由祖暅公理推导椭圆的面积公式

祖暅是祖冲之之子,南北朝时期的数学家和天文学家,他曾提出“夫叠蓁成立积,缘幂势既同,则积不容异”这一公理,也即“等高处截面积都相等的两个立体,必有相等的体积”．祖暅利用这一公理导出了半径为r的球的体积公式V=4/3πr3．     

祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

祖暅原理——中华文化的瑰宝

<正>"幂势既同,则积不容异."这里的"幂"是面积,"势"是高.即界于两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平行的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.上述原理在我国被称为祖暅原理.在西方,直到17世纪,才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现.于     

应用祖暅原理推导球缺体积

<正>在高中立体几何的学习过程中,我们开始与一些含有曲面的几何体打交道,但是由于掌握微积分的水平有限,尤其是在高二阶段,还未接触过微积分知识,所以求解曲面几何的体积问题就会无下手.有些公式虽然可以在学习过微积分入门后推导出来,但是微积分的光辉总还是让我们十分敬畏的.笔者认为,一些含曲面的立体的体积也可以利用祖暅原理进行求     

妙用祖暅原理求几何体的体积

祖日恒原理是我国古代人民对数学的伟大贡献之一 ,利用祖日恒原理时体现出来的创新精神、实践能力是当前素质教育所大力提倡的 .因此祖日恒原理在培养学生的创新精神、实践能力方面提供了很好的素材 ,我们应该加以挖掘、充分利用 .为了利用祖日恒原理计算某个几何体的体积 ,常要构造一个几何体 ,此几何体必须符合两个条件 :①它的计算公式是已知的 ;②它符合祖日恒原理的条件 ,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间 ,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时 ,截得的截面面积总相等 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高中数学联赛 )由曲…     

例析祖暅原理在解题中的应用

<正>文[1]详细介绍了我国古代的优秀数学文化之一——祖暅原理.祖暅原理是指"幂势既同,则积不容异"."幂"是截面积,"势"是几何体的高,意思是,如果两个等高的几何体在等高处截得的截面面积恒相等,那么这两个几何体的体积一定相等.显然,要想利用祖暅原理,重点是构造一个几何体与所求的几何体在等高处截得的截面面积恒相等.本文结合近几年的高     

用祖暅原理求平面图形面积的探索

我们知道：能用初等方法求出面积的平面图形有圆与多边形（可分割成三角形来求）,除此以外就屈指可数了．本文与同学们一起探索用祖暅 原理求平面图形的面积,直到推导出椭圆的面积公式,一起来吧,其乐无穷。     

在“祖暅原理”的教学中进行爱国主义教育

如何在课堂教学中,在传授知识和技能的同时,进行思想教育,达到教书育人的目的.这是在当前教学改革中,值得探讨的问题.下面谈谈我在“祖(日恒)原理”的教学中,进行爱国主义教育的作法和体会。一、引入新课“我们伟大的祖国,是世界文明古国之一.古代数学有着极其光辉的成就.早在公元五世纪,祖冲之的儿子祖(日恒)就在实践的基础上,总结出研究几何体体积的祖(日恒)原理,并用它巧妙而简明地推导出球的体积公式.经过一     

应用祖暅原理求圆锥曲线绕轴旋转所得旋转体的体积

在立体几何里,我们曾应用祖暅原理成功地导出了球的体积公式.球可以看作是圆绕它的任一对称轴旋转所得的旋转体.而圆是圆锥曲线的一种,那么,能否应用祖暅原理求出其它三种圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)绕轴旋     

体积计算方法的剖析——从祖暅原理到三重积分

结合实例,对祖暅原理、定积分、二重积分和三重积分这四种计算立体体积方法的具体计算过程进行了梳理,以求展示这四种方法之间的内在联系及其适用范围.     

地铁之祖——英国

经过几十个小时的飞行,我终于来到了英国。英国是个历史悠久的国家,有不少世界闻名的文化遗产,让人赞叹的自然风光,还有神秘的尼斯湖水怪!真想走个遍啊。     

超拟阵的独立集公理、基公理和圈公理

Dunstan等在1972年首先提出了超拟阵的概念,用以将定义拟阵的承载集合从有限集推广到偏序集.Barnabei等在1998年研究了另一种偏序集上的拟阵结构,即偏序集拟阵.由有限分配格和有限偏序集之间的对应关系可知,偏序集拟阵就是分配格上的超拟阵.本文研究超拟阵的公理系统,建立模格上的超拟阵的独立元公理,证明模格上超拟阵的中间基性质和基的交换性质并用这两个性质分别刻画了模超拟阵.最后指出了Barnabei等给出的分配超拟阵圈公理中的一个错误,重新提出并证明分配超拟阵的圈消去性质并建立了分配超拟阵的圈公理.作为圈消去性质的一个应用,本文证明了分配超拟阵中覆盖基的元素包含唯一的圈.     

