"关于四边形的两个定理"的向量证明及推广

<数学通报>2010年第5期刊登的文[1]中给出了凸四边形中的中线定理和对角线定理如下: (1)中线定理:如图1在凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2.     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

中点四边形

中点四边形即顺次连接四边形各边中点而得到的四边形. 如图,E、F、G、H分别是四边形,ABCD各边中点,则有EF∥1/2AC∥HG,HE∥1/2BD     

一组边与中线关系等式

说到三角形的边与中线的相互关系,我们就会想到阿波罗尼斯(Apollonius)定理:设AD为△ABC中BC边上的中线,则 2(AB~2 AC~2)=BC~2 4AD~2 阿氏定理虽然揭示了三角形的一条中线与三边间的内在联系,并有很大的实用价值。但遇某些实际问题时仍有一些不便。如已知三条中线求三角形的某边;已知两边上的中线及第三边求其他两边等。在阿氏定理的基础上,我们有三角形的边与中线的几个新关系式。定理已知a、b、c分别为△ABC的∠A、∠B、∠C     

四边形的中位线定理

三角形有中位线定理,梯形有中位线定理,那么一般的四边形有无中位线定理呢? 首先,我们给四边形定义中位线:一组对边中点的连线,称四边形的中位线。而且有以下的四边形的中位线定理。命题 a,b为四边形的一组对边的长,其延长线的夹角为a(平行视为0°),则另一组对边中点的连线长为     

平面几何中的面积证法(三)——共边及共角定理的综合应用

<正>文[1]、[2]分别介绍了共边定理和共角及其应用,充分体现了这两个定理在平面几何证明中的强大威力.因此,这两个定理值得我们重视和掌握它们的运用技巧.例1如图1,在单等对边四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,直线EF与BA的延长线、CD的延长线分别交于点     

关于四边形的两个定理的向量法证明

文[1]中给出关于四边形的两个定理,读后发现两个定理中的数值存在着联系,可概括为(AC)·(BD)=EF2-GH2=AD2+BC2-AB2-CD2/2,下面用向量法给出证明.     

圆外切四边形判定定理的证明

“在一个四边形中,如果一组对边的和等于另一组对边的和,那么这个四边形必有内切圆”。这是一条判定定理,由于它的逆定理成立,所以这定理的证明常采用反证法。可是在使用反证法证明这判定定理时,不少的资料(如重庆出版社的《初三几何辅导与练列》、福建教育出版社的《数学习题解答(初中第五册)》)上却往往出现漏洞,试看以下的证明。已知:四边形ABCD中,AB+CD=AD+BC。求证:四边形有内切圆。     

梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

初中平面几何基础培优讲座之十一 平行四边形的判定与性质(上)

<正>众所周知,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形有一系列的性质定理与判定定理,掌握这些定理,是研究平行四边形的基础.性质定理在平行四边形中(1)对角分别相等;(2)对边分别相等;(3)对角线互相平分;(4)对角线的平方和等于四条边的平方之和.其中(1)⁽³⁾是教材内容,可以利用三角形全等的知识证明.(4)可以利用勾股定理证     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

四边形截线等比定理

<正>在平面几何中,笔者发现:四边形截任一直线而形成的某些线段有如下一个重要的等比关系.本人将此关系式称为"四边形截线等比定理",以下简称为定理.现定于后,供大家鉴析.定理直线l分别交四边形ABCD的边     

四边形面积和四棱柱、锥体积的解析求法

一、四边形面积解析公式 在一般解析几何教材中,只有求解三角形面积的方法,而没有求解四边形面积的方法,然而求解四边形面积却是工农业生产和科学技术中经常碰到的事情。现将求解任意四边形面积的解析公式推导叙述如下。 定理:在平面上,若已知任意四边形三边中点坐标为(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),则任意四边形面积为:     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

三角形垂心的一个性质的三个推论

文 [1]给出了三角形垂心的一个性质 :定理　如图 1,若△ ABC的垂心为 H ,且D、E、F分别为 H在 BC、CA、AB边所在直线上的射影 ,H1 、H2 、H3 分别为△ AEF、△ BDF、△ CDE的垂心 ,则△ DEF≌△ H1 H2 H3 .若以上题设不变 ,则有以下推论 .推论 1　△ H1 EF≌△ DH2 H3 ;△ H2 DF≌△ EH1 H3 ;△ H3 DE≌△ FH1 H2 .证明　如图 1,由定理知 ,EF =H2 H3 ,连结 FH2 、H2 D、DH、H F、H1 E、EH、EH3 、H3 D,由三角形垂心的定义 ,可知四边形FH2 DH、四边形 FH1 EH均为平行四边形 ,∴ H2 D =H1 E.同理 FH1 =DH3…     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

四边形的一个性质

题目设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=(1)/(4)S△ABC. 将其推广到四边形有: 定理在四边形ABCD中,G1、G2、G3、G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则(如图1,2)     

一个四边形面积定理及其应用

一个四边形面积定理及其应用刘名禄（浙江省安吉县报福中学３１３３０４）本文介绍一个四边形面积定理及其应用．１定理定理任意凸四边形的面积等于一组对边中点分别与对边两端点连线和对边组成的两个三角形的面积之和（如图１，即ＳＡＢＣＤ—Ｓ。ＡＢＦ＋Ｓ。。。。，Ｅ...     

中点四边形的判定与性质

<正>中点四边形是依附于原四边形产生的一类特殊的四边形,不同的原四边形其中点四边形形状不同.人教版八年级数学下P_(68)第9题给出了其定义:"我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形".研究中点四边形,一般是通过连接对角线把四边形中的问题转化为三角形问题,运用三角形中位线定理解决.现将中点四边形的判定与性质作如下归纳:一、中点四边形的判定