关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…     

一个三角形三边关系猜想的否定

贵刊文 [1 ]否定了文 [2 ]给出的三角形三边定理 ,证明了除非对任意的正实数ａ ,ｂ ,ｃ都有ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,否则 ,三角形的三边ａ ,ｂ,ｃ不存在整式关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,并且提出如下猜想 :除非ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ)恒等于零 ,否则 ,对任意三角形三边ａ ,ｂ ,ｃ而言 ,不存在一个固定的关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 .本文指出上面的猜想是不成立的 .利用符号函数ｓｇｎｘ =1 ,当ｘ>0时 ;0 ,当ｘ =0时 ;-1 ,当ｘ<0时 ,引入如下三元实值函数ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) =ｓｇｎ(ｘ+ｙ -ｚ) +ｓｇｎ(ｘ+ｚ-ｙ)+ｓｇｎ(ｙ+ｚ -ｘ) -3 .由于ｆ(2 ,1 ,1 ) =-1 ≠ 0…     

求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

用解析几何模型求函数的值域

解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,而某些代数问题 ,根据其结构特征 ,也可构造为解析几何问题 ,本文以求函数值域为例 ,构造解析几何模型 ,使数形转化 ,便于解题 .1　构造距离模型例 1　求函数 ｆ (ｘ ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1的值域 .解　由 ｆ(ｘ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1=(ｘ 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 (ｘ - 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 .图 1　例 1图故 ｆ(ｘ)可看作平面上点Ｐ (ｘ ,32 )到两点Ｍ(- 12 ,0 ) ,Ｎ(12 ,0 )的距离之差 ,显然 ｆ(ｘ)的值域为 (- 1,1) .例 2　已知 ｆ(μ) =μ2 ａμ ｂ - 2 ,μ =ｘ 1ｘ图 2　例 2图(ｘ≠ 0 ,ａ…     

多元二次函数的最值问题

本文用二次型理论给出了多元二次函数有最大 (小 )值的一个充分条件 ,并给出了最值点及其最值的求法 .对于一元二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ　 (ａ≠ 0 ) ,当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)有最小值 ,当ａ <0时 ,ｆ(ｘ)有最大值 .且当ｘ =- ｂ2ａ 时 ,取最值4ａｃ -ｂ24ａ .利用实二次型理论 ,将这一结论推广 ,可给出多元二次函数取最值的一个充分条件 ,及其求法 .多元二次函数的一般形式为 :ｆ(ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ)=ａ1 1 ｘ21 2ａ1 2 ｘ1 ｘ2 … 2ａ1ｎｘ1 ｘｎ ｂ1 ｘ1 ａ2 2 ｘ22 … 2ａ2ｎｘ2 ｘｎ ｂ2 ｘ2 … ａｎｎｘ2 ｎ ｂｎｘｎ ｋ ,ｆ…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

综合题新编选登

题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

二次函数在闭区间上的最值

求二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ在闭区间上的最值 ,由于可以较好地考查学生的数学思想和思维能力 ,因而是一类很典型的题型 .通过画图我们可直观的得到 :二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ >0 )在ｘ∈[ｘ1 ,ｘ2 ]上的最值为 :1　若ｘ1 ≥ - ｂ2ａ,则ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ1 ) ,最大值ｆ(ｘ2 ) ;2　若ｘ1 ≤ - ｂ2ａ≤ｘ2 ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ( - ｂ2ａ) ,最大值ｍａｘ{ｆ(ｘ1 ) ,ｆ(ｘ2 ) };3　若ｘ2 ≤ - ｂ2ａ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ2 ) ,最大值ｆ(ｘ1 ) .至于ａ <0的情况有类似的性质 .例 1　 ( 1996年全国高中数学联赛题 )如…     

凸函数的一个性质

文 [1]通过引入参数证明了如下三个不等式 :( 1)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =3,则4ａ 1 4ｂ 1 4ｃ 1>2 13.( 2 )在△ＡＢＣ中 ,ｔｇ Ａ2 ｔｇ Ｂ2 5 ｔｇ Ｂ2 ｔｇ Ｃ2 5 　　ｔｇ Ｃ2 ｔｇ Ａ2 5>6 2 5.( 3)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =2 ,则3 7ａ 1 3 7ｂ 1 3 7ｃ 1>2 3 15.本文将 ( 1)、( 2 )、( 3)统一推广 ,得到凸函数的一个有趣性质 .首先引入凸函数的概念 .定义[2 ] 　设函数ｙ=ｆ(ｘ)在 [ａ , ∞ )上有定义 ,对任意ｘ1 、ｘ2 ∈ [ａ , ∞ ) ,ｘ1 <ｘ2 ,若其图象上任两点Ｐ(ｘ1 ,ｆ(ｘ1 ) )、…     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

