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评第36届IMO第2题孙哲(沈阳市于洪区供销合作社联合社110141)1995年第36届IMO由俄罗斯提供的第2题是:设a,b,c为正实数,月.满足abc=1,试证:1.此题是一道陈题的变形.事实上,由abc=1.得a2b2c2=1,代人m得显然不等... 相似文献
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第 4 1届 (2 0 0 0年 )国际数学奥林匹克试题第 2题是 :设a ,b ,c是满足abc=1的正数 ,证明 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1(1)我们猜测 ,该题是以 1983年瑞士数学奥林匹克试题第 2题为背景编制的 :设a ,b ,c是正数 ,证明 :abc≥ (b c-a) (c a -b) (a b -c) (2 )事实上 ,将 (2 )式变形 ,可得(ba - 1 ca) (ac - 1 bc) (cb - 1 ab)≤ 1,于上式 ,令 ba =a′ ,ac =b′ ,cb =c′,则a′ ,b′ ,c′为满足a′b′c′ =1的正数 ,并成立(a′ - 1 1b′) (b′ - 1 1c′) (c′ - 1 1… 相似文献
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不等式的证明存在着寻找入口难,条件运用难,确定变形方向难等问题,本文从一道IMO试题证明入手,从多方向考虑,探求其一般的思路,使学生能举一反三. 相似文献
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1 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数x ,y ,使得x2 615=2 y ( 1)解 对于非负整数k ,2 2k 1=4 k·2≡ ( - 1) k·2≡ 2或 3(mod 5) ,又∵x2 ≡ 0或 1或 4 (mod 5) ,∴ y必须是偶数 .令 y =2z ,代入 ( 1)得( 2 z-x) ( 2 z x) =615=3× 5× 4 1∴ 2 z x =6152 z-x =1( 2 ) 或 2 z x =2 0 52 z-x =3 ( 3) 或 2 z x =12 32 z-x =5( 4 ) 或 2 z x =4 12 z-x =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 z=64,∴z =6,x =59,… 相似文献
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31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答 总被引:3,自引:0,他引:3
1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)… 相似文献
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第41届IMO第6题设AH1,BH2,CH3是锐角△ABC的三条高线,△ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别切于T1,T2,T3.设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3,H3H1,H1H2关于直线T2,T3,T3T1,T1T2的对称直线,证明:l1,l2,l3所确定的三角形,其顶点都在△ABC的内切圆上.本文提供一种解析几何证法 相似文献
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题 求证 :3(1 a2 a4 )≥ (1 a a2 ) 2 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )P37复习参考题六B组的第 5题 .经探讨发现 ,该题有多种证法 ,并且可进一步推广 ,这对开阔学生的解题思路 ,培养学生思维的灵活性和深刻性 ,具有较高的教学价值 .今提供如下 ,以供大家品味 .证法 1 (分析法 )注意到(1 a a2 ) 2 =1 a2 a4 2a 2a2 2a3 .要证原不等式成立 ,即证3(1 a2 a4 )≥ 1 a2 a4 2a 2a2 2a3 ,也即证 2 (1 a4 -a -a3 )≥ 0 ,只须证 (1-a) (1-a3 )≥… 相似文献
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2003年第64届普特兰数学竞赛A2题:设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn都是非负实数,证明:(a1a2…an)1n (b1b2…bn)1n≤[(a1 b1)(a2 b2)…(an bn)]1n.对该试题的证明本文不做探讨,以下研究该不等式题的推广及其应用.推广如果x1i,x2i,…,xmi,(i=1,2,…n)为非负实数,则:(x11x12…x1n)1n ( 相似文献
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IMO42-2的推广的简证 总被引:8,自引:0,他引:8
第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数a ,b ,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若a、b、c∈R+,λ≥ 8,则aa2 +λbc+bb2 +λca+cc2 +λab≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明aa2 +8bc ≥ a43a43 +b43 +c43(3 )(3… 相似文献
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第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k… 相似文献
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作为一名高中生,通过数学竞赛,我把数学作为一项运动来享受,通过解答巧妙设计的数学趣味题和寻找好的“窍门”来开启其中的奥秘。 相似文献