费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

素数等差数列问题

1素数的基本知识自然数中2,3,5,7,11,…称为素数,它们除1与自身外,没有其它因数.其它数,1除外,称为合数.每一个合数可以唯一分解为素数之积,这是算术基本定理.这个定理说明,素数像“砖头”,也像原子.素数在整数中分布很不均匀,例如107570463×102250±1是一对孪生素数.给予整数N,不论多大,都有连续N个数中没有素数.例如(N 1)! 2,(N 1)! 3,…,(N 1)! N 1中就没有素数,这构成一个“黑洞”.因此,寻找素数的规律是古今一大挑战,也很有意思.②欧几里得:素数有无穷多个.(反证法)欧拉:引入∑n1ns(s>1),证明了∑p1p发散,从而素数有无穷.切比雪夫:…     

妙趣横生的数

在中学数学竞赛中 ,经常出现一些以自然数为背景的问题 ,解答这些问题 ,不需要多么深奥的数学知识 .只用到如自然数的分类、整除、多项式的简单运算等一些初级知识 .但要解决这些问题 ,需要有敏锐的洞察力和较强的探索能力 ,它有助于学生智力的开发 ,常常受到竞赛命题者的青睐 .例 1一个正整数 ,若与它的“反序数”相等 ,这个正整数就称为一个“魔幻数” .如数“3” ,“1991”都是“魔幻数” .在 1～ 2 0 0 2 (包括 1和 2 0 0 2 )中 ,“魔幻数”共有多少个 ?解　 (1)前九个正整数 1～ 9都是“魔幻数” ,共 9个 .(2 )两位数中有 :11,2 2 ,3 3…     

梅森与梅森素数

数论问题中有许多关于素数的问题,在吸引人们去探索的同时又在磨砺着人类的智慧.许多素数问题的妙趣之处在于人们可以轻而易举地理解问题的表述,但是想要真正将问题解决,却需要坚强的意志、高超的技巧和艰苦的计算.如至今尚未完全解决的哥德巴赫猜想,历经几代数学家的苦苦求索直到1994年才得到求证的费尔马猜想(现在应该叫做费尔马大定理了),还有一个似乎不是那么著名的“梅森猜想”.提到“梅森猜想”,就要先从梅森其人谈起.梅森全名马林.梅森(Marin Mersenne,1588—1648),是法国圣弗朗西斯(St.Francis of Paola)所建的托钵僧团体中的修道…     

例谈恒等问题的解题策略

恒等问题是初中数学中的基本问题,在各级各类数学竞赛中经常出现.解决恒等问题就是要扣住题目给出的或根据条件建立的恒等式的“恒”的本质,以“不变”制“万变”,寻找问题的突破口,选择合适的对策.下面举例谈谈解决恒等问题的常见策略.     

竞赛中的“新定义运算”问题

数学竞赛中经常出现“新定义运算”的问题.所谓“新定义运算”就是对实数给出一种新的运算规则.这里就这类问题,谈谈解题的方法.解决“新定义运算”的关键是:根据所给规     

最值问题例谈

在初中数学竞赛试题中,常常出现求最大值或最小值问题.除了利用二次函数的配方法求最值外,通常还借助于不等式“a+b≥2(?)”及一元二次方程的根的判别式“△”求解.灵活利用“a+b≥2(?)(a≥0,b≥0)”这个重要而基本的不等式,可以解决不少竞赛中棘手的最值问题.例1(2002年上海初中数学竞赛)若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4,求(z+y)(y+z)的最小值.分析代数式(x+y)(y+z)展开整理可     

假如没有素数概念该怎么办?——中国数学史的一个侧面

在今天,我们在学数学的初始阶段便学到了素数的概念,利用这个概念很多问题可以很快地得到解决。例如, 第一,有了素数概念后,最大公约数、最小公倍数等概念极易于理解,而计算它们也非常容易。 第二,利用素数概念,我们可以很快地求得不定方程x~2+y~2=z~2的一切正整数解,所谓整勾股弦数,(本文不讨论负数,故“正”字有时也省略了)。     

构建心智图象解题例谈

数学问题的解决很大程度上取决于解题者对所给问题 (尤其是较为抽象的问题 )所对应的“心理对应物”的激活程度 .所谓“心理对应物”即心智图象 (又称心理意象、智力图象 ) ,它是具有某种程度抽象的模式化了的模糊“形象” ,是问题解决过程中的深层次的符号 .波利亚的几何图示法就是构建心智图象 .而阿达玛对欧几里德关于“素数的个数是无限的”这个经典证明的各个步骤 ,依次列出了他在“读到这个证明的每一步时的心智图象”(参文 [1 ]) .正如笛卡尔所说 :“在用推理解决问题时 ,心智图象的作用是首要的 .”数学解题中构建的心智图象 ,可能…     

