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在解答有关梯形的题目时 ,常常要添加辅助线 ,把梯形问题转化成三角形、平行四边形的问题来解 .解答梯形问题时 ,常引辅助线的方法有以下几种 :一、延长两腰 (使其相交 )得到两个相似三角形 ,如图 (一 ) .例 1 已知 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,∠A =∠B ,求证 :AD =BC .分析 :结论要证两条线段相等 ,由题意知 ,此题不能用证两个三角形全等的方法来证明 .因此可考虑将结论中的两条线段集中到一个三角形中 .如图 ,延长AD与BC相交于点E ,由∠A =∠B知△EAB是等腰三角形 ,又因为DC∥AB ,所以△EDC也是等腰三角形 ,从… 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ABC中 ,O为外心 ,三条高AD、BE、CF交于点H ,直线ED和AB交于点M ,FD和AC交于点N .求证 :1)OB⊥DF ,OC⊥DE ;2 )OH⊥MN .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,A ,C ,D ,F四点共圆 ,∴∠BDF =∠BAC .又∵O为外心 ,∴∠BOC =2∠BAC ,∠OBC =∠OCB ,∴∠OBC =12 (180° -∠BOC)=90° -∠BAC .∴∠OBC +∠BDF =90°,∴OB⊥DF .同… 相似文献
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《数学通报》2001,(6)
20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1 AB是⊙O非直径的弦 ,半径OC ⊥AB于M ,D是OB的中点 ,E在劣弧BC上 ,且∠AED =∠ACO ,AE交CB于F ,交CO于N .求证 :S△FCNS△DMO =CNMO.(重庆市合川太和中学 陈开龙 40 1 555)证明 如图 ,延长CO交⊙O于P ,连结EP ,FD .∵CP是直径 ,OC ⊥AB ,∴AP =BP ,故∠ 1 =∠ 2 ,AC =BC .∵∠AED =∠ACP ,又∠AEP =∠ACP ,∴∠AED =∠AEP ,即E ,D ,P三点共线 .∵OB =OC ,∴∠ 3=∠ 2 ∠OBC =2∠ 2 … 相似文献
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《数学通报》2001,(11)
20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6 ⊙O中 ,直径AB垂直于非直径的弦CD ,弦AE与半径OC交于点F ,弦DE交弦BC于点G .求证 :FG∥AB .(四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 6 1 5 3 0 2 )证明 如图 ,连结BD、CA .∵AB ⊥CD ,∴ CA =DA ,CB=BD ,∴∠COA =∠CBD ,又AO =CO ,∴∠ACF =∠GCD ,又∠EAO=∠EDB ,∠CAF=∠CDE ,∴△ACO ∽△CBD ,△AOF∽△DBG ,△ACF∽△DCG ,∴ CFCG =ACCD =AOBD =FOGB,即 CFFO =C… 相似文献
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浅谈平行弦在证题中的作用 总被引:1,自引:1,他引:0
在圆中 ,由于借助平行法可以传递同圆中的弧 ,弦及圆周角等有关几何量之间的数量关系 ,因而在解决一些与平行弦有关的几何命题时 ,往往可以通过构造平行弦而获得证题思路 ,效果十分明显 ,下面分类举例说明平行弦在证题中的应用 .供读者参考 .1 证弧的倍分关系例 1 已知 :如图 ,AB是⊙o的直径 ,OC ⊥AB ,在AC⌒ 上取一点D ,过D作弦DE交OC于点F ,且DF=OD ,求证 :BE⌒ =3AD⌒ .证明 过D作DG∥AB交⊙o于G ,连结OE、OG .因DG ∥AB ,故AD⌒ =BG⌒故∠AOD =∠BOG 又因DG∥AB ,故∠AO… 相似文献
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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96 ⊙O是△ABC的内切圆 .D、E、F是BC、CA、AB上的切点 ,DD′、EE′、FF′都是⊙O的直径 .求证 :直线AD′、BE′、CF′共点 .(安徽省怀宁江镇中学 黄金福 2 461 42 )证明 设直线AD′、BE′、CF′交BC、CA、AB于A′、B′、C′.过D′作⊙O切线交AB、AC于M、N显然MN ∥BC △AMD′∽△ABA′,△AD′N ∽△AA′C . MD′BA′ =AD′AA′ =D′NA′C BA′A′C =MD′D′N①连结OM、ON .记⊙O半径… 相似文献
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学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1 已知:如图1,点D,E在△ABC的边BC上,BD=CE,AB=AC.求证:AD=AE.(2001年广西中考题)证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△ABD和△ACE中,∵AB=AC(已知),∠B=∠C(已证),BD=CE(已知),∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE(全等三角形的对应边相等).例2 如图2,在正三角形ABC… 相似文献
