三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

切点三角形的性质初探

文[1]证明了关于三角形面积的一个有趣性质: 若△ABC的内切圆切各边于点D、E、F,且△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.则切点△DEF[2]面积.     

切点三角形

如图1,☉O1和☉O2外切于点A,BC是☉O1和☉O2的外公切线,B、C为切点,△ABC叫做“切点三角形”(见初中几何课本第三册第129页例4)．对这一基本几何图形进行深入挖掘,可以得到如下重要的性质:     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

小议切点三角形

(九年义务教育)人教版初三《几何》课本P129例4中,⊙O1、⊙O2外切于A,BC是⊙O1、⊙O2的外公切线,B、C是切点,求证:AB⊥AC.(如图1) 我们仔细看一下△ABC:它实际上是由两圆相外切的切点A,外公切线与两圆相切的切点B、C三个切点连线围成的.因此,把它称为     

三角形的一个性质

性质 已知△ABC及其内部一点P，若λ1 PA^→λ2 PB^→＋λ3 PC^→=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3。     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，引起了笔者的注意，文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线，那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢？经证明，答案是肯定的。     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

三角形内切圆的一个性质

命题1设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,6,c,内心为O,内切圆半径为r,射线AO交内切圆于P,Q两点,(如图1所示)．     

三角形垂心的一个性质

文 [1 ]用解析法发现了三角形外心的一个性质 ,用此法还不难发现三角形垂心的如下性质 :定理　若点 D在△ ABC的边 AB上 ,且∠ CDB =α,O为 C在 AB边所在直线上的射影 H1、H2 、H分别为△ ADC、△ DBC、△ ABC的垂心 ,则( 1 ) | H1H2 | =| AB| . | cotα| ;( 2 ) | H1H | =| OA| . | cot B cotα| ;( 3) | H2 H | =| OB| . | cot A - cotα| .证明　 ( 1 )建如图 1所示的平面直角坐标系 ,设 A( a,0 ) ,D( d,0 ) ,B( b,0 ) ,C( 0 ,c) .过 D点且与 AC垂直的直线方程为y =ac( x - d) .令　 x =0 ,可得y =- adc,故　 H1( 0…     

三角形垂心的一个性质

定理 若给定锐角△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

锐角三角形的一个性质

命题:锐角三角形中,任意一个内角的正弦(或正切)大于其他两个内角的余弦(或余切)。证明设锐角三角形的三个内角为A、B、C。因为三角形内角都为锐角,所以有A B>90°A>90°-BsinA>sin(90°-B)sinA>CosB。同理sinA>cosC。(类似可证tgA>ctgB,tgA>ctgC)这个性质虽很简单,但熟悉它后对解题带     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

三角形外心的一个性质

定理 若点 Ｄ在△ＡＢＣ的边 ＡＢ上,且∠ＣＤＢ＝α,Ｍ１、Ｍ２、Ｍ 分别 为 △ＡＤＣ、△ＤＢＣ、△ＡＢＣ的外心则 证明（１）建如图１所示的平面直角坐标系．设Ａ（α,０）,Ｄ（ｄ,０）,Ｂ（ｂ,０）,Ｃ（０,ｃ）,则线段ＡＤ、ＤＢＪＢ的垂直平分线方程分别 易得线段ＡＣ书Ｃ的垂直平分线方程分 ０ＭＩ和ＯＭ;的连心线ＭＩＭＺ垂直平分其公共弦ＣＤ．三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700