公理信息论

本文阐述了公理信息论的产生 ,并且给出公理信息论的公理系统     

平行公理是一条平面几何公理

《中学生数学》2 0 0 1年 1 0月上期所发表的《用定义证明直线和平面平行的判定定理》是误解、误用平行公理之一例 .为了便于说明 ,先将该文证法照抄如下 :图 1已知 :直线ａ 平面α ,直线ｂ α ,ａ∥ｂ(如图 1 ) ,求证 :ａ∥α .证明　设点Ｐ是平面α内的任意一点 ,则Ｐ∈ｂ或Ｐ ｂ .若Ｐ∈ｂ ,由ａ∥ｂ ,知Ｐ ａ ;若Ｐ ｂ ,仍有Ｐ ａ .不然 ,则Ｐ∈ａ .在α内过Ｐ作直线ｃ∥ｂ ,又ａ∥ｂ ,根据过直线外一点有且只有一条直线与之平行 ,可知ａ、ｃ应为同一条直线 .从而ａ α ,与已知ａ α相矛盾 .因此 ,Ｐ ａ .综上 ,α内任意一点Ｐ…     

GeoGebra软件在数学教学中应用探索——以《祖暅原理及其应用》的设计为例

GeoGebra软件的应用可以利用计算机的动态变化特征,帮助学生在“变化”中发现“不变”的几何本质.基于此,本研究以祖暅原理及其应用设计为例,利用GeoGebra引导学生建构立体几何的直观模型,探索并发现新的结论.     

關於祖暅和他的綴術

祖暅是祖冲之(429-500)的兒子,他和他的父親一樣,也是一位博學多才的科學家,他的生卒年代無可查考,在梁朝初年(公元504年和509年)他兩次建議修改曆法。提出他父親所創造的大明曆術,說可以糾正何承天元嘉曆術的疏遠,当时的政府,經過太史令等賞測審查之後,於公元510年起,用祖冲之術推算日曆,(隋書律曆志)他鈔集古天官及圖纬舊說,撰天文錄30卷,漏則經1卷。(隋書天文志,經籍志)公元514年祖暅服務治淮工作。516年秋天,因新築成的攔水壩被洪水冲坍,有罪,受過徒刑。(梁書卷13康絢傳)公元525年,他在豫章王蕭綜幕府,蕭綜投奔北魏他被魏方     

关于公理方法

在目前深入开展对资产阶级学术思想的大批判中,提出了公理方法问题,这的确是一个重要问题.如何评价公理方法在数学中的作用和地位?正确地解决这个问题不仅对数学学科的发展,而且对数学教学的改革具有重要意义.本文的目的是对这个问题提出一些初步的讨论意见.一、公理方法在数学中的作用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学.数学知识是从社会实践中来的.人们在实践中得到的数学知识,开始是一些感性材料.这类感性材料积累多了,就需要整理、加工,把它系统化,形成理论系统.公理方法是从数学经验资料的加工、整理和系统化     

eO-代数簇公理

扩张Ockham代数簇$e{\bf O}$是由所有$(L;\wedge,\vee, f, k,0,1)$所组成的代数类,其中$(L;\wedge,\vee,0,1)$是有界分配格, $f$是$L$上的偶同态, $k$是$L$ 是$L$上的同态且满足条件: $fk=kf$. 在本文中,我们把Urquhart定理推广到$e{\bf O}$-代数类,并特别考虑$e{\bf O}$-代数的子代数类 $e_2{\bf M}$.在子代数类$e_2{\bf M}$中, $f$和$k$满足条件: $f^{2}=id_L$及$k^{2}=id_L$. 我们证明: 在子代数类$e_2{\bf M}$中,有19个非等价公理.同时我们给出其蕴含关系的表达图式.     

行列式理论的公理构成

1 引言设F是域,M是域F上的n阶方阵,矩阵M的n阶行列式是由M所唯一确定的域F中的一个元素。通常给出的行列式定义是经所给矩阵的元素表出的n!项代数和,见[1]第一章。也有用数学归纳法依对行的展开来定义的,见[2]第二章。本文是讨论行列式理论的公理构成。库洛什著高等代数教程(第六版,柯召译)曾讨论了行列式理论的公理构成,并给出如下公理化定义: