一道课本例题的推广及应用

高中《平面解析几何》全一册 (必修 )Ｐ6例 2为 :△ＡＢＣ中 ,ＡＯ是ＢＣ边上的中线 ,求证 :|ＡＢ| 2 |ＡＣ| 2 =2 ( |ＡＯ| 2 |ＯＣ| 2 ) .该结论可作如下推广 .定理 1　在△ＡＢＣ的边ＢＣ上取一点Ｏ ,使 ＢＯＯＣ=λ (λ≥ 0 ) ,则有 |ＡＢ| 2 λ|ＡＣ| 2 =( 1 λ) |ＡＯ| 2 |ＢＯ| 2 λ|ＯＣ| 2 .图 1　定理 1图证　建立如图 1所示的坐标系 ,设Ａ(ａ ,ｂ) ,Ｃ (ｍ ,0 ) ,则Ｂ( -λｍ ,0 ) ,　 |ＡＢ| 2 λ|ＡＣ| 2= (ａ λｍ) 2 ｂ2　 λ(ａ -ｍ) 2 λｂ2=λ2 ｍ2 (ａ2 ｂ2 ｍ2 )λ　 ａ2 ｂ2 .　 ( 1 λ) |ＡＯ| 2 …     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

平面向量

一、选择题1.已知点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上 ,2 |ＢＣ| =|ＡＢ| ,ＢＣ =λＣＡ ,则λ =(　　 )(Ａ) 3.　 (Ｂ) 13.　 (Ｃ) - 3.　 (Ｄ) - 13.2 .已知 |ａ→| =2 ,|ｂ→| =3,|ａ→ -ｂ→| =7,则ａ→ 与ｂ→的夹角为 (　　 )(Ａ) π6 .　 (Ｂ) π3.　 (Ｃ) π4 .　 (Ｄ) π2 .3.非零向量ａ→ 与ｂ→不共线 ,则ａ→ +ｂ→ ⊥ａ→ -ｂ→ 是 |ａ→|=|ｂ→|的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .　 (Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .　　 (Ｄ)不充分也不必要条件 .4 .设ｉ,ｊ是平面直角坐标系内ｘ轴、ｙ轴正方向的两个单位向量 ,且ＡＢ =4ｉ - 2 ｊ,Ａ…     

数学问题解答

20 0 2年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 86　试证明 :有两边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 .(湖北宜昌市十一中学　是海松　443 0 0 3 )证明　设△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边分别记为ａ、ｂ、ｃ和ａ′、ｂ′、ｃ′,三条角平分线分别记为ｔａ、ｔｂ、ｔｃ和ｔａ′、ｔｂ′、ｔｃ′,半周长分别记为ｐ和ｐ′.当有两边及它们的夹角的平分线对应相等时 ,不妨设ｂ=ｂ′,ｃ =ｃ′,ｔａ =ｔａ′.由ｔａ =2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) ,ｔａ′ =2ｂ′+ｃ′ ｂ′ｃ′ｐ′(ｐ′ -ａ′)得 :2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) =2ｂ+ｃ ｂｃｐ…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

椭圆中最值问题错解析因

问题　Ｆ1 、Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 )的左、右焦点 ,过焦点Ｆ1 作弦ＡＢ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,求△ＡＢＦ2 面积的最大值 .错解　由椭圆的定义知|Ｆ1 Ｂ| + |Ｆ2 Ｂ| =2ａ ,|Ｆ1 Ａ| + |Ｆ2 Ａ| =2ａ ,∴　△ＡＢＦ2 的周长 2 ｐ =4ａ ｐ =2ａ .据海伦———秦九韶公式知Ｓ△ＡＢＦ2 =ｐ·( ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ)≤ｐ·( ｐ3 ) 3=3·ｐ29=439ａ2 ,∴　△ＡＢＦ2 的面积的最大值为439ａ2 .剖析　忽视了等号成立的条件 ,ｐ -ａ =ｐ-ｂ =ｐ -ｃ即△ＡＢＦ2 为正三角形时 ,等号取得 .设Ｂ1 是椭圆短轴的一个端点 …     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

活用λ的几何意义

定理　如果Ａ、Ｂ两点的坐标是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,点Ｐ在直线ＡＢ上 ,ＡＰＰＢ =λ(λ≠ -1) ,那么ｘＰ=ｘ1+λｘ21+λ ,ｙＰ=ｙ1+λｙ21+λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时注意“数形结合” ,明确Ｐ在直线ＡＢ上的位置与数λ的相互对应关系 ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .Ｐ在直线ＡＢ上的位置λ的变化情况Ｐ在有向线段ＡＢ内Ｐ为线段ＡＢ中点0 <λ<+∞λ =1Ｐ在有向线段ＡＢ的延长线上 -∞ <λ<- 1Ｐ在有向线段ＢＡ的延长线上 - 1<λ <0　　例 1　解不等式 0 <ｘ2 -5ｘ + 6ｘ2 + 5ｘ …     

