On the representation of measurable functions by martingales

Пусть (gW, ?,P) - вероятност ное пространство, ?₁??₂?...?? _n ?...,? _n ?? -последовательност ь σ-алгебр и ?_∞ - порожден ная ими минимальная σ-алгебра. В статье указано необ ходимое и достаточно е условие на последовательность σ-алгебр {? _n }, при выполнении кото рого для любой ?_∞-измер имой функцииf(x) существует ряд \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) центрированных отн осительно {? _n } функций {? _n } _n=1 ^∞ такой, что

1. \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) абсолютно почти вс юду сходится кf(x) на множестве {x: ¦f(x)¦<+∞};
2. \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) сходится по мере кf(x) на множестве {х: ¦f(х)¦=+∞ }.

Полученные результа ты представляют обоб щения и усиления доказанных ранее теорем Р. Ганди и Г. Ламба о пре дставлении ?_∞-измерим ых функций мартингалам и {? _n ,? _n } (см. [1] и [2]).     

Moment multipliers for power series

По определению после довательность {μ _n пр инадлежит классуG _s , если звезда М иттагЛеффлера произвольного степе нного ряда (1) $$\mathop \sum \limits_0^\infty a_n z^n , \mathop {lim sup}\limits_{n \to \infty } \left| {a_n } \right|^{1/n}< \infty $$ , совпадает со звёздам и Миттаг-Леффлера сте пенных рядов $$\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n a_n z^n ,\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n^{ - 1} a_n z^n $$ . В работе установлены следующие утвержден ия Теорема 1.Для произво льной последователь ности ? _n с условиями $$0< \varphi _n< 1,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n = 0,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n^{1/n} = 1$$ существует неубываю щая функция χ(t) такая, ч то моменты \(\mu _n = \int\limits_0^1 {t^n d\chi (t)} \) удовлетворяют условию 0<μ_nn звезда М иттаг-Леффлера любог о ряда (1) совпадает со звездой МиттагЛеффлера степенных рядов . Теорема 2. Для произвол ьной неотрицательно й последовательности {а_n} с условием {a _n } и для любой последов ательности {?_n} для к оторой 0n<1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n = 0\) сущест вуютπ={π _n }∈G _s и последовательнос ть {п_i} такие, что a_nμ_n≦1 (n≧n₀), \(a_{n_i } \mu _{\mu _i } \geqq exp( - \varepsilon _{n_i } )\) (i=1, 2, ...) и при эmom звезда Миттаг-Леффлера ряда (1) совпа дает со звездой Миттаг- Леффлера степенных р ядов .     

Rademacher Inequalities with Applications

For symmetric operators B _i (B _i = ^d ?B _i ) and positive operators $A_{i}\succeq\tilde{A}_{i}$ , we compare moments of $\|B_{1}A_{1}^{p}+\cdots+B_{n}A_{n}^{p}\|$ and $\|B_{1}\tilde{A}_{1}^{p}+\cdots +B_{n}\tilde{A}_{n}^{p}\|$ .     

On averages of Fourier coefficients of Maass cusp forms

Let φ be a primitive Maass cusp form and t _φ (n) be its nth Fourier coefficient at the cusp infinity. In this short note, we are interested in the estimation of the sums ${\sum_{n \leq x}t_{\varphi}(n)}$ and ${\sum_{n \leq x}t_{\varphi}(n^2)}$ . We are able to improve the previous results by showing that for any ${\varepsilon > 0}$ $$\sum_{n \leq x}t_{\varphi}(n) \ll\, _{\varphi, \varepsilon} x^{\frac{1027}{2827} + \varepsilon} \quad {and}\quad\sum_{n \leq x}t_{\varphi}(n^2) \ll\,_{\varphi, \varepsilon} x^{\frac{489}{861} + \varepsilon}.$$      

Lacunary subsets of orthonormal sets

В РАБОтЕ РАссМАтРИВА УтсьS _Р-пОДсИстЕМы О. Н.с. В ЧАстНОстИ, ДОкАжыВА Етсь слЕДУУЩАь тЕОРЕ МА, кОтОРАь НЕУсИльЕМА. тЕОРЕМА.пУсть Р>2 —ЧЕ тНОЕ ЧИслО, δ — пРОИжВО льНОЕ ЧИслО, 0<δ≦p?2,Φ= {Φ _n(x)} _n=1 ^N —O.H.C.,x?[0,1],пРИЧЕМ ∥ Φ _n∥_p≦M, n=1,2,...,N, гДЕР=Р+δ, 0М<∞. тОгДА Иж сИстЕМы Ф МОж НО ВыБРАть пОДсИстЕМ У \(\Phi ' = \left\{ {\varphi _{n_k } } \right\}_{k = 1}^{N'} ,N' \geqq N^{\alpha (\delta )} ,\alpha (\delta ) = \frac{{2\delta }}{{p(p - 2 + \delta )}}\) , тАкУУ, ЧтО Дль лУБОгО п ОлИНОМА \(P(x) = \sum\limits_{k = 1}^{N'} {a_k \varphi _{n_k } (x)} \) ИМЕЕ т МЕстО ОцЕНкА $$(\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} \leqq \left\| P \right\|_p \leqq c_{p,M,\delta } (\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} $$ (c _p, m, δ — пОстОьННАь, жАВИ сьЩАь тОлькО Отp, M, δ, НО НЕ От N ИлИ кОЁФФИцИЕНтОВ пО лИ-НОМА). пРИВОДьтсь И ДРУгИЕ РЕжУльтАты А НАлОгИЧНОгО хАРАктЕ РА.     

