研究性课题：有关正弦、余弦函数的应用题

[背景资料 ]　三角函数的应用通常局限在引入角参数、运用三角法解有关三角形的问题上 .事实上 ,正弦函数、余弦函数却是许多现实世界中周期现象的数学模型 ,例如等速圆周运动、温度的变化、潮汐现象、生命节律等 .我国教材和美国ＵＣＳＭＰ教材中都有许多这样的习题 .[教学对象 ]　高一学生 (高一〈上〉学完三角函数以后 )[教学手段 ]　计算机多媒体大屏幕[教学过程 ]　初探 (气温变化的数据拟合 )1　 [大屏幕显示 ]下表是某城市 1971— 2 0 0 0年月平均气温 (华氏 )月份 12 34 5 678910 1112平均气温 2 1.42 6.0 36.0 48.85 9.168.673.0 …     

三角形内角的三角函数方程

文 [1]、[2 ]分别给出了三角形内角的余弦方程和三角形中半角的余切方程和正切方程 ,本文将建立三角形内角的正弦方程 .现将三角形内角的三角函数方程整理如下 ,以便读者参阅 .定理 1[1 ]　△ ABC三内角余弦 cos A、cos B、cos C满足方程 :　 4R2 x3- 4R(R r) x2 (p2 r2     

心距与沃尼克作图问题

1982年,William.Wernick在文[1]中提出:已知三个定点求作三角形的139个问题,文[2]中列出了悬而未决的41个问题,本文用心距公式证明问题73、问题80、问题121均为尺规作图不能问题.大家知道,仅限使用直尺和圆规的作图法称为尺规作图法.首先不加证明地给出如下结论:引理1[3]　设实数x为有理系数三次方程Ax3 Bx2 Cx D=0　(A≠0)的根,则长度等于|x|的线段能从方程的系数出发而能用尺规作图的充要条件是方程至少有一个有理根.引理2[4]　如果既约分数rs是整系数方程p(x)=a0xn a1xn-1 … an-1x an=0的根,则　r|an,s|a0.引理3　△ABC的三边长a、b…     

一个不等式的简证及其几何直观

文 [1 ]对不等式2 (n 1 - 1 ) <∑nk=11k<2 n - 1(n >1 )进行了指数推广 ,其结果是 :定理　 11 - p[(n 1 ) 1-p - 1 ]<∑nk=11kp<11 - p. n1-p - 11 - p 1(p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,n >1 ) .上述定理证明的依据是如下两个引理 :引理 1　 1kp <11 - p[k1-p - (k -1 ) 1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k >1 ) .引理 2　 1kp >11 - p[(k 1 ) 1-p -k1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k≥ 1 ) .文 [1 ]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式 ,分 0

1进行讨论证明 ,读者不难看出 ,不仅过程繁琐 ,而且对其证明思路难以把握 .文 [2 ]中利…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.解原方程化为{x}=11-2[x]/5. ∴.0<11+2[x]<5. ∴-5.5<[x]<-3. ∴[x]=-4,或[x]=-5, 当[x]=-4时,{x}=0.6. 当[x]=-5时.{x}=0.2. ∴x=-3.4或x=-4.8. 2.解将三个式子相加,得a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=0. 配方得(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0.     

2004年第四期初中数学问题参考解答

一、比较 2 0 0 5- 2 0 0 4与 2 0 0 4 - 2 0 0 3的大小 .解 :∵ 2 0 0 5+ 2 0 0 4 >2 0 0 4 + 2 0 0 3,∴ 12 0 0 5+ 2 0 0 4 <12 0 0 4 + 2 0 0 3.即　 2 0 0 5- 2 0 0 4( 2 0 0 5+ 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 5- 2 0 0 4 ) <2 0 0 4 - 2 0 0 3( 2 0 0 4 + 2 0 0 3) ( 2 0 0 4 - 2 0 0 3) .故 2 0 0 5- 2 0 0 4 <2 0 0 4 - 2 0 0 3.二、已知 36a2 ÷ 6a+ 1=0 ,求 ( 6a) 1 6+ 1( 6a) 1 6的值 .解 :由 36a2 ÷ 6a + 1=0有 6a+ 1=0 .∴ 6a =- 1.∴ ( 6a) 1 6+ 1( 6a) 1 6=( - 1) 1 6+ 1( - 1) 1 6=2 .三、一整数a若不能被 2和 3整除 ,则a2 + 2 3必能…     

