由sinα sin2α sin3α化积所想到的…

高中《代数(必修)》上册的P.203,第18题的第3小题,把咖a十‘心a十sin3a.二①化为积的形式.下面利用“和差化积”公式解答如下: 解s廷na sinZa 抓n3a 二(滋n。 城n3a) 动nZa=ZsinZOc。‘a sinZa.0.3a二n乙渭‘n万一“‘nZa‘c~ 。号,二;sinZ~(要 要)cos(尽一要) ‘O乙O 试间: (l)s讯a sinZa sin3a十sin4a (2)sina sinZa sin3a sin4a十sinsa等等又怎样化积呢?显然用上述方法解答是极为复杂的,有时甚至难于求得结果.为此需寻求其它方法. 我们都熟悉公式25,nasj。声=一[eos(a 刀)一cOS(a Zsin尽一,)〕.以二二二鱼乘以:ina ,snZa sjn3a,有…     

sin2α=2sinαcosα的一种几何解释

如图，构造两个边长为1的全等菱形ABCD与菱形A’B’C'D．设ADC=2a，连结AC，则由对顶角性质及菱形对角线互相垂直且平分，连结A’C’，DB’，则A’DB’=C'DB’=a，依余弦定理易知DB‘=2cosa，其几何解释如图所示，就是构造菱形的面积．sin2α=2sinαcosα的一种几何解释@黎民生$广西扶绥二中!532100     

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

巧用平方关系sin2x＋cos2X=1求三角函数最值

在求三角函数最值问题时,如果能灵活地设置参变量,熟练利用均值不等式和三角函数的有界性,巧用平方关系sin2x＋cox2x=1将问题转化为简单问题从而解决,可使学生从对问题的困惑中豁然开朗．     

级数∞∑n=1nαsin(nβ)的收敛性

通过推导给出了使级数∞∑n=1nαsin(nβ)收敛的α与β的值.     

级数sum from n=1 to ∞(n~αsin(n~β))的收敛性

通过推导给出了使级数∑∞n=1nαsin(nβ)收敛的α与β的值.     

asinα bcosα=(a~2 b~2)~1/2sin(α φ)的应用

ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）的应用夏中全（重庆市武隆县中学４０８５００）高中代数上册第１９５页给出了公式：ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）①其中辅助角φ所在的象限由ａ，ｂ的符号确定，φ的值通常由ｔｇφ＝ｂａ确定...     

微分方程组dX/dt=AX+eαt(cosβt·P(1)m(t)+sinβt·P(2)m(t))具有重特征根α+iβ时的特解结构定理及应用

对于一阶常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX+ eαt (cosβt·P(1)m(t)+sinβt·P(2)m(t)).P(1)m(t),P(2)m(t)为次数不超过m关于实变量t的n维向量实值多项式,当n级实方阵A具有s≥1重特征根α+iβ时,给出了其特解(X)(t)的结构定理和计算方法,使求特解(X)(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了利用计算机求特解(X)(t)的计算问题.     

cosφ=cosα·cosβ的推广及应用

ｃｏｓ＝ｃｏｓα·ｃｏｓβ的推广及应用栗领义（郑州二十四中４５０００７）１前言如何计算地球面上任意两地的球面距离，在数学中认为属于地理知识的范畴，没有作深入的研究；在地理中如何计算大圆航线，则认为属于数学方面知识，也不作进一步的探讨．事实上，这两个...     

一道难断真假的命题——“tgα≠tgβ”的否定是“tgα=tgβ”吗?

