Investigation of the deformation and the stability of geometrically nonlinear beams

Summary The deformation and the stability of a geometrically nonlinear cantilever beam is investigated by using the concept of the deformation map, see Shilkrut [1,2]. The beam is loaded by two forces, a bending moment at its free end and a uniformly distributed load acting normally along the undeformed axis. The equilibrium differential equations for the above mentioned problem were derived by Reissner [3]. In order to create a deformation map, it is necessary to convert the boundary value problem into an initial value problem. Then the fourth order Runge-Kutta (R. K.) method can be used to solve numerically the system of equilibrium equations for the cantilever beam. The aim of this paper is to present new results for the above mentioned problem.

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Verformung und Stabilität von Balken unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität

Übersicht Verformung und Stabilität eines Kragbalkens unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität werden mit Hilfe des deformation map-Konzeptes (Shilkrut [1, 2]) untersucht. Der Balken wird an seinem freien Ende durch ein Biegemoment und zwei Einzelkräfte sowie durch eine gleichmäßig verteilte senkrechte Last entlang der unverformten Achse belastet. Die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Problem wurden von Reissner [3] formuliert. Für die Definition einer deformation map ist die Umformung des Randwertproblems in ein Anfangswertproblem erforderlich. Das Runge-Kutta-(R. K.-) Verfahren vierter Ordnung kann dann zur numerischen Lösung des Systems der Gleichgewichts-bedingungen herangezogen werden. Ziel dieser Veröffentlichung ist es, neue Resultate für das erwähnte Problem vorzustellen.

     

Zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen einer geometrisch nichtlinearen Flächentragwerkstheorie

Übersicht Es wird ein numerisches Lösungsverfahren zur Integration von Systemen nichtlinearer, partieller Differentialgleichungen für eine Theorie geometrisch nichtlinearer, schubelastischer Flächentragwerke vorgestellt. Der Algorithmus ist in die Gruppe der inkrementellen und iterativen Verfahren einzuordnen. Zur Diskretisierung wird ein Mehrstellenverfahren verwendet. Die wichtige Frage der Überwindung von Singularitäten wird umfassend beantwortet. Schließlich kann die Leistungsfähigkeit der Methode bei der numerischen Behandlung von Aufgaben aus der Stabilitätstheorie und der nichtlinearen Spannungstheorie demonstriert werden.

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Summary A numerical method is presented for the purpose of integrating a system of simultaneous non-linear partial differential equations describing a geometrically nonlinear shell theory including shear deformation. The algorithm can be classified as an incremental and iterative procedure. The discretization is based on the Hermitean method. Particular attention is given to those techniques allowing to pass an extremum point of a load-displacement-curve. Finally the efficiency of the presented method is demonstrated by solving problems of the nonlinear theory of elastic stability.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann zur Vollendung seines 60. Lebensjahres gewidmet     

Geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames

Summary Field equations for the geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames comprising such bars are presented. Formulation originates from Continuum Solid Mechanics, allowing for exact expressions of axial deformation and curvature to be accounted for and unrestricted finite displacements to be considered within accepted assumptions regarding slenderness. Equilibrium equations are derived in terms of the curvature and displacements, in the form of second order nonlinear polynomial differential equations, governing the nonlinear behavior of the single bar. These equations combined with joint force and compatibility equations yield a system representing the nonlinear behavior of a complete plane frame.

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Übersicht Es werden Feldgleichungen für das geometrisch nichtlineare Verhalten von vorgekrümmten ebenen schlanken Balken sowie von Rahmen aus derartigen Balken abgeleitet. Mit Hilfe der in der Kontinuumsmechanik fester Körper gebräuchlichen Formulierungen lassen sich exakte Ausdrücke für die achsiale Verformung und Krümmung sowie für unbeschränkte Verschiebungen finden. Dabei müssen gewisse Annahmen in bezug auf die Schlankheit vorausgesetzt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen werden durch Krümmung und Verschiebung ausgedrückt, durch eine Polynom-Differentialgleichung zweiter Ordnung wird das nichtlineare Verhalten des einzelnen Balkens beschrieben. Diese Gleichungen bestimmen zusammen mit den Kraft- und Verträglichkeits-Bedingungen das nichtlineare Verhalten des gesamten ebenen Rahmens.