定比分点坐标公式引出的另几个结论

文 [1 ]给出了定比分点坐标公式引出的几个结论 ,在各类数学问题中还有许多与此公式相类似的结果 ,笔者进行了一些探索 ,又得到如下几个结论供同行参考 .结论 1　设Ｐ ,Ａ ,Ｂ ,Ｍ是以Ｏ点为圆心 ,Ｒ为半径的圆周上的四个点 ,∠ＰＯＡ =α ,∠ＰＯＢ =β(约定∠ＰＯＡ表示始边ＯＰ绕着Ｏ点旋转到终边ＯＡ所成的角 ,逆时针旋转为正角 ,顺时针旋转为负角 ) .ＡＭ∶ＭＢ =λ ,则　∠ＰＯＭ =α λβ1 λ .图 1　圆证　如图 1 ,设∠ＰＯＡ =α (弧度 )∠ＰＯＢ =β (弧度 ) ,∠ＰＯＭ =ｘ (弧度 ) ,∵λ =ＡＭＭＢ=ＰＭ -ＰＡＰＢ -ＰＭ=ｘＲ …     

对一道习题答案的思考

高中数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )第 10 3页第 7题 :已知向量ａ→ ,ｂ→ ,求作向量ｃ→ ,使得ａ→ +ｂ→ +ｃ→=0 →,表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形吗 ?教参给出的答案是可以构成三角形 ,严格地说 ,答案是错误的 .图 1　辨析用图如图 ,令ＯＡ =ａ→ ,ＡＢ→=ｂ→ ,ＢＯ→ =ｃ→ .此时向量ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 共线 ,虽然满足ａ→ +ｂ→ +ｃ→=ＯＡ +ＡＢ +ＢＯ =0 →,但显然有向线段ＯＡ ,ＡＢ ,ＢＯ不能构成三角形 ,所以答案应该是不一定构成三角形 .那么若表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形 ,图 2　辨析用…     

巧求点分有向线段所成的比

例　过两点Ａ( - 3 ,2 )和Ｂ( 6,1)的直线与直线ｘ 3ｙ - 6=0交于点Ｐ ,求Ｐ分ＡＢ所成的比 .解法 1　 (定义法 )直线ＡＢ的方程为ｙ - 2 =1- 26 3(ｘ 3) ,即ｘ 9ｙ - 15=0 .将其与直线ｘ 3ｙ - 6=0联立可解得　ｘ =32 ,ｙ =32 ,即Ｐ的坐标为 ( 32 ,32 ) .从而λ =ＡＰＰＢ =ｘ 36-ｘ=1.解法 2　 (待定系数法 )设λ =ＡＰＰＢ,点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则有　　　　ｘ =- 3 6λ1 λ ,ｙ =2 λ1 λ.　　∵Ｐ在直线ｘ 3ｙ - 6=0上 ,∴ - 3 6λ1 λ 3·2 λ1 λ- 6=0 ,解得λ =1.图 1　解法 3图解法 3　 (数形结合法 )如右图 ,显然Ｐ为内分点 …     

定比分点坐标公式引出的几个结论

有向线段Ｐ1Ｐ2 的定比分点坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ =ｙ1 λｙ21 λ (λ≠ - 1) ,这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式 .该公式是点分线段得到的 ,若用线段分面 ,用面分体会有什么结论呢 ?笔者就λ >0的情况进行了一些探索得到如下几个结论 .结论 1　梯形上、下底边长分别为ａ ,ｂ ,平行于底边的线段长为ｘ ,此线段把梯形的高自上而下分成ｍ∶ｎ两段 ,记λ =ｍ∶ｎ ,则ｘ =ａ λｂ1 λ .图 1　梯形证　如图 1,设梯形ＡＥＦＤ的高为ｈ ,梯形ＥＢＣＦ的高为ｈ2 ,作ＤＱ∥ＡＢ交ＥＦ ,ＢＣ于点Ｐ ,Ｑ ,作ＦＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ …     

定比分点公式在不等式中的巧妙应用

定比分点公式是解几中非常重要的公式 ,利用它解 (证 )不等式将非常巧妙而有效 ,特介绍如下 :1　解不等式　对于解形如ｘ1 <ｘ <ｘ2 (或 |ｘ| <ａ)的不等式 ,我们是把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,由定比分点公式λ=Ｐ1 ＰＰＰ2 =ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ,因为λ >0 ,所以 ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ>0 ,通过解此不等式可得原不等式的解 ;而对于形如 |ｘ| >ａ的不等式 ,我们同样把-ａ,ｘ ,ａ分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,而此时Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的外分点 ,λ <0即 ｘ ａａ -ｘ<0 ,解此不等式即可…     