Some approximation theorems for modified Bernstein-Durrmeyer operators

The modified Bernstein-Durrmeyer operators discussed in this paper are given byM_nf≡M_n(f,x)=(n+2)P_(n,k)∫_0~1p_n+1.k(t)f(t)dt,whereWe will show,for 0<α<1 and 1≤p≤∞     

An asymptotically optimal maximal inequality

Доказывается следую щая теорема Пусть φ(t) — неубывающая па [0,+∞] непрерывная сле ва функция, φ(0)=0.Пусть дале е \(\Phi (t) = \mathop \smallint \limits_0^t \varphi (s) ds u \mathop {sup}\limits_{t > 0} \frac{{t\varphi (t)}}{{\Phi (t)}}< \infty \) .Если X ₁ Х ₂, ... —такая последовательность случайных величин, что $$E\left( {\Phi \left( {\left| {\mathop \sum \limits_{i = m + 1}^{m + n} X_i } \right|} \right)} \right) \leqq g^\alpha (F_{m, n} ) (m \geqq 0, n \geqq 1)$$ , где α>1, а g(F_m,n) — некоторый функционал, зависящи й от совместного распред еления X_i и удовлетворяющий ус ловиям $$g(F_{m, n} ) + g(F_{m + k, n} ) \leqq g(F_{m, n + k} ) (m \geqq 0, n \geqq 1, k \geqq 1)$$ ,k ≧1), moсправедливы оценки $$E\left( {\Phi \left( {\mathop {\max }\limits_{1 \leqq k \leqq n} \left| {\mathop \sum \limits_{i = m + 1}^{m + n} X_i } \right|} \right)} \right) = Kg^\alpha (F_{m, n} ) (m \geqq 0, n \geqq 1)$$ ,где множитель К конеч ен и не зависит от т. п.     

Subalgebras of free products of algebras of the variety\mathfrak{u}_{m,n}

The variety \(\mathfrak{u}_{m,n} \) is defined by the system of n-ary operations ω_i,..., ω_m, the system of m-ary operations ?_i,..., ?_n, 1≤ m ≤ n, and the system of identities $$\begin{gathered} x_1 ...x_n \omega _1 ...x_1 ...x_n \omega _m \varphi _i = x_i (i = 1,...,n), \hfill \\ x_1 ...x_m \varphi _1 ...x_1 ...x_m \varphi _n \omega _j = x_j (i = 1,...,m), \hfill \\ \end{gathered} $$ It is proved in this paper that the subalgebra U of the free product \(\Pi _{i \in I}^* A_i \) of the algebras A_i (i ε I) can be expanded as the free product of nonempty intersections U ∩ A_i (i ε I) and a free algebra.     

Optimal methods for the approximate calculation of functional on classesW r L ∞

Пусть T_n(f)={L₁(f), ..., L_n(f)} — набор линейных функционал ов, заданных на простран стве \(C_{(r - 1)} (\parallel f\parallel _{C_{(r - 1)} } = \mathop {\max }\limits_{0 \leqq i \leqq r - 1} \parallel f^{(i)} \parallel _C );A_{n,r}\) — множество всех так их наборов функцио налов; С_{2n, 2} — множество всех н аборов из 2n функциона лов вида $$T_{2n} (f) = \{ f(x_1 ), \ldots ,f(x_n ),f'(x_1 ), \ldots ,f'(x_n )\}$$ и s: Е_n→Е₁. Доказано, что е слиW _∞ ^r множество всех 2π-периодических функ цийfεW∞0, 2π_r, то приr=1,2,3,... ирε(1, ∞) и $$\begin{gathered} \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in A_{2n,r} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \varphi _{n,r} \parallel _p \hfill \\ \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in C_{2n,2} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \parallel \varphi _{n,r} \parallel _\infty - \varphi _{n,r} \parallel _p , \hfill \\ \end{gathered}$$ где ?_n,r —r-й периодичес кий интеграл, в средне м равный нулю на периоде, от фун кции ?_n, 0t=sign sinnt. При этом указан ы оптимальные методы приближенного вычис ления.     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