     

Finite axisymmetric deformation of shells of revolution with application to flexural buckling of circular plates

Summary A new theory is presented for shells of revolution undergoing axisymmetric arbitrarily large strain deformations. The material of the shell is assumed to be hyperelastic incompressible. The formulated theory is applied to analyse the flexural buckling of circular plates under uniform radial loads.

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Endliche achsensymmetrische Verformung von Rotationsschalen mit Anwendung auf das Beulen von Kreisplatten

Übersicht Eine neue Theorie zur Berechnung achsensymmetrischer Verformungen von Rotationsschalen unter Berücksichtigung beliebig großer Dehnungen wird angegeben. Das Material der Schale wird hyperelastisch und inkompressibel angenommen. Die Theorie wird zur Berechnung des Beulens von Kreisplatten unter gleichmäßiger Radialbelastung angewandt.

     

Geometrically nonlinear elastic toroidal shells with open profiles—stability analysis and a design concept

Summary The paper deals with the stability and some aspects of optimal design with respect to stability of geometrically nonlinear, elastic toroidal shells with open profiles. Shells rotationally symmetric in the narrower sense (toroidal segments) as well as in the broader sense (toroidal shell-arches), subjected to external pressure or to a combined loading (pressure and overall bending), are considered. The influence of the pressure distribution on its critical value as well as the post-buckling behaviour are discussed for the toroidal segments with various boundary conditions. The instability modes of the shell-arches for linear trajectories of the combined loading are also analysed. A double step parametrical optimization consisting of a midsurface design (1st step) and a design with respect to the thickness of the wall (2nd step) is performed for a toroidal segment. Constant distance between the supports and constant area of the meridional cross-section are applied as the constraints, respectively

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Geometrisch nichtlineare, elastische toroidale Schalen mit offenem Profil—Stabilitätsanalyse und ein Konzept der Gestaltung

Übersicht Die Stabilität und einige Aspekte der Optimierung in Hinblick auf die kritische Belastung, von geometrisch nichtlinearen, elastischen Toroidalschalen mit offenem Profil werden untersucht. Sowohl die rotationssymmetrischen Schalen im engeren Sinn (Toroidalsegmente) als auch im weiteren Sinn (toroidale Schalenbogen), unter Außendruck oder Außendruck und globaler biegung werden analysiert. Der Zusammenhang zwischen der Außendruck verteilung und dem kritischen Wert des Druckes, aber auch das nachkritische Verhalten werden für die Toroidalsegmente untersucht. Für lineare Trajektorien der komplexen Belastung lassen sich die Formen der Instabilität der toroidalen Schalenbogen ermitteln. Das Konzept der einfachen., zweistufigen, parametrischen Optimierung, derer Bestandteile die Mittelflächengestaltung (erste Stufe) und die optimale Wanddickeauslegung (zweite Stufe) bilden, wird entwickelt, Konstanter Abstand zwischen den Stützen und konstante Fläche des meridionalen Querschnitts bilden die entsprechenden geometrischen Beschränkungen.

     

Nonlinear sway-buckling of an eccentrically loaded frame of two timoshenko-bars

Summary A variational method for investigating the nonlinear lateral stability is applied to a rectangular, geometrically perfect, two-bar frame which is loaded eccentrically to the center line of one of the bars. The frame loses its stability through a limit point. The individual, and primarily the coupling effects on the nonlinear sway-buckling load are fully assessed for a variety of parameters such as transverse shear deformation, cross-sectional shape, loading eccentricity, slenderness ratio and moment of inertia ratio of the two bars. The conclusions presented herein give a better insight into the actual response of the frame.

