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定理 设a1,a2,…,an∈R^+且a1+a2+…+an=S,k≤0,则有a1^k/S-a1+a2^k/S-a2+…an^k/S-an≥Sn^k-1/(n-1)n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 相似文献
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一个不等式的再证与推广 总被引:3,自引:2,他引:1
已知a>13,b>13,ab=29,求证a b<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知 a1 >14,a2 >14,a3>14;a1 a2 a3=24 3.求证 a1 a2 a3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程x2 -tx 29=0中 ,还可由判别式Δ=t2 - 89≥ 0 ,得到不等式 t=a b≥2 23.当然… 相似文献
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文[1]给出了如下定理及其证明:
定理 设a1,a2,…,an∈R^+,且a1+a2+…+an=s,k∈N,k≥2,则有 相似文献
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吴永锋 《数学的实践与认识》2008,38(19)
利用概率方法给出了形如sum from k=1 to n(1/k)>π/4(sum from k=1 to n((-1)k-1Cnk)1/(k~1/2))与sum from k=1 to n(1/k)<2~(1/2)(sum from k=1 to n((-1)k-1Cnk)1/k2)1/2的组合不等式. 相似文献
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在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若a ,b ,c∈R ,则(a b) (1a 1b)≥ 4 4 (4 ba -4 ab) 2 (1)(a b c) (1a 1b 1c)≥ 9 6 [(6cb -6bc) 2 (6ac -6ca) 2 (6ba -6ab) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ak∈R (k=1,2 ,… ,n) ,则 nk =1 ak nk =11ak≥n2 2n 1≤i <j≤n(2n ajai-2n aiaj) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明n =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1 若ak∈R (k=1,… 相似文献
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设ai≥ 0 ,bi≥ 0 ,ai+bi=1 ,i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 .记Sn =∑ni=1biai+1 ,规定当i>n ,ai =ai-n,当i<1 ,ai =ai+n.文 [1 ]证明了命题 1 Sn ≤ n4sin2 πn图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,A1 A2 …An 是边长为 1的正n边形 ,在AiAi+1 上取Bi,使AiBi =ai,则BiAi+1=bi.显见 ∑ni=1S△BiAi+1 Bi+1 ≤SA1 A2 …An,也就是12 sin(n- 2 )πn ∑ni=1biai+1 ≤ n2 · 14sin2 πn·sin2πn整理即得 (1 ) .在图 1中作正n边形A1 A2 …An 的对角线A1 … 相似文献
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文[1]、[2]给出了其证明,总体感觉证明过程较长且有一定的运算量,下面给出以上问题另外两种证明方法,且从中我们可以得到一些类似而有意思的问题. 相似文献
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文[1]曾提出一个代数不等式:猜想若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则(a+1/b)~(1/2)+(b+1/c)~(1/2)+(c+1/a)~(1/2)≥30~(1/2)①文[2]给出①式的证明,文[3]运用赫尔德不等式将①式加强推广为:定理1若a,b,c为满足a+b+c=1的正 相似文献
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题目设n、b、c为正实数,证明:(2a+b+c)^2/2a^2+(b+c)^2+(2b+a+c)^2/ab^2+(a+c)^2+(2c+a+b)^2/2c^2+(a+b)^2这是第32届美国数学奥林匹克试题,文[1]给出了该问题的一种证明方法,本文再给出另一种证明方法,并把它加以推广. 相似文献
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一个不等式的改进与其"孪生"不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]给出了不等式 .已知a>13 ,b>13 ,ab=29,求证 :a+b <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ai>1n(i =1 ,2 ,… ,n-1 ;n ≥ 3 ) ,∏n - 1i =1ai=2nn- 1,求证 :∑n - 1i =1ai <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1 已知ai>p>0 (i =1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni =1ai≤pn- 1q,(q >p) ,则∑ni =1ai<(n-1 )p +q. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2 已知 0 <ai<p(i=1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni=1ai≤pn- 1… 相似文献
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这是2012年湖北省七市(州)联考的压轴题:已知函数(f)(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.71828…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行. 相似文献
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