费尔马伪素数及其奇妙性质

1　费尔马数与伪素数1640年法国数学家费尔马发现 :F0 =3,F1=5,F2 =17,F3=2 57,F4 =65537都是素数 .据此费尔马猜想 :任何费尔马数 Fn=2 2 n 1都是素数 .然而 ,1732年瑞士数学家欧拉举出反例 :F5=641×670 0 4 17是合数 !从而推翻了费尔马猜想 .180 1年 ,德国数学家高斯证明了当且仅当 n为如下形式的数时 ,才能等分圆周 :( 1) n =2 m ;　 ( 2 ) n =Fm 为费尔马素数 ;( 3) n =2 mp1p2 … pk,其中 pi 为相异的费尔马素数 .虽然高斯完满地解决了等分圆周问题 ,但关于费尔马素数的判别却引起了人们的关注 .到目前为止 ,数学家们只发现前 5…     

素数变数的线性方程组

<正> 引言 在苹雁庚教授的著作“堆曼素数箫”第十二章中曹握提出了阴龄整保数素数燮数的腺性方程粗的解的问题.这个问题是有名的(?)定理的自然推广.1937年苏联(?)院士首先证明了任何充分大的奇整数 N 都能表成三个素数之和,且如令 I(N) 为表示法的种数,则     

稀世珍奇的梅森素数

2009年4月,挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目,发现了第47个梅森素数,该素数为2^42643801-1（即“2的42643801次方减1”）．     

素数p在Q（6√u）中的素理想分解问题

利用局部域的方法,研究素数p在有理数域的6次根扩张中的素理想分解问题,并完全确定了素数p在Q（6√u）中分解所可能有的形式（pα︱︱u）.为进一步研究素数p在Q（2l√u）中（l为素数）的分解提供了途径.     

进一步优化关于素数无穷性的Euclid证法

令pi表示第I个素数.本文主要目的是用初等的方法构造性证明了,当r≥4时区间Ir中至少有2「log2(2r)」+1个素数,这一结果是Aldaz和Bravo对区间Ir中素数的个数的估值两倍.     

研究生录取问题的优化模型与评述

针对2004年首届全国部分高校研究生数学建模竞赛的D题“研究生录取”问题的评卷情况,概括地介绍了这个问题的背景、评卷要点、答卷中存在的问题.并且给出了这个问题的一种有效的解决方法.     

“最值求法”的常用方法和技巧

探求“最值”是近年来数学竞赛中出现频率较高的一种题型,这类题型要求有较强的数学转化和创新意识,下面主要以全国竞赛中,近年来出现的“最值”问题作些探讨.     

利用实数的性质解竞赛题

本刊89年第二期“利用有理数≠无理数解题”,可以看作是“利用奇数≠偶数解题”的拓广.除此而外,还可利用实数的其它性质(比如整数≠既约分数;a~2<0与a相似文献   

形如2kp+1的数的素性检验

本文初步探讨了如何快速检验一个大数n是素数(这里n-1含有大的素因子)的算法问题以及如何生成一个大素数p使得p-1有大的素因子q的算法问题.我们给出了形如n=2kp+1的数的素性检验的多项式时间算法,这里p是一个给定的大素数,k是正整数满足22k＜2kp.该算法的计算量为O(log32n).然后我们给出了生成一个大素数p使得p-1有大的素因子q的算法,其中q满足q＞(p-1)/log2(p-1).特别地,我们给出了判定并生成一个安全素数p的算法.     

关于指数丢番图方程$x^2+(3a^2-1)^m=(4a^2-1)^n$

应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素因子的深刻结果以及二次丢番图方程解的表示的一些精细结果,完全解决了指数型丢番图方程x2 (3a2-1)m=(4a2-1)n当3a2-1是奇素数或奇素数幂时的求解问题．     

圆锥曲线“触焦”问题

圆锥曲线中涉及焦点的有关问题（不妨称为圆锥曲线的“触焦”问题）一直是高考和竞赛中的热点问题，许多同学对此感到非常棘手，因此这类问题也成了我们关注的“焦点”．下面先介绍解决这类问题的基本对策．