发挥三角代换法在解题中的“桥梁”作用

“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”（美国数学家G·波利亚）．解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程．而“三角代换法”则是实现这种转化的重要手段之一．它的策略思想是：根据题目的结构特征,引进三角代换,利用三角知识解题的一种方法．用这种方法解某些数学题,往往能化繁为简,变难为易,得到简捷合理的解题途径．下面举例说明,供读者参考．     

类比三角公式进行三角代换

寻求解题思路、探测问题结论几乎离不开类比，在数学解题中如能抓住某些问题的外形结构，类比有关的三角公式，通过相应的三角代换，常能使思路豁然开朗，从而使问题简单而完美地解决．1类比平方关系式例1已知m、n、pR ，，n2十n2=p2，求证：分析由条件知，根据此式结构类比平方关系式sin2α＋cos2α=1可进行以下三角代换．证明设m=pcosa，n—pslna，其中例2解方程7三三二十7十二一手．”’””一／了工71十工‘4”分析本题含无理根式，按常规平方解法较繁．根据此题的结构与平方关系式1＋ig’a—see’a类比可进行以下代换．解易知X＜0不是…     

代换法解题

我们发现在许多数学问题的求解中,若从正面入手直接解题,有时会给解题带来繁琐的计算,甚至会使解题思路受阻.但若从宏观上分析问题的结构特征和内在联系,有意识地放宽考察问题的视角,巧妙设元,利用代换的思想方法,则往往思路简捷且解法独到富有新意.下面给出几种代换方法供参考. 1.三角代换 根据题设条件或题目结构特征,将题中字母利用三角函数形式进行代换的方法叫三角代换.     

三角代换并不总是那么可爱

“在数学的很多分支里,都有用三角法解题的实例．利用三角法,会使解题显得简单、明了．”许多作者常常这样写道,并列举许多例子以示之．对于教师而言,三角是“熟悉地带”,那么多的恒等变换公式信手拈来,实在过瘾．不过我们也应该看到,三角代换的本质就是一种换元,用得好就简单,若是牵强使用,即使是把你领到“熟悉地带”,也会拐弯抹角地把你累得气喘嘘嘘．     

正切和角公式的类比应用

在数学解题中,常会碰到形如“(x+y)/(1-xy)”的结构,这时可类比正切的和角公式,进行三角代换,就能使比较隐蔽关系显现出来,从而实现难题巧解.下面举例说明.     

巧用变量代换求解不等式竞赛题

变量代换是一种重要的解题方法,在不等式的证明与求函数最值的竞赛题中,通过分母代换、整体代换、倒数代换、三角代换、增量代换等,可使复杂问题简单化、隐晦特征明朗化,从而找到解题的突破口,下举数例．     

利用三角代换法解竞赛题

在解决有关的竞赛问题时,常借助于题目显现的某些结构特征,引入三角代换,将所给问题转化为含有角的问题,然后运用三角函数的变换和性质进行求解．三角代换法是一种实用有效的解题方法,同时具有技巧性强的特征．     

也谈三角代换在代数中的应用

1982年第11期《数学通报》发表的“三角代换在代数中的应用”一文是从如何进行代换及其应用两方面交织在一起介绍的,比较全面。本文着重谈一下如何进行代换的问题。变量代换法是数学中常用的解题方法,学生比较熟悉。但是,这种代换对于变量来说,是命题中已知条件认可的。即没有改变原变量的允许值范围。否则,会破坏变形的等价性。这一点却往往被学生所忽视。     

代换策略在分式问题中的应用探究

在解数学问题的过程中,把其中某个代数式（或超越式,或函数式）看成一个整体,用一个新变量作代换,从而使问题的解答便于进行,这种方法叫做代换法．代换法既是一种重要的解题方法,也蕴含有丰富的解题技巧,其应用目的是把复杂的结构形式转化为简单的结构形式,把隐含的条件显露出来,把分散的条件联系起来,使问题化难为易,化繁为简,化陌生为熟悉．实际应用时应根据所给问题的特点,灵活选取适当的代换方法,既有利于提高解题能力,也有利于扎实数学学习的基本功．本文通过求解分式最值问题与证明有关分式不等式,介绍代换的策略．     

例谈三角代换在竞赛中的应用

三角函数蕴含着丰富的公式与性质,巧妙地运用这些公式与性质进行变量代换可以顺利地解决许多综合问题．笔者在辅导竞赛中发现,三角代换在很多问题中能够简化题设信息,使隐性条件显性化,从而沟通量与量之间的关系,对发现解题的思路、优化解题的过程起到了积极的推进作用．本文结合实例说明三角代换在求最值、证明不等式、解决数列问题和解方程（组）中的广泛应用,供参考．     

变量代换在解题中的应用

在高中数学的学习中,学生大多采用题海战术,盲目刷题,不注重解题方法,导致在面对复杂抽象的数学题时,很难自主完成,久而久之对数学产生了抵触心理,影响学习效果.变量代换法是一种常见且应用广泛的解题方法,可以简化题目,帮助学生克服恐惧.本文中主要介绍幂函数代换、一元一次函数代换、有理函数代换、数列代换、分式代换、均值代换、三角代换这七种变量代换法在解题中的应用.     