一题多解的又一例证

椭圆x23 +y2 =1上的哪个点离直线x +y-4=0最远 ?哪点离它最近 ?该题是有关椭圆与直线位置关系的一个常见题目 ,不难求解 .但仔细分析会发现该题有多种解法 ,现列举五种如下 :首先画出图形 :[法一 ]　设点M(x ,y)是椭圆上的任一点 ,则它到直线x+y - 4=0的距离为 :d=｜x+y- 4｜2= 22 ｜x+y - 4｜ ,而点M(x ,y)在椭圆上 ,所以 :y=± 13 3-x2故 :d=22 ｜x± 13 3-x2 - 4｜ .令e=x± 13 3-x2 ,整理得 :4x2 - 6ex+ 3(e2 - 1 ) =0 .因其判别式必大于零 ,即 :( - 6e) 2 + 4 × 4× 3(e2 - 1 ) ≥ 0 ,解之得 :- 2 ≤e≤ 2 .很明显当e=2时 ,d最小 ;当…     

2000年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题

数学一考生注意 :(1 )本试卷共十三个大题 ,满分 1 0 0分 .(2 )根据国家标准 ,试卷中的正切函数、余切函数、反正切函数、反余切函数分别用tanx,cotx,arctanx和 arccotx表示 .一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分 .)(1 ) ∫10 2 x -x2 dx =. [答 :π4](2 )曲面 x2 2 y2 3 z2 =2 1在点 (1 ,-2 ,2 )的法线方程为 . [答 :x-11 =y 2-4 =z-26](3 )微分方程 xy″ 3 y′=0的通解为 . [答 :y=c1 c2x2 .](4)已知方程组1 2 12 3 a 21 a -2x1x2x3=130无解 ,则 a=. [答 :-1 ](5 )设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 19…     

九年级数学(华东师大版)第一学期期中自测题

A组一、选择题1.下列各式中,正确的是().A.(12)-3=8B.a3÷a2=a5C.a2+a3=a5D.(-2a3)-3=6a-92.若分式x2+x-6x2-4的值等于零,则x的值是().A.2或-3B.3或-2C.2D.-33.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于().A.45°B.90°C.135°D.270°4.将方程2-x2-4x+1=3x+1去分母并化简后,得到的方程是().A.x2-5=0B.x2-3=0C.x2-2x-5=0D.x2-2x-3=05.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足是E.如果AB=10,CD=6,那么AE的长为().A.1B.3C.9D.1或96.若x2-9=0,则x2-5x+6x-3的值为().A.1B.-5C.0D.1或-57.如图,四边形ABCD内…     

Apollonius定理的一个空间形式

设△ A1A2 A3 的三边长分别为 a1,a2 ,a3 ,边 A1A2 上的中线长为 m3 ,则m23 =12 ( a21 a22 ) - 14 a23 . ( 1 )这就是著名的 Apollonius定理 ,由余弦定理 ,易将 ( 1 )变换成m23 =14 ( a21 a22 2 a1a2 cos A3 ) ( 2 )本文将给出关于 ( 2 )的一个十分有趣的空间形式 .定理　在四面体 A1A2 A3 A4 中 ,设 A5是棱 A1A2 的中点 ,S△ A2 A3A4=S1,S△ A1A3A4=S2 ,S△ A3A4A5=M3 4,二面角 A1A3 A4 A2 =3 4,则M23 4=14 ( S21 S22 2 S1S2 cos3 4) ( 3)先介绍两个基本公式 ,其证明参见文 [1] [2 ] .引理 1 [1]　设四面体的底…     

