基于核心概念及其思想方法的概念教学研究——“实数”的教学实践

一、问题缘起 (一)实数概念的地位和作用 实数的内容安排在沪教版初中七年级上册第一章,属于“数与代数”的领域.学生在六年级已经学习过有理数,对有理数的概念和运算有较为深刻的认识.实数的概念采取外延式定义法,在有理数概念的基础之上进行扩充,由数扩充的一致性,可以类比有理数来进行实数学习,而实数是将来学习复数的基础.     

初中生对无理数概念的理解

一、问题的提出: 　　相对有理数而言,在中学阶段无理数是一个较易被忽视的内容,然而它是构成整个实数系不可缺少的一部分,我国的义务阶段数学课程标准中指出:了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应.……     

略談产生“忽視特例”的原因及防止的方法

(一) 解方程a~2x=0(a是实数)。解∵任何实数的平方为正数,∴x=0。 (二) 什么有理数与无理数的积是有理数? 答:因为一切有理数与无理数的积都是无理数。沒有一个有理数与无理数的积是有理数。中学生在邏輯思維方面有一个具有一定普遍性的缺陷:在研究多个对象組成的整体的性质时,常常把“很大部分是”和“常见的部分是”錯誤地当成了“都是”;或者把“很小部分是”和“常見部分不是”錯誤的断言为“不是”。上面两題的解答,正是这类錯誤的实例。这类錯誤,可名之曰:“忽視特例”。此处“特例”一詞,有双重意义,就数量言,它指个別对象的性貭;就接触情况言,它指很少接触的对象的性貭。分析一下学生“忽视特例”的原因,研究一下防止学生“忽视特例”的办法,在提高教学貭量,培养学生邏     

学习实数要注意些什么?

实数是有理数和无理数的统称 .从有理数到实数实际是数的范围的扩充 ,学习有理数到无理数的过程 ,实质上是学习实数的过程 ,是从有限小数和无限循环小数扩充到无限不循环小数 (即无理数 )的过程 .因此在学习实数时要充分认识实数的真正含义及实数的一些非概念的因素 :1 .实数a的相反数是 -a,符号相反的两数的绝对值相等 ;注意不要忽略 0的相反数也在其中 .0虽然没有正负符号之分 ,但它仍然存在相反数 .因此 ,求实数的倒数时应除 0外 .2 .数轴上每一个点都表示一个实数 ;相反 ,任何一个实数都可以在数轴上找到一个点表示 (可以是有理数或无理…     

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册第一章简介

六年制重点中学高中数学课本《代数》(试用本,以下简称新教材)第一册的第一章是“实数集”,分为两大节。第一大节介绍集合的初步知识,与原来的全日制十年制学校高中课本(试用本,以下简称原教材) 《数学》第一册的相应内容基本一致,但适当充实了一些。第二大节介绍实数集,根据复习提高的要求,参考国外教材对这一内容的不同处理以及我国中学数学教学的具体条件,采用介绍到实数集为止的方法,把学生已经学过的自然数集、整数集、有理数集和实数集的基本性质作了系统的归纳。下面就本章教材作一简介。一、关于集合这部分教材是在学生学过初中数学的基础上,引入集合、子集、交集、并集、补集等概念以及一些有关的符号。要求学生理解这些概念,并能正确使用有关符号,能运用它们重新叙述初中学过的一些概念,如方程(组)、不等式(组)的解集,线段、直线、射线和它们的交点,整数分为奇数、偶数,实数分为有理数、无理数等等。通过这部分内容的学习,为以后学习映射概念和各种基本初等函数,学习从自然数集     

利用有理数≠无理数解题

众所周知,任何一个实数要么是有理数,要么是无理数,两者必居其一而且只居其一,我们将实数集合的这一性质简称为有理数≠无理数。许多和实数有关的证明题,乍一看似乎感到难于下手,但若利用上述性质来证,常可使问题迎刃而解。现举例说明如下。     

一个稠密性定理及其应用

我们知道,有理数集合在实轴上是稠密的,即对任何实数x和任意ε>0,存在有理数y,使得|x-y|<ε。但这个稠密性的严格证明是在实数理论建立的过程中完成的,它超出了中等数学的范围,我们在这篇短文中将利用公度的概念(它只涉及无理数的存在性)介绍另一个可以直接证明的稠密性定理,并讨论它在二维空间中的推广,进而给出它的一个应用。     

“实数（1）”教学设计

一、总体设计意图 “实数（1）”是义务教育课程标准实验教科书（苏科版）数学八年级上册第二章的第五节,是在数的开方的基础上引入了无理数的概念,将数从有理数范围扩充到实数范围,说明实数与数轴上的点具有一一对应关系．从有理数到实数,这是数的范围的又一次重要扩充,对今后学习数学有着重要意义．     

