ｚ2 =1- 2ｉ ,ｚ3 =1- 3ｉ ,则ａｒｇｚ1 ａｒｇｚ2 ａｒｇｚ3 等于 (　　 )(Ａ) 72 π .　 (Ｂ) 52 π .　 (Ｃ) 32 π .　 (Ｄ) π2 .4　 ( 1 3ｉ2 ) 60 ( 1- 3ｉ2 ) 60 的值是 (　　 )(Ａ) - 1 3ｉ2 …     

错在哪里

学生王灵在做高考仿真模拟训练题时 ,遇到这样一道题 .题目　如图 1 ,已知双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2=1 (ｂ >ａ >0 )的实轴两端点为Ａ ,Ｂ ,若双曲线Ｃ在第一象限图象上存在一点Ｑ (ｘ ,ｙ) ( ｙ≥ｘ) ,使∠ＡＱＢ =6 0° ,求双曲线Ｃ的离心率ｅ的取值范围 .通过分析 ,他给出如下解法 .图 1　题目用图解　由题意知Ａ( -ａ ,0 ) ,Ｂ(ａ ,0 ) .∴ｋＡＱ=ｙｘ +ａ,　ｋＢＱ=ｙｘ -ａ.　ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｋＢＱ-ｋＡＱ1 +ｋＢＱ·ｋＡＱ.又ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｔａｎ6 0°=3,∴ 3=ｙｘ -ａ- ｙｘ +ａ1 + ｙｘ -ａ· ｙｘ +ａ,化简得 3=2ａｙｘ2 + …     

活用课本习题结论事半功倍

数学课本中的许多习题不仅具有代表性和示范性 ,而且还具有较高的应用价值 .如高中代数上册的各种版本都有如下优美的一个三角恒等式 :ｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ2 α -ｓｉｎ2 β ①①式从形式上看与 (ａ ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2 非常相似 ,故不妨称为正弦平方差公式 .解决有关问题时 ,若有目的有意识地运用它 ,则可事半功倍 ,请看下面数例 .例 1　 (1996年上海高考题 )已知ｓｉｎ(π4 α)·ｓｉｎ(π4 -α) =16 ,α∈ (π2 ,π) ,求ｓｉｎ4α的值 .解　由①式及题设得ｓｉｎ2 π4 -ｓｉｎ2 α =16 .∴ｓｉｎ2 α =13,ｃｏｓ…     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法.然而有许多反三角恒等式蕴含丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形结合,便可开辟解题新径.现举例如下,望同学们能举一反三,灵活应用.例1　设0<ｘ<1,求证:ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2 ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2 2ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2=π.证　构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使∠Ｃ=90°,ＡＣ=2ｘ,ＢＣ=1-ｘ2,则ＡＢ=1 ｘ2,如图1所示.图1　例1图于是在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ｓｉｎＡ=1-ｘ21 ｘ2,ｃｏｓＡ=2ｘ1 ｘ2,ｔｇＢ=2ｘ1-ｘ2.∴∠Ａ=ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2,∠Ａ=ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2,∠Ｂ=ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2.又2(∠…     

一道习题的推广与应用

在一次习题课上 ,老师出了这样一道题 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,且 2 ａ=3ｂ=6 ｃ,求证 :1ａ+ 1ｂ=1ｃ.此题的证明很简单 :由已知式两边取以6为底的对数得ｌｏｇ62 ａ=ｌｏｇ63ｂ=ｌｏｇ66 ｃ,从而得 ｃａ =ｌｏｇ62 ,ｃｂ =ｌｏｇ63,故 ｃａ + ｃｂ =ｌｏｇ62 +ｌｏｇ63=ｌｏｇ6( 2× 3) =1 ,得证 .深入分析此题之所以有这样优美简洁的结论 ,主要根源在于三个数 2 ,3,6 ,且 2× 3=6 .仿上证明可知把上述命题能推广为更一般的命题 .推广　设ａ ,ｂ ,ｃ均为正数 ,且对Ａ≠ 1 ,Ｂ≠ 1 ,Ａ ,Ｂ大于 0 ,有Ａａ=Ｂｂ=(ＡＢ) ｃ,则有1ａ+ 1ｂ=1ｃ.运…     

凸函数的一个性质

文 [1]通过引入参数证明了如下三个不等式 :( 1)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =3,则4ａ 1 4ｂ 1 4ｃ 1>2 13.( 2 )在△ＡＢＣ中 ,ｔｇ Ａ2 ｔｇ Ｂ2 5 ｔｇ Ｂ2 ｔｇ Ｃ2 5 　　ｔｇ Ｃ2 ｔｇ Ａ2 5>6 2 5.( 3)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =2 ,则3 7ａ 1 3 7ｂ 1 3 7ｃ 1>2 3 15.本文将 ( 1)、( 2 )、( 3)统一推广 ,得到凸函数的一个有趣性质 .首先引入凸函数的概念 .定义[2 ] 　设函数ｙ=ｆ(ｘ)在 [ａ , ∞ )上有定义 ,对任意ｘ1 、ｘ2 ∈ [ａ , ∞ ) ,ｘ1 <ｘ2 ,若其图象上任两点Ｐ(ｘ1 ,ｆ(ｘ1 ) )、…     

2000年广州市普通高中毕业班数学综合测试(1)

选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ａ ,Ｂ(Ａ≠Ｂ) ,则满足Ａ∪Ｂ ={ａ ,ｂ}的Ａ ,Ｂ的组数共有 (　　 )(Ａ) 4种 .　 (Ｂ) 6种 .　 (Ｃ) 8种 .　 (Ｄ) 9种 .2　函数ｆ(ｘ) =9- 8ｃｏｓｘ - 2ｓｉｎ2 ｘ的最大值是(　　 )(Ａ) 17. (Ｂ) - 1. (Ｃ) 1. (Ｄ) 3.3　设ｚ1 =- 1 3ｉ ,ｚ2 =( 12 ｚ1 ) 2 ,则ｚ2 的辐角主值等于 (　　 )(Ａ) 56 π . (Ｂ) 43π . (Ｃ) 116 π . (Ｄ) 53π .4　圆锥的母线长为 1ｃｍ ,侧面展开图的圆心角为 43π ,该圆锥的体积为 (…