ОБ ИНтЕРпОлИРОВАНИИ В кОМплЕксНОИ ОБлАст И

LetD be a simply connected domain, the boundary of which is a closed Jordan curveγ; \(\mathfrak{M} = \left\{ {z_{k, n} } \right\}\) , 0≦k≦n; n=1, 2, 3, ..., a matrix of interpolation knots, \(\mathfrak{M} \subset \Gamma ; A_c \left( {\bar D} \right)\) the space of the functions that are analytic inD and continuous on \(\bar D; \left\{ {L_n \left( {\mathfrak{M}; f, z} \right)} \right\}\) the sequence of the Lagrange interpolation polynomials. We say that a matrix \(\mathfrak{M}\) satisfies condition (B _m ), \(\mathfrak{M}\) ∈(B _m ), if for some positive integerm there exist a setB _m containingm points and a sequencen _{p p=1} ^∞ of integers such that the series \(\mathop \Sigma \limits_{p = 1}^\infty \frac{1}{{n_p }}\) diverges and for all pairsn _i ,n _j ∈{n _p } _p=1 ^∞ the set \(\left( {\bigcap\limits_{k = 0}^{n_i } {z_{k, n_i } } } \right)\bigcap {\left( {\bigcup\limits_{k = 0}^{n_j } {z_{k, n_j } } } \right)} \) is contained inB _m . The main result reads as follows. {Let D=z: ¦z¦ \(\Gamma = \partial \bar D\) and let the matrix \(\mathfrak{M} \subset \Gamma \) satisfy condition (B_m). Then there exists a function \(f \in A_c \left( {\bar D} \right)\) such that the relation $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left| {L_n \left( {\mathfrak{M}, f, z} \right)} \right| = \infty $$ holds almost everywhere on γ.     

Об операторе Кальдерона

The Calderon type operator $$Sx(t) = \int\limits_0^\infty {x(s)d\mathop {\min }\limits_{i = 0,1} \{ \varphi _i (s)/\Psi _\iota (t)\} } $$ is investigated from the point of view of its bounded action in symmetric spaces of measurable functions on [0, ∞), whereφ _i(t) andΨ _i(t) are concave positive functions on [0, ∞). The following assertions are proved. Theorem 1. Let 1) \(\alpha _{\varphi _1 } > \beta (E) \geqq \alpha (E) > \beta _{\varphi _0 } ,\) , 2)either \(\beta _{\psi _0 }< 1\) or \(\beta _{\psi 1}< 1\) ,where \(\alpha _{\varphi _1 } \) and \(\beta _{\psi _1 } \) denote exponents of the functions φ _i and Ψ_i, i=0, 1,and α(E),β(E) are indices of the space E. Then the Calderon operator acts boundedly from E into E _δ,where δ(t) and χ(t) stand for measurable solutions of the equations $$\psi _i (\delta (t)) = \chi (t)\varphi _i (t),i = 0,1,$$ and $$||x||_{E_{\delta ,\chi } } = ||x^{**} (\delta (t))\chi (t)||_E .$$ Theorem 2.If the ratio φ ₀/φ(t)/φ₁(t) is non-increasing, Ψ_i(t) are semimultiplicative and \(\alpha _{\psi _i } \) (i=0, 1),then a necessary condition for the Calderon operator to act boundedly from E into E _{δ, χ} $$\beta _{\varphi _1 } \geqq \beta (E) \geqq \alpha (E) \geqq \alpha _{\varphi _0 } .$$      

Best L 1 Approximation of Truncated Functions,Whitney-Type and Borh–Favard-Type Inequalities

We present upper and lower estimates for the best constant C _n such that, if \({f \in W^{n+1}_1}\) [?1, 1], then $$E_n(f)_1 \leqq C_n||\varphi^{n+1}f^{(n+1)}||_1,$$ where \({\varphi(x) =\sqrt{1 - x^2}}\) . For the proof we first find out the polynomials of the best L ¹[?1, 1] approximation of some truncated functions.     

Eigenvalue comparisons for second order difference equations with periodic and antiperiodic boundary conditions

We consider a class of boundary value problems of the second order difference equation $$\Delta(r_{i-1}\Delta y_{i-1})-b_{i}y_{i}+\lambda a_{i}y_{i}=0,\quad 1\le i\le n,\ y_{0}=\alpha y_{n},\ y_{n+1}=\alpha y_{1}.$$ The class of problems considered includes those with antiperiodic, Dirichlet, and periodic boundary conditions. We focus on the structure of eigenvalues of this class of problems and comparisons of all eigenvalues as the coefficients {a _i } _i=1 ⁿ ,{b _i } _i=1 ⁿ , and {r _i } _i=0 ⁿ change.     

The uniqueness of the element of best mean approximation to a continuous function using splines with fixed nodes

Suppose that on the Interval [a, b] the nodes $$a = x_0< x_1< \ldots< x_m< x_{m + 1} = b$$ are given and the functions u₀(t)=ω₀(t) $$u_i (t) = \omega _0 (t)\smallint _0^t \omega _1 (\varepsilon _1 )d\varepsilon _1 \ldots \smallint _a^{\varepsilon _{\iota - 1} } \omega _1 (\varepsilon _1 )d\varepsilon _\iota ,\varepsilon _0 = t(i = 1,2, \ldots ,n)$$ where the functions ω_i(t)> 0 have continuous (n?i)-th derivatives (i=0, 1, ..., n). S_n,m will designate the subspace of functions that have continuous (n?1)-st derivatives on [a, b] and coincide on each of the intervals [x_j, x_j+1] (j=0, 1, ..., m) with some polynomial from the system {u_i(t)} _i=0 ⁿ .THEOREM. For every continuous function on [a, b] there exists in S_n,m a unique element of best mean approximation.