数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .若Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,Ｄ是平面内的任意四点 ,对于下列等式 :( 1 )ＡＢ———→ +ＣＤ———→ =ＢＣ———→ +ＤＡ———→( 2 )ＡＣ———→ +ＢＤ———→ =ＢＣ———→ +ＡＤ———→( 3 )ＡＣ———→ -ＢＤ———→ =ＤＣ———→ +ＡＢ———→其中正确的个数是 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 1　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) 32 .已知 :Ｐ1 ( 6,- 3 ) ,Ｐ2 ( - 3 ,8) ,且 |Ｐ1 Ｐ———→ | =2 |ＰＰ2———→| ,点Ｐ在线段Ｐ1 Ｐ2 的延长线上 ,则Ｐ点坐标为(　　 ) .(Ａ) ( - 1 2 ,1 9)　　　 (Ｂ) ( 1 2 ,1 9)(Ｃ) ( - 6,1 1 ) (…     

一道课本复习题的解后探讨

题目　如图1,从椭圆上一点Ｐ向ｘ轴作垂线,图1　题目图恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点Ａ与短轴端点Ｂ的连线平行于ＯＰ,求椭圆的离心率.(高中课本《解析几何》复习参考题二第12题,以下称原题)这是求离心率问题的一个典型例子,故值得我们深入研究,为此,本文先给出几种具有代表性的解法,然后再对它进行探讨.解法1　设椭圆方程为ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0),半焦距为ｃ,由题设知ｘＰ=-ｃ,代入椭圆方程解得ｙＰ=ｂ2ａ.∵ｋＯＰ=ｋＡＢ,∴-ｂ2ａｃ=-ｂａ,∴ｂ=ｃ,∴ａ2=2ｃ2,∴ｅ=22.解法2　∵ｋＯＰ=ｋＡＢ=-ｂａ,∴ＯＰ的方程为…     

巧用定比分点公式证明不等式

对于形如ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果 .具体方法如下 :把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的分点 ,由定比分点公式 :λ= Ｐ1 ＰＰＰ2=ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ.如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1 <ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1 ;当λ不存在时有ｘ =ｘ2 .因此当λ≥ 0时 ,即可证明ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 .下面通过举例加以阐述 .例 1　已知 |ａ| <1,|ｂ| <1.证明 :- 1<ａ ｂ1 ａｂ<1.证　设 - 1,ａ ｂ1 ａｂ,1分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1 …     

一道习题的变式教学

在数学教学中 ,若注重对课本习题进行变式训练 ,不但可以抓好双基 ,而且还可以提高学生的数学能力 .下面是一道课本总复习参考题的变式教学的一点探讨 .题　 (人教版《解析几何》总复习题第 13题 )求曲线ｙ2 =4 - 2ｘ上与原点距离最近的点Ｐ的坐标 .变题 1　在曲线 ｙ2 =4 - 2ｘ上求一点Ｍ ,使此点到Ａ(ａ ,0 )的距离最短 ,并求最短距离 .解　设点Ｍ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则|ＯＰ | =(ｘ -ａ) 2 + ｙ2=(ｘ -ａ) 2 - 2ｘ + 4=(ｘ -ａ - 1) 2 + 3- 2ａ(ｘ≤ 2 ) .若ａ≥ 1,则当ｘ =2时 ,|ＭＡ| ｍｉｎ=|ａ - 2 | ,这时点Ｍ的坐标为 (2 ,0 ) ;若…     

巧用线段的定比分点公式解题

线段的定比分点是指 :Ｐ1Ｐ2 是直线ｌ上的有向线段 ,点Ｐ是直线ｌ上除Ｐ1,Ｐ2 外的任意一点 ,点Ｐ把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成两条有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 ,且两线段的比为 Ｐ1ＰＰＰ2=λ ;若Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ的坐标分别为(ｘ1,ｙ1) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ ,ｙ) ,则λ =ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ或λ =ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ,从而有分点的坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λｙ =ｙ1 λｙ21 λ(λ≠ - 1) .其中当λ >0时 ,Ｐ为内分点 ,特别当λ =1时 ,Ｐ为中点 ;当λ <0时 ,Ｐ为外分点 .巧用线段的定比和分点公式解一些代数题 ,简捷方便 ,快速准确 .请看下面例子 .例 1　如果式子中…     

图象平移

定理 1　点Ｐ(ｘ ,ｙ)按 ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到点(ｘ′ ,ｙ′) ,则 ｘ′ =ｘ +ｈ ,ｙ′ =ｙ +ｋ .(参见高一新教材《数学》第一册下第 12 1页 )定理 1指出了点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,Ｐ′(ｘ′ ,ｙ′) ,ａ→ =(ｈ ,ｋ)三者之间的关系 .例 1　点Ｐ(ｔ2 - 5ｔ + 5 ,ｔ2 +ｔ - 7)按向量ａ→ =(1,- 5 )平移到点Ｐ′(0 ,0 ) ,求ｔ=.解　由定理 1知 0 =ｔ2 - 5ｔ+ 5 + 1,0 =ｔ2 +ｔ- 7- 5 ,解得ｔ=3.定理 2　函数ｙ =ｆ(ｘ)的图象Ｃ按ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到图象Ｃ′ ,则Ｃ′的函数解析式为 ｙ =ｆ(ｘ -ｈ) +ｋ .证　设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为Ｃ上任意一点 ,点Ｐ(…