全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

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题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

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题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

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题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

函数图象变换常见错误剖析

由于函数概念不清 ,导致在处理函数图象变换的问题中出现错误 ,下面列举学生在练习中几种常见错误 ,关剖析错因 .错误 1　函数 ｙ =ｆ( -ｘ ａ)的图象是函数 ｙ=ｆ( -ｘ)的图象沿ｘ轴右移 (ａ <0 )或左移 (ａ >0 )|ａ|个单位而得到 .剖析　函数图象的左右平移的根据是自变量ｘ发生变化情况 ,而错误 1中确定图象变换是根据中间变量 -ｘ的变化而非ｘ的变化 .正确结论为 :ｙ =ｆ( -ｘ ａ) =ｆ[- (ｘ -ａ) ]的图象是 ｙ =ｆ[- (ｘ) ]的图象沿ｘ轴左移 (ａ <0 )或右移 (ａ >0 ) |ａ|个单位而得到 .错误 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ -ａ)的图象与函数ｙ =…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

一道最值习题的推广及应用

习题　设 0 <ｘ <13 ,求 ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ)的最大值 .分析 :将ｘ2 分解为ｘ·ｘ后 ,其和不等于3ｘ ,不满足最值定理的条件 ,所以要对ｘ的系数进行“配系”为32 ,从而使问题得解 .解　∵ 0 <ｘ <13 ,∴ 1 - 3ｘ >0 ,∴ ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ) =49[3ｘ2 ·3ｘ2 ·(1 -3ｘ) ]≤ 493ｘ2 3ｘ2 (1 - 3ｘ)33=42 43 ,当且仅当3ｘ2 =1 - 3ｘ即ｘ =29时 ,ｙｍａｘ=42 43 .将此问题推广到一般情况 ,得命题 1　若 0 <ｘ <ｍ ｌｎ,则函数 ｙ =ａｘｋｍ(ｌ -ｎｘｍ) ｐ (ｋ ,ｌ,ｍ ,ｎ ,ｐ∈Ｎ ,ａ∈Ｒ )当且仅当ｘ =ｍ ｋｌｎ(ｐ ｋ) 时有最大值ａ ｋｐｎ…     

两道数学高考题答案的几何解释

题 1　 ( 2 0 0 2年全国统一高考 (理科 )第2 1题 )设ａ为实数 ,函数ｆ(ｘ) =ｘ2 + |ｘ -ａ|+ 1 ,ｘ∈Ｒ .1 )讨论函数 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )求 ｆ(ｘ)的最小值 .评析　第 1 )问 (答案略 ) ;第 2 )问答案是 :当ａ≤ - 12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34-ａ ;当 - 12 <ａ <12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =ａ2 + 1 ;当ａ≥12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34+ａ .下面给出该答案的几何解释 :设 ｇ(ｘ) =ｘ2 + 1 ,ｈ(ｘ) =- |ｘ -ａ| ,那么 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) -ｈ(ｘ) ,ｙ =ｇ(ｘ)的图象是开口向上的抛物线 ,ｙ =ｈ(ｘ)的图象是从点Ａ(ａ ,0 )发出的两条射线 (以下简称“角形线”) …     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

抛物线的切线与割弦的关系

结论 1　设 ｆ(ｘ ,ｙ) =ｘ2 - ｙ ,过抛物线ｆ(ｘ ,ｙ) =0外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )作抛物线的切线 ,设Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ′0 )是切点 ,则有以下关系 :ＰＭ2 =ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) ( 1 +ｋ20 ) ,其中ｋ0 是Ｍ点处的切线斜率 ,在数值上有ｋ0 =2ｘ0 ′=2 (ｘ0 ±ｘ20 - ｙ0 ) .图 1　结论 1用图证　设切点为Ｍ (ｘ0 ′,ｙ0 ′) ,设切线方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,由ｙ- ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,ｙ =ｘ2 ,消去 ｙ得ｘ2 -ｋｘ +ｋｘ0 - ｙ0 =0 ,Δ =ｋ2 - 4(ｋｘ0 - ｙ0 ) =0 ,(ｋ - 2ｘ0 ) 2 =4ｘ20 - 4ｙ0 ,∴ｋ =2ｘ0 ± 2ｘ20 - ｙ0 ,∵Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ0 ′)…     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …     

争鸣

问　题问题 2 7　设函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｘ2 -ａｘ +1 )的值域为Ｒ ,求实数ａ的取值范围 .观点 1　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,因ｆ(ｘ)的值域为Ｒ ,故只须ｕ(ｘ) >0恒成立 .即　ｘ2 -ａｘ +1 >0恒成立 .∴　Δ =ａ2 - 4 <0 ,∴　 - 2 <ａ <2 .观点 2　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,要使ｆ(ｘ) 的值域为Ｒ ,只需ｕ(ｘ)的值域包含 (0 ,+∞ ) ,∴　Δ =ａ2 - 4≥ 0 ,∴　ａ≤ - 2或ａ≥ 2 .观点 1是否正确 ?有无合理性成份 ,对观点 2同学们的疑问是Δ≥ 0怎能保证ｕ(ｘ)≥ 0 ?这是一道流传十分广泛的题目 ,怎样给学生一个满意的解答 ,敬请大家积极讨…     