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Übersicht In dieser Arbeit wird ein Variationsverfahren für die Untersuchung der nichtlinearen Stabilität eines rechteckigen, geometrisch perfekten, Zwei-Stab-Rahmens vorgestellt, der exzentrisch bezüglich eines der Stäbe belastet ist. Der Rahmen verliert Scine Stabilität bei einer Grenzlast. Der Einfluß einzelner, vor allem aber die Wirkung von kombiniert auftretenden Parametern — wie Querkraftbiegung, Querschnittsform, Lastexzentrizität, Schlankheitsgrad und Trägheitsmoment der Stäbe — auf die nichtlineare Knicklast werden untersucht. Die in dieser Arbeit mitgeteilten Ergebnisse lassen das wirkliche Verhalten des Rahmens gut erkennen.

     

Effect of shear on stability and nonlinear behavior of a rotating rod

Summary The nonlinear equations describing in-plane deformation of a rotating elastic rod, taking into account shear effect, are derived. It is shown that the critical rotation speed is determined from the linearized equation. The nonlinear equilibrium equations are solved numerically and the effect of shear on maximal deflection is studied.

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Der Einfluß der Schubspannungen auf die Stabilität und das nichtlineare Verhalten einer rotierenden Welle

Übersicht Die nichtlinearen Differentialgleichungen für die ebene Verformung einer rotierenden elastischen Welle mit Schubspannungseinfluß auf die Biegelinie wird hergeleitet. Wir zeigen, daß die kritische Rotationsgeschwindigkeit aus den linearen Gleichgewichtsbedingungen folgt. Die nichtlinearen Gleichungen werden numerisch gelöst und der Schubspannungseinfluß auf die Durchbiegung wird untersucht.

     

Effect of foundation nonlinearity on the nonlinear transient response of orthotropic shallow spherical shells

Summary Interaction of clamped orthotropic shallow spherical shells with nonlinear elastic foundations is studied under transient loads. The effect of softening and hardening foundation nonlinearities on the response behaviour of shallow shells has been investigated. Detailed analysis depicting the influence of hardening type foundation nonlinearity on the maximum response of orthotropic shallow spherical shells has been conducted. The numerical results suggest that for the shell-foundation interaction problems undergoing moderately large deformations, the nonlinear model for the foundation must be considered.

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Einfluß der Bettungsnichtlinearität auf die nichtlineare transiente Antwort von orthotropen, leicht gekrümmten Schalen

übersicht Es wird die Wechselwirkung eingespannter orthotroper, leicht gekrümmter Schalen mit nichtnichtlinearer elastischer Bettung unter transienter Belastung behandelt. Dabei wird der Einfluß der erweichenden und der verfestigenden Nichtlinearität der Bettung auf das Antwortverhalten der schwach gekrümmten Schalen untersucht. Speziell wird der Einfluß der verfestigenden Bettungsnichtlinearität auf extreme Antwortverhalten von orthotropen, schwach sphärischen Schalen im einzelnen analysiert. Die numerischen Ergebnisse machen deutlich, daß bei Wechselwirkungsproblemen von Schale und Bettung mit mäßig großen Deformationen das nichtlineare Modell der Einbettung betrachtet werden muß.

     

Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

Bifurcation analysis for sand samples with a non-linear constitutive equation

Summary A thoroughly non-linear constitutive equation connecting stress-rates and strain-rates is shown to yield realistic predictions for the conditions at which bifurcation may appear in the course of axisymmetric and plane homogeneous deformations of sand samples. The features of the non-homogeneous deformation after the bifurcation are also realistically predicted, a fact which is of importance in understanding and describing rupture phenomena (formation of shear bands) in geomechanics.