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题 1 (拿破仑定理 )以△ABC各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明 如图 1,等边△A′BC、△AB′C、△ABC′的中心分别为O1 、O2 、O3,连结BB′ ,CC′ .∵ ∠BAB′ =∠CAC′ =∠BAC +60° ,∴ △BAB′≌△C′AC .故 BB′ =CC′.同理可得 AA′ =BB′ =CC′.记△ABC三边分别为a、b、c,连结BO1 、BO3,则BO1 =33 a , BO3=33 c .∴ BO1 BO3=BCBC′=ac.又 ∠O1 BO3=∠… 相似文献
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定理 1 过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1 定理 1图分析 如图 1,过△ABC的重心G的任意直线分别交AB ,AC于E ,F ,过G作平行于底边BC的直线分别交AB ,AC于P ,Q .先证明 :SPBCQ-SAPQ=S9,这里S表示△ABC的面积 .事实上 ,SPBCQ-SAPQ =S - 2SAPQ=S - 2·4S9=S9.后证明 :SEBCF-SAEF<SPBCQ-SAPQ (1)由于∠EPG =∠A ∠AQP >∠AQP ,故能在△EPG内作直线PR ,使∠RPG =∠GQF ,… 相似文献
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平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1 如图 1,已知在△ABC中 ,AB =AC ,D是AB上一点 ,DE⊥BC ,E是垂足 ,ED的延长线交CA的延长线于点F .求证 :AD =AF .分析 :欲证AD =AF ,观察图形知AD ,AF是同一△ADF的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ADF =∠F .因为从所给条件看 ... 相似文献
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题 1 在锐角三角形ABC中 ,求证 :sinA sinB sinC >cosA cosB cosC .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1 证法 1图证 [方法 1] 设△ABC的外接圆圆心为O(由于△ABC为锐角三角形 ,O在△ABC内部 ) ,设其直径为 1,连结AO ,BO ,CO并延长交⊙O分别于D ,E ,F .顺次连结A ,F ,B ,D ,C ,E ,A .设△ABC三边长分别为a ,b ,c.∠BAC ,∠ABC ,∠ACB简记为∠A ,∠B ,∠C .∵∠A =∠BEC ,在Rt△BEC中 ,sin∠BEC =a ,cos… 相似文献
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全等三角形知识是初中几何的一个重点内容 ,也是几何证明的基础 .因此 ,全等三角形往往是历年中考的基本考点之一 .自国家教育部基础教育司颁发《关于2 0 0 0年初中毕业、升学考试改革的指导意见》之后 ,全国各省市的中考命题都有了较大的改革 ,出现了很多新颖别致的开放性题目 .以“全等三角形”为内容的开放题就是其中的一道亮丽的风景 .本文以近几年的中考题为例 ,分析“全等三角形”的各类开放型题 ,以飨读者 .一 .补充型题这是近几年出现较多的以全等三角形为内容的一类开放题型 ,它通常以填空题形式出现 .这类题是给定一部分条件 ,要求补充一个条件 ,使其两个三角形全等 .所要补充的条件往往是不唯一的 ,具有多种解答 .例如 :例 1 (2 0 0 2年海南省中考题 )如图 1 ,AB =DB ,∠ 1 =∠ 2 ,请你添加一个条件 ,使△ABC≌ △DBE .则需要添加的条件是 .分析 :如图 1 ,由∠ 1 =∠ 2 ,易证∠ABC =∠DBE .又∵BA =BD ,因此 ,要使△ABC≌ △DBE ,根据全等三角形的判定定理 ,必须加上另外一个条件 :或BC =BE ,或∠A =∠D ,或∠C =∠BED... 相似文献
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课本上典型的例(习)题是中考题的母体.把这些例(习)题变化、拓展、引伸,便得到很有特色的新题、好题.海南省2002年中考的数学卷的第27题就是一道由课本的例题拓展引伸出来的好题.海南省2002年中考题的第27题是源于几何第三册P109的例3.该题目是:已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD(如图1).求证:DC是⊙O的切线.要证明DC是⊙O的切线,只要证明过D点的半径垂直于DC就可以了.因此,我们就必须连结OD,然后证明OD⊥DC,根据题设条件不难证明这点.该题给出了证明过圆上一点的直线为圆的切线的一种常用… 相似文献