谈“实数大小比较”的教学

实数的大小比较是学生应掌握的基础知识、基本技能。但是,在初中代数第三册“数的开方和二次根式”中出现了实数以后,并没有提到它的大小比较,这就使得学生在做该章练习及后续学习中遇到有关的习题时,既无明确的指导思想又缺少具体的比较方法。对这个问题很有必要引起教师在教学中予以重视。下面谈几点建议供参考。一、在复习有理数大小比较法则的基础上,建议引伸出下列三种比较实数大小的方法。用数轴上实数点的左右位置关系参照有理数的大     

“冪和方根”的教学

在这一部分內容以前的教材里,包括了下面几部分主要內容:1.有理数;2.有理式的恆等变形;3.一次方程,为了进一步学习二次或者更高次的方程,就必然涉及到开方問題和根式問题;同时,也必須涉及到实数問題。所以这部分教材、主要介紹了方根;把数的概念由有理数扩张到了实数;研究了根式的变形,从而完成了代数式的恆等变形。这一部分教材包括有:乘方、方根、实数和根式等四个单元。下面分四部分来談。     

“有理数加法（一）”的游戏法教学设计

一、教学内容分析 “有理数的加法（一）”选自九年义务教育课本《数学》（上海教育出版社）六年级第二学期．它是在学生掌握对正数和负数初步认识的基础上进行教学的,是正有理数加法的拓展,也是有理数减法的基础,同时又是实数加减法的基础．     

从聚点解开难点:极限与连续

<正> 全体实数体现了“有序无漏”。有序指二个实数必有一大一小。无漏指实数之间再无漏缺,不象有理数那样“漏洞百出”。每个实数能由十进位小数表示。有理数中有循环小数,循环部分有长有短,无理数绝非循环。实用计算中当然只能写到有限位。要无穷无尽在这一辈子那是不可能的。只能做到要准到小数点几位就能几位而又无限     

无理数的自白

我的名字叫"无理数",是实数家族中重要成员之一,我和我的好兄弟"有理数"精诚合作,团结一心,共同构建了我们实数家族的和谐"社会".     

扩张与因袭

中学数学教师們領着学生走一条康庄大道:“由整数走向分数,由正数走向負数,由有理数走向无理数,由实数走向虛数”。这是在那里扩张数系。同时又希望“整数的性貭分数也有,正数的性貭負数也有,有理数的性质无理数也有,实数的性貭虛数也有”。这是在那里因袭数性。     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

指数幂与指数函数

在高中数学教材中,没有给出指数函数的严格定义,对其运算性质和单调性质足也没有严格证明.在大学中,这部分内容又一带而过,很少有参考资料.本文从初中学习过的正整数指数幂和整数指数幂出发,通过有理数指数幂的定义、性质和单调性,最后说明实数指数幂定义的合理性,给出实数指数幂性质的证明和实数指数幂函数连续性和单词性的证明,供老师参考.希望老师们能够从中了解哪些内容是需要定义的?哪些内容是需要证明的?重视定义的重要性.另外,数学是严谨的,但是对不同人的数学严格性要求的也是不同的,希望优秀的数学教师能够了解并思考指数函数单调性、连续性的证明思路和证明过程.     

未确知有理数的定义、运算及在建筑工程中的应用

本文从实数的基本用法入手,将实数进行推广,引入了最常用的未确知数——未确知有理数的概念和运算,进而研究了它在建筑工程上的应用。     

实数错例 点点滴滴

在学习有理数时,许多同学在有理数运算上会出错.在引入无理数的概念以后,将数的范围从有理数范围扩充到实数范围,实现了数的第二次扩展.在数的两次扩展中,对于不少初学者来说,无论是实数的概念,还是实数的计算,都容易出错.下面对实数的几种错误作分析,以期对大家在平时的学习中有所帮助.     

中学数学課中整式部分的教学

一、教学目的整式的教学是中学代数教学中的重要組成部分之一。正如大家所知道的,它在中学代数所包含的四項主要內容:数的概念、代数式的恆等变模、函数与方程的构成中起着很重要的作用。首先,它是基于有理数而抽象化的产物。整式学习好了,对澄清有理数部分的疑难和巩固有理数部分的基础知識,会起非常重要的作用。例如对于整式的特定值的确定,經常需要进行大量的有理数运算,这样就能进一步巩固有理数的运算;又如在有理数学习时,学生感到此較困难的問題是|a|究竟等于a还是-a;a与-a的正、負以及二者的大小,若从代数式反回去     

实数大小巧比较

实数是初中数学的重要内容之一,是学好其它知识必不可少的基础,而实数大小比较又是中考及数学竞赛的常见题型,不少同学感到困难．为帮助同学们掌握好这部分知识,本文介绍几种比较实数大小的常用方法, 供参考．