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Übersicht In dieser Arbeit wird gezeigt, daß eine nichtlineare Beziehung zwischen der Spannungsrate und der Deformationsgeschwindigkeit realistische Voraussagen für Verzweigungen liefert, die sich im Verlauf von achsensymmetrischer und ebener Verformung von Sandproben einstellen können. Die Geometrie der inhomogenen Verformung, die sich nach der Verzweigung einstellt, kann ebenfalls realistisch vorausgesagt werden. Diese Tatsache ist von Bedeutung für das Verständnis und die Beschreibung von Brucherscheinungen (Bildung von Scherfugen u. ä.) in der Geomechanik.

     

A nonlinear theory for sandwich shells including the wrinkling phenomenon

Summary This paper presents (on the base of the classical and some additional sandwich assumptions) a geometrically nonlinear theory for sandwich shells with seven kinematic degrees of freedom which is capable to describe the global as well as the local (load singularities, wrinkling) structural behaviour. For the kinematic specification a position vector is used to describe a point of the geometrical middle surface and a corresponding director (no unit vector) as well as a further scalar degree of freedom which could be explained as the linear part of the transversal strain. According to the definition of Green-Lagrangian strains and second Piola-Kirchhoff stress resultants, the nonlinear field equation of force equilibrium with pertinent boundary conditions will be gained from the principal of virtual work. Finally, the equation according to the first order theory for plane structures will be mentioned as a simple special case.

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Eine nichtlineare Theorie für Sandwichschalen unter Einbeziehung des Knitterphänomens

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird unter Zugrundelegung der klassischen und zusätzlicher Sandwichannahmen eine geometrisch nichtlineare Theorie für Sandwichschalen mit sieben kinematischen Freiheitsgraden vorgestellt, die sowohl das globale als auch das lokale (Lasteinleitungen, Knittern) Tragverhalten beschreibt. Die kinematische Beschreibung erfolgt durch einen Ortsvektor zur geometrischen Mittelfläche und einen zugehörigen Direktor (kein Einsvektor) sowie einen weiteren skalaren Freiheitsgrad, der sich als Linearanteil der Dickenverzerrung deuten läßt. Nach der Definition von Greenschen Verzerrungen und zweiten Piola-Kirchhoff-Schnittlasttensoren werden aus dem Prinzip der virtuellen Arbeiten die nichtlinearen Kraftgleichgewichtsbedingungen samt zugehöriger Randaussagen gewonnen. Abschließend werden als einfacher Spezialfall die Gleichungen nach der Theorie erster Ordnung für ebene Tragwerke angegeben.

     

Zur Struktur konsistenter inkrementeller Theorien für geometrisch nichtlineare Flächentragwerke und deren Operatordarstellung

Übersicht Unter Verwendung der Operatordarstellung wird zunächst die Struktur konsistenter inkrementeller Theorien erörtert, welche eine einheitliche Behandlung der geometrisch nichtlinearen Probleme sowie der dynamischen Instabilitätsphänomene allgemeiner Flächentragwerke gestatten. Basierend auf den Eigenschaften adjungierter Operatoren wird sodann unter Berücksichtigung von Schubverzerrungen eine inkrementelle Theorie für elastische Schalen hergeleitet, deren Struktur durch einen variationstheoretisch definierten kinematischen Operator beschrieben wird. Die Basis der Herleitung bildet das Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

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The structure of consistent incremental theories for geometrically nonlinear shells and their operator formulation

Summary Using an operator formulation, this paper deals with the characteristics of consistent stability and incremental theories for geometrically nonlinear shells under dynamic loads. It is first shown that a single, variationally defined kinematic operator governs the structure of consistent theories. The rules obtained for consistent operators are then applied to derive the basic equations and boundary conditions of an incremental theory, including shear deformations. The equations presented can be used for an uniform treatment of geometrically nonlinear problems and dynamic instability phenomena of arbitrary shells.