常见下面的问题 :α、β∈Ｒ ,判定“α≠ β”是“ｔｇα≠ｔｇβ”成立的什么条件 ?有两种截然不同的回答 .一曰 :“α≠ β”是“ｔｇα≠ｔｇβ”成立的既不充分又不必要条件[1 ]理由大致如下 :显然α≠ β ｔｇα≠ｔｇβ又命题“ｔｇα≠ｔｇβ α≠ β”的逆否命题“α=β ｔｇα =ｔｇβ”是假命题 (反例 :取α0 =β0 =π2 ,这时ｔｇα0 、ｔｇβ0 不存在 ,当然更不能相等了 ) .∴“α≠ β”是“ｔｇα≠ｔｇβ”成立的既不充分又不必要条件 .似乎有点道理 .另一曰 :“α≠ β”是“ｔｇα≠ｔｇβ”成立的必要非充分条件[2 ]有人…     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

求n∑i=1f(xi)的值的方法

有些函数值的求和问题,表面上看,与周期性、等差性、等比性无关,但事实上隐含着周期性、等差性、等比性,一旦将其周期性、等差性、等比性揭示,问题便迎刃而解.笔者就从何处揭示这些隐含的特性,从哪里人手找到撬动这些特性的支点,作一些探析,以飨读者.1 f(a)+f(b)＝c型这类函数值求和问题,一般是由题目给出一个具体的函数解析式,要求求出所给函数值的和.这类似于在等差数列中,与两端等距离的两项之和相等这一条性质的运用.     

这两个数列的通项公式能求出来吗?

对两道数列试题进行分析,给出其通项公式的求法.     

COS~2((α-β)/2)=c~2/(a~2+b~2)的几何证法

本刊86年七期《问题与解答》栏,刊登了这样一道题: 已知锐角α、β为方程accsx+bsinx=c(a≠0,b≠0)的两个不等实根,求证:cos~2(α-β)/2=c~2/a~2+b~2 下面提供一利二利用数形结合的解法:     

微分方程组(dX)/(dt)=AX+e~(αt)(cosβt·P_m~((1))(t)+sinβt·P_m~((2))(t))具有重特征根α+iβ时的特解结构定理及应用

对于一阶常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX+eαt(cosβt.P(1)m(t)+sinβt.P(2)m(t)),P(1)m(t),P(2)m(t)为次数不超过m关于实变量t的n维向量实值多项式,当n级实方阵A具有s≥1重特征根α+iβ时,给出了其特解珟X(t)的结构定理和计算方法,使求特解珟X(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了利用计算机求特解珟X(t)的计算问题.     

我与老师关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ)的争论

在前不久 ,我们学习了公式ａｓｉｎα +ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,(其中 φ =ｔａｎ ｂａ) ,数学老师说 :“关于 φ在什么象限 ,书上没有说 ,经我们数学组的老师研究 ,认为 0≤ φ≤π ,因为正切函数在一、三或二、四象限的值是相同的 ,就不必要考虑三、四象限了 .”既然是数学组的老师们研究过的 ,似乎就没有什么可怀疑的了 .可我却产生了疑问 .我发现如果只考虑0≤ φ≤π的话 ,在某时碰巧对 ,而在某时就对不上了 .于是课后我问老师 :“书上例题 22 ｓｉｎα +22 ｃｏｓα =ｓｉｎ(α +π4) ,而如果是 -22 ｓｉｎα-22 ｃｏｓ…     

求和模型S=n(n-1)/2的构建和应用

大家知道,从自然数1开始逐个相加,一直加到n,把它们的和记为S,则有s=1 2 3 … n=n(n 1)/2(代数第一册(上)P39) 由这个公式,可得1 2 3 … (n-1)=n(n 1)/2     

求sum from i=1 to n(f(x_i))的值的方法

有些函数值的求和问题,表面上看,与周期性、等差性、等比性无关,但事实上隐含着周期性、等差性、等比性,一旦将其周期性、等差性、等比性揭示,问题便迎刃而解.笔者就从何处揭示这些隐含的特性,从哪里入手找到撬动这些特性的支点,作一些探析,以飨读者.     

对公式(n-1) (n-2) … 2 1=n(n-1)/2的认识

在学习过程中,有许多同学对公式(n-1) (n-2) … 2 1=n(n-1)/2记忆不牢固.其主要的原因恐怕是没有理解此公式的意义.本文通过从不同的角度说明其意义,以帮助同学们真正掌握此公式,并能进行灵活运用. 一、从数量的角度思考方法1 在数列n-1、n-2、…、2、1中, (1)若,n-1为偶数,则易知数列中间的两