吉林大学高等数学(二)期末试题(附答案)

(工科　 2 0 0 1级学生用 ,2 0 0 2年 7月 5日 )一、填空题 (共 2 4分 ,将答案填在横线上 )1 .设 u=xy,则 u x=　 [yxy- 1　 , u y=　 [xylnx　。2 .曲面 z-ez+2 xy=3在点 ( 1 ,2 ,0 )处的切平面方程为　 [2 x+y-4 =0　。3 .函数 u=ln( x2 +y2 +z2 )在点 M( 1 ,2 ,-1 )处的梯度 gradu|M=　 [26 i+46 j-26 k　。4.设平面曲线 L为下半圆 y =-1 -x2 ,则曲线积分∫L( x2 +y2 ) ds=　 [π　。5.设 f( x)是周期为 2的周期函数 ,它在区间 ( -1 ,1 ]上的定义为f ( x) =2 ,-1 相似文献   

新题征展(62)

A　题组新编1 .已知函数 y =f ( x) ,对于任意实数 x1和 x2 ( x1≠ x2 ) ,均有 f ( x1+ x2 ) =f ( x1) .f ( x2 ) ,且 f( 0 )≠ 0 .( 1 )若 f ( 1 ) =1 ,则 f ( 1 ) + [f( 2 ) ]2 +[f ( 3) ]3 +… + [f( 2 0 0 5) ]2 0 0 5=;( 2 )若 f( 1 ) =3,且 f( 2 )f( 1 ) + f ( 4 )f ( 3) + f ( 6 )f ( 5)+… + f( 2 n)f ( 2 n - 1 ) =2 0 0 7,则 n =;( 3) f ( - 2 0 0 6 ) .f ( - 2 0 0 5) .… .f( - 1 ). f ( 0 ) . f ( 1 ) .… . f ( 2 0 0 6 ) =.2 .在△ ABC中 ,三个顶点的坐标是A( 1 ,1 )、B( 4 ,1 )、C( 3,2 ) ,且动点 P( x,y)在△ ABC内部…     

ON THE BERLINSKII''''S THEOREM FOR CUBIC SYSTEMS

1 IntroductionIn [1]-[31, the Berlinskii's theorem of the distribution of critical pointsfor quadratic differential systems is extended to the general n--th differentialsystems with nZ finite critical points. For cubic systems with 9 critical pointswhich must be all elementary, i.e., saddles or antisaddles, there are possiblysix kinds of distributions of critical points, such as 6 -- 3, 5 -- 4, 5 -- 3 1, 4 4 1, 4 -- 3 2 and 3 -- 3 3. For example, "5 -- 3 1" means that 5 outmostcriti…     

三角形内切圆半径的一个性质

本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理　若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则　 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1]　若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明　如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-…     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...     

第十二届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲、乙组试题(附答案)〔2000年10月14日上午9∶00～11∶30〕

注意 :本试题共九题。甲组九题全做 ,乙组只做前七题。一、填空题 (满分 2 0分 ;限半小时做完 ,于 9∶ 3 0收回 )1 .若 limx→ 0atanx b( 1 -cosx)ln( 1 -2 x) c( 1 -e- x2 ) =2 ,则 a=[-4 .2 .若 2 z x y=0 ,且当 x=0时 ,z=siny;y=0时 ,z=sinx,则 z=[sinx siny.3 . ∞n=0n 1n!=[2 e.4.设幂级数 ∞n=0 an( x 1 ) n 的收敛域为 ( -4 ,2 ) ,则幂级数 ∞n=0 nan( x-3 ) n 的收敛区间为 [( 0 ,6) .5.∫10tdt∫1te(1x) 2 dx =[16( e-1 ) .6.设 y=1 ,y=ex,y=2 ex,y=ex 1π都是某二阶常系数线性微分方程的解 ,则此二阶常系数线性微分方程为 [y…     