判别某类非周期函数的一种方法

1979年全国通用高中数学课本引入“函数周期性”内容之后 ,一直引起人们的关注 .笔者注意到有关判定ｆ(ｘ) =ｓｉｎ1ｘ、φ(ｘ) =3ｃｏｓ ｘ -1(ｘ +1 ) (ｘ-2 ) 等为非周期函数时 ,总是采用反证法加以论证 .这不仅有一定的难度 ,而且也需花费时间 .对于上述ｆ(ｘ)、φ(ｘ)以及更为一般的函数Ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎ (ｘ-ｂ1) (ｘ-ｂ2 )… (ｘ-ｂｋ)(ｘ-ａ1) (ｘ-ａ2 )… (ｘ-ａｎ) 、Φ(ｘ) =Ａｃｏｓ(ｘ -ｂ1) (ｘ -ｂ2 )… (ｘ -ｂｋ)(ｘ -ａ1) (ｘ -ａ2 )… (ｘ -ａｎ) (其中Ａ(≠ 0 )、ａｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)、ｂｊ(ｊ=1 ,2 ,… ,ｋ)均为实常…     

构造函数解（证）不等式

函数与不等式有着密不可分的联系 ,在不等式问题中 ,应重视以函数为桥梁 ,根据实际问题构造函数 ,用函数思想与函数方法分析、解决问题 .解 (证 )不等式问题 ,从实质上说 ,是研究相应函数的零点、正负值区间及其图象变化问题 .因此 ,用函数思想来处理这类问题 ,不仅会优化解题过程 ,而且会使我们迅速获得解题的途径 .例 1　已知 |ａ|<1,|ｂ|<1,|ｃ|<1,求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ >- 1.证　把ａ看作自变量ｘ ,作一次函数ｆ(ｘ) =ｂｘ ｂｃ ｃｘ 1=(ｂ ｃ)ｘ ｂｃ 1,∵ |ｂ|<1,|ｃ|<1,|ａ|<1,即ｘ∈ ( - 1,1) ,∴ ｆ( - 1) =-ｂ -ｃ ｂｃ 1…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

线性分式函数的迭代

函数的迭代在中学数学竞赛中经常出现 ,其迭代公式与应用也有不少文章论及 ,但多半是对某些整式或特殊的分式函数进行迭代 ,而一般的分式函数的迭代公式还鲜有谈到 .本文将从多项式理论的角度出发分析得出线性分式函数的ｎ次迭代公式 ,并通过实例说明其结论简捷实用 .定义　设函数ｙ =ｆ(ｘ) ,记ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆ…ｆｎ个ｆ(ｘ)… ) (ｎ∈Ｎ) ,则称ｆｎ(ｘ)为函数ｆ(ｘ)的ｎ次迭代 ,显然 ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) .定理　若ｆ(ｘ) =ａｘ+ｂｃｘ+ｄ,ｆ1 (ｘ) =ｆ(ｘ) ,ｆｎ(ｘ) =ｆ(ｆｎ- 1 (ｘ) ) ,(ｎ≥ 2 ) ,ａ、ｂ、ｃ、ｄ是保证ｆｎ…     

y的范围就是函数的值域吗?

在解有关函数值域问题时 ,不少同学误将函数 ｙ所应满足的一个不等式的取值范围当作函数的值域 .下面举例予以剖析 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ)的值域为 [- 1 ,2 ],求函数 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)的值域 .错解 :∵ - 1≤ｆ(ｘ)≤ 2 ,　　　 1≤ ｆ(ｘ) + 2 ≤ 2 ( 1 )　　　 - 2≤ - ｆ(ｘ)≤ 1 ( 2 )∴ - 1≤ ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)≤ 3,即函数 ｇ(ｘ)的值域是 [- 1 ,3].剖析　这里利用不等式的性质推导得ｇ(ｘ) 的取值范围 .但是 ,( 1 )式在 ｆ(ｘ) =2时取最大值 2 ,而 ( 2 )式当 ｆ(ｘ) =- 1时取最大值 .所以 ,( 1 ) ,( 2 )式同时取最大值…