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圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各地中招考试必考查的重要知识点 .尤其是“切线的判定和性质”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .而且题型多 ,从出题方式看 ,有填空题 ,判断题 ,选择题 ,证明题 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要予以高度重视 .以下谈谈“切线的判定和性质”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者参考 .一、熟练掌握切线的判定方法判定切线方法主要有如下三种 :( 1 )定义 :直线和圆有唯一公共点时 ,这条直线是圆的切线 .( 2 )定理 :到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 .( 3 )判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .例 1 (甘肃 ,1 999年中招考试题 )如图 ,已知AB是⊙O的直径 ,BC是⊙O的切线 ,切点为B ,OC平行于弦AD ,求证DC是⊙O的切线 .分析 :直线DC与⊙O有公共点D ,故应用方法 ( 3 )进行证明 ,所以应连结OD ,再证明OD⊥CD .证明 :连结OD .∵OC∥AD ,∴∠ 3 =∠ 1 ,∠ 4=∠ 2 .∵OD =OA ,∴∠ 1 =∠ 2 ,∴∠ 4=∠ 3 .∵OD =OB ,,OC =O... 相似文献
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在几何中 ,证明两角相等是我们经常遇见的问题之一 ,它所涉及的知识内容十分广泛 ,是平面几何中一项重要的基本技能 ,因而成为中考的一个热点问题 .解决此类问题的依据很多 ,本文拟给予归类说明 ,供读者参考 ,愿能对读者有所启迪 .一 .利用三角形中“等边对等角”来证当所要证相等的两个角是同一三角形中的角时 ,我们优先考虑的是能否利用“等边对等角”来证 .例 1 已知 :如图 1 ,在矩形ABCD中 ,E为CD的中点 .求证 :∠EBA =∠EAB .分析 :欲证∠EBA =∠EAB ,观察图形 ,可以发现∠EBA和∠EAB都是△EAB的内角 ,因… 相似文献
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文[1]中给出了一个定理:任意三角形至少存在一个内接正三角形.该定理及说明都具有一定的局限性,本文用构造性方法来证明一个更一般的定理. 定理 任意三角形都存在无数多个内接正三角形. 证法1 如图1,在△ABC中,不妨在AC上任取一点D,连结 BD;以 BD为一边在点A的异侧作正△DBE,连结AE交BC于 F点,过 F点作 BE的平行线交 AB于 M点,过F点作DE的平行线交AC于N点.连结 MN,由文[1]可知△FMN即为△ABC的一个内接正三角形.由于D点位置不同,那么其对应的正△FMN就不同,由此可知△… 相似文献
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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ABC中有内接△DEF ,且FD⊥BC于D ,DE ⊥AC于E ,EF ⊥AB于F ,求证 :S△ABC ≥ 3S△DEF.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ABC三边分别与△DEF三边垂直 ,又△ABC为锐角三角形 ,有∠A =∠DEF ,∠B =∠EFD ,∠C =∠FDE即有△ABC ∽△DEF .又公比q=BCDF =BDDF CDDF=cotB DEDFsinC=cotB sinBsinAsinC =cotB sin(A C)sinAsinC=… 相似文献
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20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71 如图 ,凸四边形ABCD内接于⊙O ,延长AB、DC得交点E ,延长BC、AD得交点F .M、N各是AC、BD的中点 .且AC >BD .求证 :MNEF =12 · ACBD-BDAC(安徽省怀宁江镇中学 黄全福 2 461 42 )证明 先注意下述两个引理 .引理 1 图形与相关条件与题目相同 ,设AC、BD相交于P .求证 : OP⊥EF .证明 设⊙O半径为R .在射线FP上取一点K ,使得B、K、P、C四点共圆 .此时∠BKF =∠BKP =1 80°-∠BCP=1 80°-∠BCA=1 80° -∠BD… 相似文献
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《数学通报》2002,(4)
20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361 如图 ,C为半圆上一点 ,CD⊥AB于D ,AB为直径 ,G、H分别为 △ ACD、△ BCD的内心 ,过G、H作直线交AC、BC于E、F ,求证 :CE =CF .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 连结DG并延长AC于M ,连结DH并延长CB于N ,再连结MN、AG、BN .因为CD⊥AB所以∠CDA=∠CDB =90°而G、H分别为 △ACD、△BCD的内心所以DM、DN分别是∠CDA =∠CDB的平分线所以∠MDC =∠MDA=∠NDC =∠NDB= 45°在 △ MAD和… 相似文献