从两道试题谈条件功能的挖掘

问题 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ -2ｘ 2 (ａ >0 ,ａ≠ 1) .1)求 ｆ(ｘ) 的定义域 ,并判定ｆ(ｘ) 在定义域内的单调性 ;2 )若ｘ∈ [ｍ ,ｎ] (ｎ >ｍ )时 ,ｆ(ｘ) 的值域为 [1 ｌｏｇａ(ｎ -1) ,1 ｌｏｇａ(ｍ -1) ] ,求ｍ和ａ的取值范围 .分析 :1)定义域为 (-∞ ,-2 )∪ (2 , ∞ ) ;当ａ∈ (0 ,1)时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递减 ;当ａ∈ (1, ∞ )时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递增 .2 )先由条件中的对数表达式ｌｏｇａ(ｍ -1)和ｌｏｇａ(ｎ -1)有意义知ｍ >1,ｎ >1,又由[ｍ ,ｎ] (-∞ ,-2 )∪…     

一道错题的辨析

在高三复习中 ,我们遇到了下面一道题目 :设奇函数 ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,且 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,当ｘ∈ (4,6 )时 ,ｆ(ｘ) =2 ｘ+ 1,则 ｆ(ｘ)在区间 (- 2 ,0 )上的表达式是 (　　 )(Ａ) ｙ =2 ｘ+ 4 . (Ｂ) ｙ =1- 2 4 -ｘ.(Ｃ) ｙ =- 2 ｘ- 1. (Ｄ) ｙ =- 2 4 -ｘ- 1.同学们得到两种答案 ,现介绍如下 .解法 1　由 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,得 ｆ(ｘ) =ｆ(2-ｘ) .又由 ｆ(ｘ)是奇函数知 ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) ,∴ｆ(2 +ｘ) =ｆ(-ｘ) =- ｆ(ｘ) (1)ｆ(4+ｘ) =ｆ(ｘ) (2 )当ｘ∈ (- 2 ,0 )时 ,6 +ｘ∈ (4,6 ) ,∴ｆ(6 +ｘ) =2 6 +ｘ+ 1.又由 (1) ,(2…     

上期课外练习解答

高一年级1 .∵　 11 0 1 +1 0 01 0 1 =1 ,又ｆ(11 0 1 ) +ｆ(1 0 01 0 1 ) =1 ,∴　ｆ(11 0 1 ) +ｆ(21 0 1 ) +… +ｆ(1 0 01 0 1 ) =5 0 .2 .任取ｘ1、ｘ2 ∈ (-∞ ,ａ)且ｘ1<ｘ2 ,则 -ｘ1>-ｘ2 >-ａ 2ａ -ｘ1>2ａｘ -ｘ2 >ａ .∵　ｙ =ｆ(ｘ)在 (ａ ,+∞ )上是减函数 ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) <ｆ(2ａ -ｘ2 ) .又∵　ｘ∈Ｒ都有ｆ(ａ +ｘ) =ｆ(ａ -ｘ) ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) =ｆ[ａ +(ａ1-ｘ1) ]=ｆ[ａ -(ａ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) ,同理得ｆ(2ａ -ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｙ=ｆ(ｘ)在 (-∞ ,ａ)上是增函数 .3 .若ｘ∈ [-1 ,1 ]…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

两曲线的交点与Δ≥0的关系

首先我们先看下面一道习题及同学们给出的三种解法 .题目　设集合Ａ ={ (ｘ ,ｙ) | ｙ =ｘ2 } ,Ｂ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ2 + (ｙ -ｍ) 2 =1} ,若Ａ∩Ｂ≠ ,试求ｍ的取值范围 .[错解 1]　 (判别式法 )由 ｙ =ｘ2 ,ｘ2 + (ｙ -ｍ) 2 =1,消去ｘ得　　ｙ2 + (1- 2ｍ) ｙ +ｍ2 - 1=0 (1)∵Ａ∩Ｂ≠ ,∴方程 (1)有解 ,∴Δ≥ 0 ,解得ｍ≤ 54.[错解 2 ]　 (韦达定理法 )由上得方程 (1) ,又由已知得 ｙ =ｘ2 ≥ 0 ,故方程 (1)有零根或正根 .当 ｙ =0时 ,ｍ =± 1;当ｙ >0时 ,由韦达定理得Δ≥ 0 ,- 1- 2ｍ2 >0 ,ｍ2 - 1>0 ,解得 1<ｍ≤ 54,综合得 1≤ｍ…