一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

一个平凡不等式的不平凡应用

定理若a,b,c∈R,则a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca,当且仅当a=b=c时等号成立． 证明由a^2＋b^2≥2ab,b^2＋c^2≥2bc,c^2＋a^2≥2ca相加后除以2即得定理中的不等式．     

不等式等号成立条件的探求及应用

纵观有关不等式的证明问题,大致可以分为两大类：如果不等式的条件(若有条件)和结论皆为对称表达式,我们称这样的不等式为对称不等式．如果不等式的条件(若有条件)和结论至少有一个为非对称表达式,我们称这样的不等式为非对称不等式．     

一个不等式的推广及应用

最近文[2]给出了此不等式的一些应用．本文首先给出(2)的一个推广，然后给出推广结果的一些应用．     

均值不等式等号成立条件的巧用

应用均值不等式解题时,巧用其等号成立的条件,常常能使一些问题获得简单解决．     

一个不等式的推广及应用

《数学通报》1998年第 4期问题 112 8( 1)为设 x,y,z都是正数 ,证明x2 y3 z3 ≥ 13 ( x y z) ( x2 y2 z2 ) . 1此不等式对称和谐 ,十分优美 ,其证明方法较多且并不困难 .显然 ,其中等号当且仅当 x=y=z时成立 .本文将对 1式作一些推广 ,并举例说明其简单应用 .首先 ,若从指数进行推广 ,则得定理 1　设 x,y,z∈ R ,n∈ N ,则xn yn zn≥ 13 ( x y z) ( xn-1 yn-1 zn-1 ) 2等号当且仅当 n=1或 x=y=z时成立 .证明　∵　 xn yn =( n-1n xn 1nyn) ( n-1n yn 1nxn)≥ nn xn(n-1 ) ynnn nn yn(n-1 ) xnnn =xn-1 y yn-1 x.即　 xn yn≥ xn…     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

巧用基本不等式等号成立条件解题

基本不等式：√ab≤a＋b/2（其中a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时等号成立．     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

一个不等式的再推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题： 设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn都是非负实数，证明：     

降幂不等式及其应用

一、发现问题 课堂上笔者讲授了这样一道练习：已知x、y、z均是正数,且x＋y＋z=1,求证：x^3＋y^3＋z^3≥1/3,当且仅当x=y=z时等号成立．     

活用均值不等式等号成立条件证难题

怎样证明不等式,大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上,而对不等式的等号成立条件有所忽略．其实,如果注意合理使用不等式的等号成立条件,常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门．     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

一个不等式的指数推广

贵刊文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,λ≥3则aa λb λa b b≥12 λ(1)(见文[1](3)式)本文将把(1)式推广为:定理设a,b>0,n≥2且n∈N,λ≥2n-1则naa λb nbλa b≥n12 λ(2)证明令x1=ab,x2=ba,则x1,x2>0,且x1x2=1,于是(2)式等价于1n1 λx1 n11 λx2≥n12 λ(3)再令t1=n1 λx1,t2=n1 λx2,则t1,t2>0(3)式等价于1t1 t12≥n12 λn1 λ(t1 t2)≥2t1t2(1 λ)(t1 t2)n≥2nt1nt2n(1 λ)(t1n C1nt1n-1t2 C2nt1n-2t22 … Cnn-1t1t2n-1 t2n)≥2n(t1t2)n(1 λ)[2 λ(x1 x2) (C1ntn1-1t2 C2nt1n-2t22 … Cnn-1t1t2n-1]≥2n(t1t2)n(4)因为C1n C2n … C…     

一个不等式的推广

<数学通报>2007年第六期刊出的1696号问题是:已知a,b＞0,且a+6=1,求证: a/a3+b4+b/a4=b3≤16/3. 本文给出这个不等式的推广.     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a1,n2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋62^2＋…＋b1^2）≥（a1b1＋a1b2＋…＋anbn）^2,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

一个不等式的推广、加强及应用

文[1 ] 给出了一个不等式 :2 (n + 1 - 1 ) <∑nk=11k<2n - 1 (n>1 )……(Ⅰ)本文对 (Ⅰ )式进行推广并且给出 (Ⅰ )式的一种加强形式 ,最后指出其应用 .定理 1 :已知 {an}为等差数列且a1 >0 ,公差d >0 ,则 2d(an+1 - a1 ) <∑nk=11ak<2d(an - a1 ) + 1a1.证 :因为a1 >0 ,d>0 ,所以 {an}为严格递增正数列 .因为ak - ak- 1 =dak+ak- 1>d2ak(k≥ 2 ) ,所以 1ak<2d(ak -ak- 1 ) . (A)又因为ak+1 - ak =dak+1 + ak2d(ak+1 -ak) . (B)由 (A)式知 ∑nk =11ak<1a1+ 2d[(a2 -a1 ) + ( a3- a2 ) +… + ( an- an- 1 ) ]=2d(an - a1 )…     

一个加强不等式的推广

文[1]将法国Mohammed Aassila教授提出的不等式