     

A contribution to the Kryloff-Bogoliuboff theory in nonlinear mechanics

Summary An extension of the Kryloff-Bogoliuboff method in the theory of nonlinear oscillation has been developed.The method is intended primarily for the resonant analysis of systems exhibiting transient as well as steady motion, and describes subharmonic and superharmonic responses in complete generality.The method is applied to the equation describing the motion of a harmonically driven nonlinear oscillator. Higher approximation is obtained and the stability of the solution has been examined. The results of this method, when compared with exact solutions, show that this technique affords a more workable means for studying the responses of the nonlinear system harmonic forces.

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Übersicht Es wird eine Erweiterung für die von Kryloff und Bogoliuboff angegebene Methode der Theorie nichtlinearer Schwingungen beschrieben. Das Verfahren ist vorwiegend für die Resonanzanalyse bei stationären oder instationären Bewegungen geeignet. Subharmonische und superharmonische Bewegungen lassen sich in voller Allgemeinheit damit berechnen.Das Verfahren wird am Beispiel einer Gleichung demonstriert, die die Bewegungen eines harmonisch erregten nichtlinearen Schwingers beschreibt. Höhere Näherungen werden abgeleitet, und die Stabilität der Lösungen wird untersucht. Ein Vergleich mit exakten Lösungen zeigt, daß das angegebene Verfahren gut brauchbar für die Berechnung der Bewegungen nichtlinearer Systeme mit harmonischen Erregungen ist.

     

The stability of a fluid-filled top rotating on a horizontal plane

Summary The stability of a fluid-filled top rotating on a rough horizontal plane about the erect axis is discussed and a stability criterion in analytical form is obtained. A sufficient condition of stability for a fluid-filled Chaplygin sphere is proved by using Lyapunov's direct method, and a more satisfactory explanation to Kelvin's question considering the influence of gravity and sliding friction is given. The fluid-filled Lagrange gyro is discussed as a special case when the plane is absolutely smooth.

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Stabilität eines flüssigkeitsgefüllten Kreisels auf horizontaler Unterlage

Übersich Für einen flüssigkeitsgefüllten Kreisel auf einer rauhen, horizontalen Unterlage wird die Stabilität um die Hochachse erörtert und ein Stabilitätskriterium in analytischer Form gewonnen. Mit Hilfe von Ljapunovs direkter Methode wird eine hinreichende Stabilitätsbedingung für eine flüssigkeitsgefüllte Chaplyginsche Kugel bewiesen und eine befriedigende Erklärung zu Kelvins Frage über den Einfluß von Schwerkraft und Gleitreibung gegeben. Der Lagrangesche Kreisel wird als Sonderfall mit glatter Unterlage behandelt.

     

Dynamic carrying capacity of elasto-visco-plastic cylindrical shells

Summary We consider axially-compressed thin cylindrical shells, which deform elasto-visco-plastically under high intensity external impulsive loading and in which volume damage can occur. The shell carrying capacity is determined in accordance with deformation, stability and strength criteria. Our purpose is introducing special dimensionless parameters, to obtain the relation between the geometrical sizes and the material characteristics of the shell-on one hand and the dynamic impulse parameters (amplitude and duration) on the other, when the shells lose their carrying capacity.

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Dynamische Tragfähigkeiten von elasto-visko-plastischen zylindrischen Schalen

Übersicht Untersucht werden dünne zylindrische Schalen unter Einwirkung eines dynamischen axialen Druckes. Die Schalen weisen elastische und visko-plastische Verformungen sowie Schädigung auf. Die Tragfähigkeit wird durch die Verformung, die Festigkeit und die Stabilität bestimmt. Unser Ziel ist es, durch Einführung von speziellen dimensionslosen Parametern die Abhängigkeit zwischen den geometrischen Abmessungen und den Materialcharakteristiken einerseits und den Beanspruchungsparametern der dynamischen Belastung (Amplitude und Dauer der Pulsbelastung) andererseits beim Versagen der Schalen festzustellen.