双向不等式的一种解法

双向不等式ａ <ｆ(ｘ) <ｂ的求解是解不等式中的常见类型 ,一般解法是转化为不等式组 ｆ(ｘ) >ａｆ(ｘ) <ｂ来解 ,这种解法思路清晰 ,但有时并不简便 ,下面我们介绍一种更为简捷的方法 .解法的理论根据是 :若ａ <ｂ ,则ａ<ｆ(ｘ) <ｂ [ｆ(ｘ) -ａ] [ｆ(ｘ) -ｂ] <0 .例 1　解不等式 -3 <2ｘ -1ｘ + 2 <-2 .析解　原不等式等价于2ｘ -1ｘ + 2 + 3 2ｘ -1ｘ + 2 + 2 <0 ,即　(5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 )(ｘ + 2 ) 2 <0 ,即　 (5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 ) <0 .解之得原不等式的解集为 (-1,-34) .例 2　解不等式ｌｏｇ25ｘ + 2ｘ2 -5 <1.析解　原不等式…     

高三复习代数训练题（二）

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　等差数列 {ａｎ}中 ,已知ａ1∶ａ3 ∶ａ5=1∶3∶5 ,且Ｓ5=4 5 ,则ａ4 等于 (　　 )(Ａ) 12 .　 (Ｂ) 6 35 .　 (Ｃ) 18011.　 (Ｄ) 4.2　若复数ｚ1=1- 3ｉ与ｚ2 =3-ｉ的辐角主值分别为α ,β ,那么α β的值是 (　　 )(Ａ) π2 .　 (Ｂ) 3π2 .　 (Ｃ) 5π2 .　 (Ｄ) 7π2 .3　把正方形的四个顶点 ,四边中点以及中心都用线段连接起来 ,则以这 9个点中的 3个点为顶点的三角形的个数是 (　　 )(Ａ) 5 4 .　 (Ｂ) 76 .　 (Ｃ) 81.　…     

由值域求定义域的问题值得商榷

不少的参考书及杂志上出现了如下的题目 :已知函数 ｙ =4 ｘ- 3·2 ｘ 3的值域为 [1,7],则它的定义域是 (　　 )(Ａ) [- 1,1]∪ [2 ,4 ].　　 (Ｂ) [2 ,4 ].(Ｃ) (-∞ ,0 )∪ [1,2 ]. (Ｄ) (1,2 ) .其所谓的正确解答过程为 :解　由题设得4 ｘ- 3·2 ｘ 3≤ 7,4 ｘ- 3·2 ｘ 3≥ 1 4 ｘ- 3·2 ｘ- 4≤ 04 ｘ- 3·2 ｘ 2≥ 0 - 1≤ 2 ｘ≤ 42 ｘ≥ 2或 2 ｘ≤ 1 - 1≤ 2 ｘ≤ 1或 2≤ 2 ｘ≤ 4 ｘ≤ 0或 1≤ｘ≤ 2 .故函数定义域为 :(-∞ ,0 ]∪ [1,2 ].但我们很容易验证 ,当该函数的定义域为 [1,2 ]时 ,函数的值域也是 [1,7],可见 ,本题…     

A Negative Answer to a Problem of Erds

LetH1andH2begraphsshowninFigUrel(Seealso[2]Figure5(b),FigUIe6(b)).Fori=1,2,letGibethegraPhobtainedbyreplacingtwononadjacentedgesofK4byc0PlesofHinsuchawaythatz1andz2areidentifiedwiththetwoendverticesofeachofthesetw0edges,respectbely(Seealso[2]FigUre5(a),FigUre6(a)).Similarly,letG3bethegraph0btainedbyrePlacingtwononadjacentedgesofK4byH1andH2,respectively.EachofG1,G2andGsisaplanargraphwithfourtriangles.In[1](alsosee[2],Problem7.2),Erd5sproposedthefollowingquesti0n:IfGisan0n-3-coIorab…