巧用定比分点公式证明不等式

对于形如ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果 .具体方法如下 :把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的分点 ,由定比分点公式 :λ= Ｐ1 ＰＰＰ2=ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ.如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1 <ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1 ;当λ不存在时有ｘ =ｘ2 .因此当λ≥ 0时 ,即可证明ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 .下面通过举例加以阐述 .例 1　已知 |ａ| <1,|ｂ| <1.证明 :- 1<ａ ｂ1 ａｂ<1.证　设 - 1,ａ ｂ1 ａｂ,1分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1 …     

用定比分点公式证明一类不等式

分析此题我们通常用判别式法去证．如果设，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比A的值确定问、外分点来证得．证明设P为数轴上点P1（-4）与点P2（1）的分点，则∴λ≥0或λ不存在，∴点P不是P1P2的外分点．用定比分点公式证明一类不等式@刘成文$江西省新干县三湖中学!331303     

运用定比分点坐标公式证不等式

定比分点坐标公式是解析几何最基本的公式之一,其在解析几何题中的应用是相当广泛的,其核心是λ(定比)的确定,若设置得好, 往往能化难为易,更给人以简洁、爽心的美感. 本文给出两例不等式题目运用这一公式的证法,拟将其应用更加发扬光大. 引理要证不等式m≤f≤M,可设数轴上三点A、P、B,其坐标分别为m、f、M,其中M≥m,P点看作是有向线段AB的一个分点,     

定比分点公式应用三部曲

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,它的应用十分广泛 .历年高考试题中 ,不少解析几何试题都可以应用它简捷求解(如 1 999年第 2 4题 ,2 0 0 0年第 2 2题 ) .但是同学们在学习时 ,往往只注意到这个公式的直接应用 ,忽视了它的潜在应用价值 .笔者根据教学实践 ,感到同学们在定比分点公式学习过程中 ,须注意以下几点 .1　领会实质 ,学会直接应用　定比分点公式中涉及到四类量 :起点坐标 ,终点坐标 ,分点坐标和比值λ ,任知其中三类便可求出第四类 .公式中的“三点一比” ,任一点都可视为分点 ,λ的值随着分点的改变而改变 ,定比λ可简…     

定比分点公式的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB所成的比　 APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时 ,λ >0 ;当 P为外分点时 ,λ <0 (λ≠ -1 ) ;当 P与 A重合时 ,λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .如果我们能适时地引导学生运用定比分点公式 ,不仅可以解决解析几何自身的若干问题 ,比如求点的坐标、证明三点共线、求参数范围、求轨迹方程等等 ,而且更重要的是拓宽或推广其它已学过的数学问题 .对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益…     

台体定比分点公式

台体定比分点公式４４８２００湖北省沙洋中学，沙洋师范方银明，刘捷截面问题素来被认为是《立体几何》中的困难问题之一．即使是台体（棱台、圆台）平行于底的截面问题，由于所给的条件不同，其题型也是多种多样的，而且这类题常常计算量大、技巧性强使学生感到十分棘手...     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

巧用定比分点公式解题

定比分点公式是平面解析几何中的重要公式,在解析几何中应用非常广泛．不仅如此,在高中数学的其它章节内容中,若能灵活运用定比分点公式求解,既简洁又新颖,对拓展学生的解题思路不无裨益．     

定比分点的向量公式

有向线段P1P2的定比分点P的坐标公式:P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),并设P1P=λPP2,则有现在我们来考察如果O为平面上一点,那么三个向量OP1,OP,OP2之间有什么关系,这     

定比分点公式的推广

定理1 设P为线段AB上一点,AP/PB=λ,AA_1∥BB_1∥PP_1为一组平行线,截直线l于A_1、B_1、P_1,设AA_1=a,BB_1=b,PP_1=x,则 1)当A_1、B_1在直线AB同侧(或有一点在AB上)时, x=(a λb)/(1 λ) 2)当A_1与B_1在直线AB异侧时, 证明如图连A_1B,交PP_1(或其延长线)于Q,应用相似三角形可算出PQ,QP_1,应用PP_1=PQ±QP_1,注意AP=λ·PB,AB=(1 λ)PB,即得。定理有很多应用,如解析几何中定比分点     

向量的定比分点公式的应用

平面向量是新教材的一个亮点,它应用广泛.向量的定比分点公式结构美观,用它来解决国内外一些数学竞赛题,别有一番风味.本文列举数例,以飨读者.向量的定比分点公式:设O是平面上任意一点,P1→P=λPP→2,则→OP=OP→1+λ.OP→21+λ.推论设O是平面上任意一点,P1→P=t PP→,则→OP=(1-t)OP→+t OP→.     

应用定比分点公式进行坐标转换

应用定比分点公式进行坐标转换６３７４００四川省阆中东风中学张光华定比分点是解析几何中最基本的概念之一，如果我们在进行解几中多点共线问题的教学时，能适时启发和引导学生灵活应用或恰当引入定比，运用定比分点公式进行坐标代换，往往会收到事半功倍之效．１解决与...     

等差数列中的“定比分点公式”及其应用

在等差数列 {ａｎ}中 ,由等差中项的定义有 :ａ2 =ａ1 ａ32 ,ａ3=ａ2 ａ4 2 =ａ1 ａ52 ,若将ａ3=ａ2 ａ4 2 代入ａ2 =ａ1 ａ32 ,可得ａ2 =ａ4 2ａ11 2 ;若将ａ3=ａ1 ａ52 代入ａ2 =ａ1 ａ32 ,可得ａ2 =ａ5 3ａ11 3 ;以此类推 ,则有ａ2 =ａ6 4ａ11 4,…… .这一结果形式酷似解析几何中定分点公式 :ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,由此联想并将其推广 ,则有下面的一般性结论 .命题　设等差数列 {ａｎ}中的三项ａｐ,ａｑ,ａｒ,其中 ｐ ,ｑ ,ｒ互不相等 ,公差为ｄ ,若记λ =ｒ - ｑｑ - ｐ≠ -1,则ａｑ=ａｒ λａｐ1 λ ,这里称其为等差数列中的“定比分…     

定比分点坐标公式的广泛应用

这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式.当且仅当λ>0(或λ<0且λ≠-1)时,分点位于P_1、P_2之间(或之外).当λ≠-1时,或者分点位于(或)延长线的无穷远处,”或者退缩为一点.这两种情形下,分点都不确定,其轨迹为一条直线.利用定比分点坐标公式,并注意以上对λ的讨论,能够推导出较多有用的结论,可简捷地解决较多数学问题.     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

线段定比分点公式的巧用

解析几何中,一条直线与某一线段相交,圆锥曲线与某一线段相交或相离等的位置关系问题,通常用讨论交点的存在范围,列不等式组求结果方法,一般过程都很复杂,解起来也麻烦。今介绍用定比分点求解方法,较之前者,简捷得多,下面举几个例子加     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

定比分点坐标公式教学一得

在解析几何里,有一个定比分点坐标公式,不难发现,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,以及立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题具有很明显的相似之处,在此我们不妨将它们分别定义为定比分点截线问题、定比分线截面问题和定比分面截体问题．