三角代换与三角传接(连堂讲稿)

［复习说明］三角代换是高中数学的常用解题方法之一,究竟是着眼于变量的取值范围作三角代换还是着眼于表达式的结构特征作三角代换呢？在高考复习中教师应该向学生系统回答这一问题．继１９９５年上海市高考理科数学试卷第（２５）题以解几题呈现而解题过程中三角演算约占７０之后,１９９９年全国高考理科数学试卷第（２０）题以复数题呈现而解题过程中三角演算约占９０,这种三角传接（比转接的跨度大）的题型是三角代换题型的拓展,在高考复习中应该引起警觉,注意高考解答题由６个减为５个所关联的试题新动向．本专题复习的重点是…     

一道联赛填空题的研讨

分析从函数解析式的分子√x2＋1而结构出发,联系到三角正切代换x=tanθ,便有三角换元解答方法．     

“1”的几种常用代换

在数学运算中，为了解题方便，我们常将“1”代换成另一种形式．下面结合几个例题谈一下“1”的几种常用代换．     

例说三角代换若干特点

例说三角代换若干特点樊友年（湖北省公安县第一中学４３４３００）三角代换是中学数学一个重要的解题技巧，它涉及的问题类型较多，处理方法灵活．下面举例说明三角代换的若干特点．１．直接对题设条件等式施行三角代换．例１点（ｘ，ｙ）在曲线上变动时，代数式所取到的...     

适当推广延伸 三角代换解题

<正>张景中院士曾在文[1]中提到:"推广是数学研究中极其重要的手段之一,数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上,向未知的领域扩展,从实际的概念及问题推广出各种各样的新概念、新问题."三角代换是证明不等式和求最值(值域)问题中一类重要的方法.本文利用三角代换方法,对两种类型的数学竞赛问题适当推广,由此可以衍生出很多试题.希望能给读者一些启迪,对待各类数学试题要学会多题一解,触类旁通,从而提高做题效率.     

三角换元法的应用

对含有某角的三角函数的偶次幂的三角函数式,通过“换元、降次”,将其转化为代数式来求解,往往使得解题简捷。反过来,有的数学问题,通过三角换元后,化为三角函数式问题来处理,这种方法,叫做三角换元法。三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。现从以下几个方面举例说明。     

整体思想在解题中的运用

对于某些数学问题,若从局部着手,求出“个体”可能比较困难,有时甚至不可能,这时可将注意力和着眼点放在问题的整体上,突出对问题整体结构的分析,发现问题的整体结构特征,把一些看似彼此独立,实质上紧密相连的量作为整体进行处理,从而使问题获解,数学上称之为“整体思想”,整体思想是初中学生必须具备的数学思想方法之一,利用整体思想分析问题往往可以找到最合理、最简捷、最实用的解题方法,起到化难为易,化繁为简的作用,提高了解题效率.     

解题，从结构联想开始

解题是数学教学的主要任务之一,面对一个题目,不同的解题者会产生不同的解题灵感,下手点也各不一样,可谓仁者见仁智者见智．然而,数学的解题过程就是一个化未知为已知的化归过程,所以,解题过程中,每个解题者都在努力地寻找一种相似或一种似曾相识,在这样的寻找过程中就需要“结构联想”,依靠结构联想来指导解题,实现突破．因此,“结构联想”是数学解题的一种重要的思考方向,是实现从知识到能力的转化提升的关键．     

说题—数学课堂素质教育的重要活动

问题是数学的心脏,解题是数学思维的窗口、是数学发展的动力之一、是掌握和应用数学知识的综合反映．波利亚说：“掌握数学意味着什么呢？这就是善于解题…”,他认为解题是一种创造。甚至最简单的题目也有或也应有创造的因素．莱布尼茨也说过,解题是“解”的思维过程,是获得解的发明的过程,勤学的人总是能够探索“解”的内部境界．因此,数学解题是无比重要的活动．在应试教育向素质教育转变的潮流中,在大力提倡创新的时代,