     

Strainhardening effects in shakedown processes

Summary The paper presents a method of stability analysis of shakedown processes taking into account non-linear geometrical effects as well as any non-linear strainhardening rule. The numerical analysis of plane frames performed in the paper shows different influences of isotropic and kinematic hardening and allows to distinguish three types of shakedown processes: monotonous, alternated and mixed ones.

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Verfestigungseffekte bei EinspielvorgÄngen

übersicht Vorgestellt wird die Methode und eine entsprechende numerische Prozedur der StabilitÄtsanalyse des Einspielvorgangs, die geometrisch nichtlineare Effekte und beliebige Formen der Verfestigung berücksichtigt. Die numerischen Ergebnisse illustrieren die Unterschiede zwischen den Einflüssen der isotropen und kinematischen Verfestigung und zeigen, da\ man drei Sorten von Shakedown-Prozessen unterscheiden kann: den monotonen, den alternierenden und den gemischten.

     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

The effects of material nonlinearity and compressibility in the buckling of nonlinear elastic systems

Summary The stability and post-buckling response of simple perfect and imperfect systems made of nonlinear elastic material are thoroughly discussed. The perfect systems correspond to the three types of bifurcation points, i.e. stable symmetric, unstable symmetric and asymmetric. Material-dependent stability conditions are properly established. It is found that the mechanism of buckling of perfect systems associated with a stable symmetric bifurcation point may become unstable depending on the value of the material nonlinearity parameter. Moreover, it is established that the effect of compressibility on the buckling load may be considerable in case of imperfect systems which in their ideal state are associated with an asymmetric bifurcation point.

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Die effekte von nichtlinearem stoffverhalten und kompressibilität beim knicken elastischer systeme

Übersicht Diskutiert wird die Stabilität und das Nachknickverhalten einfacher nichtlinear-elastischer Systeme mit und ohne Imperfektionen. Die perfekten Systeme gehören zu den drei Arten von Verzweigungspunkten, nämlich stabile und instabile symmetrische sowie unsymmetrische Verzweigung. Theoretisch strenge, materialabhängige Stabilitätsbedingungen werden eingeführt. Es zeigt sich, daß der Knickmechanismus eines perfekten Systems, der mit einer stabilen symmetrischen Verzweigung verknüpft ist, möglicherweise in Abhängigkeit von der Nichtlinearität des Stoffverhaltens instabil wird. Darüber hinaus stellt man fest, daß der Einfluß der Kompressibilität auf die Knicklast erheblich sein kann bei Systemen mit Imperfektion, die im perfekten Zustand eine einsymmetrische Verzweigung zeigen.

     

Dimensioning of fins with general nonlinear cooling laws

An analytic treatment of rectangular and triangular fins is given, the cooling laws are polynoms of the fin temperature. Closed formulas could be found for the fin temperature, for the dissipated heat flux and for the optimization of the fin dimensions with respect to the mass. The usefulness of the relations in fin application and in heat transfer research is discussed. The used quasilinearization technique outlined in the paper may be of interest for other nonlinear heat transfer problems.

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Zusammenfassung Es wird der Fall betrachtet, daß an der Oberfläche von Kühlrippen ein nichtlinearer Wärmeaustausch stattfindet, der durch ein Polynom der Rippentemperatur beschrieben wird. Durch Anwendung der Quasilinearisierungsmethode erhält man geschlossene Formeln für die Temperaturverläufe und die Wärmeströme in Rechteck- und Dreiecksrippen und für ihre massenoptimale Dimensionierung. Die Beziehungen werden zur Untersuchung nichtlinearer Wärmeübertragungsverhältnisse und in der Raumfahrt- und Reaktortechnologie verwendet. Die Quasilinearisierungstechnik läßt sich auch für andere nichtlineare Probleme verwenden.

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Dedicated to Prof. Dr. U. Grigull, Munich, to his 60th birthday.

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Best thanks to Mr. Prof. Dr. H. Ruppe, Space technology department of the Technische Universität München, Germany, for revision of the paper.