Die Berechnung von Fachwerken nach einer Theorie zweiter Ordnung

Zusammenfassung Über den Einfluß der Formänderungen eines Fachwerkes auf die Größe seiner Stabkräfte können zusammenfassend folgende Aussagen gemacht werden:Die genauen, nach der Theorie zweiter Ordnung ermittelten Werte für die Axiallasten der Gurt- und Diagonalstäbe, welche bereits nach der üblichen Berechnung eine Beanspruchung erfahren, unterscheiden sich nicht wesentlich von ihren ersten Näherungswerten, solange sämtliche Stäbe elastisch, d. h. ihre Längenänderungen klein sind. Erfährt jedoch ein Gurt- oder Diagonalstab unelastische Längenänderungen, so kann unter Umständen seine Axiallast recht erheblich von dem nach der üblichen Berechnung ermittelten ersten Näherungswert abweichen [als Beispiel diene der DiagonalstabD ₁₁ des in Abb. 18 dargestellten Fachwerkes, s. auch AbschnittIV, Gleichung (9)].Die nach der Theorie erster Ordnung spannungslosen Hilfsvertikalstäbe erfahren nach der genauen Rechnung eine erhebliche Beanspruchung. Durch den Nachweis der Höchstbelastung dieser Stäbe wird eine rechnerische Ermittlung ihrer Querschnittsabmessungen ermöglicht.Gewisse, bereits nach der Theorie erster Ordnung belastete Vertikalstäbe (s. AbschnittIII) erfahren unter Berücksichtigung der Formänderungen des Tragwerkes eine wesentliche Zusatzbeanspruchung, welche eine Erhöhung ihrer nach der üblichen statischen Berechnung ermittelten Querschnittsabmessungen bedingt.     

Die Berechnung von Fachwerken nach einer Theorie zweiter Ordnung

Ohne Zusammenfassung     

Zur Berechnung allgemeiner Flächentragwerke mit Hilfe der Dynamischen Relaxation

Übersicht Der Spannungs- und Verformungszustand allgemeiner Flächentragwerke läßt sich im Rahmen einer linearen Theorie durch ein System gekoppelter partieller Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen. Es wird die Möglichkeit gezeigt, für dieses Differentialgleichungssystem ein numerisches Lösungsverfahren in allgemeinen Koordinaten tensoriell zu formulieren. Das verwendete Lösungsverfahren ist in der Literatur unter dem Namen Dynamische Relaxation bekannt geworden. Beispiele aus der Theorie der Scheiben, der Platten und der Rotationsschalen werden behandelt.

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Summary A numerical method is described for the determination of stress and finite elastic deformations of thin elastic shells. The treatment used is the so-called dynamic relaxation. The solutions are derived in curvilinear co-ordinates by use of general tensor notations. The utility of the method is shown by some examples out of the theory of slabs, plates and shells.

     

Zur Berechnung von Fahrleitungsschwingungen mit Hilfe frequenzabhängiger finiter Elemente

Übersicht Bei der Untersuchung des dynamischen Zusammenwirkens von Fahrdraht-Kettenwerk und Stromabnehmer im Hochgeschwindigkeitsbereich ist es erforderlich, die hochfrequenten Schwingungsformen der Fahrleitung zu berücksichtigen. Diese Forderung behindert den wirtschaftlichen Einsatz der in der Praxis gebräuchlichen Finite-Elemente-Programme, da zur Modellierung einer aus mehreren Mastfeldern bestehenden Abspannlänge sehr viele Freilieitsgrade zur Darstellung der hochfrequenten Eigenformen benötigt werden.In dem Beitrag wird die analytische Lösung der Seilgleichung zur Herleitung frequenzabhängiger Elementmatrizen verwendet. Damit kann die Flexibilität der Finite-Elemente-Modellierung mit der Genauigkeit und Kürze der analytischen Lösung kombiniert werden. Die Elementteilung der Fahrleitung erfolgt nur noch nach Maßgabe geometrischer und physikalischer Erfordernisse.Den Abschluß des Beitrages bildet eine Nachrechnung der von den British Railways durchgeführten Versuche, bei denen ein mehrfeldriges Kettenwerk durch Freigabe eines angehängten Gewichts zu Schwingungen angeregt wurde.

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Summary The coupled analysis of the dynamic behavior of an overhead catenary with a pantograph moving at high speed requires the representation of the catenary natural modes up to very high frequencies. This requirement hampers the economic use of commercial finite-element-programmes, because too many degrees of freedom are necessary in the finite-element-model of a multi-span catenary to represent the highest natural frequencies with the required accuracy.The analytical solution of the string differential equation is used in the paper to derive frequency dependent element matrices, in order to combine the finite-element modeling technique with the accuracy of the analytical solution. Thus clement partitioning is only governed by geometrical and physical requirements.The paper ends with a comparative analysis of a two-span catenary which was tested by British Railways.

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Prof. Dr.-Ing. Sigurd Falk zum 60. Geburtstag gewidmet.

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Die Arbeit entstand zum Teil im Rahmen eines Forschungsauftrages der Deutschen Bundesbahn mit Förderung des Bundesministers für Forschung und Technologie     

Zur Berechnung von Durchsenkungen eines Balkens unter Folgen von wandernden Lasten mit finiten Raum-Zeit-Elementen

Übersicht Die Diskretisierung des Raumes und der Zeit führt auf ein Näherungsverfahren für die Durchbiegungen von Einfeldträgern unter Folgen von wandernden Lasten. Dabei wird nachgewiesen, daß Vereinfachungen der mathematischen Ausgangsgleichung für analytische Näherungslösungen nur bedingt möglich sind.

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Summary The discretization of space and time leads to an approximation for the deflections of a beam under sequences of moving loads. It is shown that simplifications of the mathematical equation for analytical approximations are possible only under certain restrictions.

     

Zur Berechnung von Rotationsschalen mit Differenzenverfahren

Übersicht Die lineare Biegetheorie von Rotationsschalen wird durch ein System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben. Zu ihrer numerischen Integration wird das Differenzenverfahren herangezogen, womit sich die Zustandsgrößen allgemeiner Rotationsschalen bei beliebigen Randbedingungen und Beanspruchungen ermitteln lassen. Die Anwendung des Verfahrens wird an Beispielen erläutert.

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Summary The linear bending theory of shells of revolution is described by a system of first order differential equations. The system is solved numerically by the method of differences. Thus, the stresses and elastic deformations of shells of revolution with arbitrary loads and boundary conditions can be determined. The application of the method is illustrated by several examples.

     

Berechnung kritischer Drehzahlen beliebiger Ordnung nach dem Verfahren von Ritz

Ohne ZusammenfassungStuttgarter Dissertation. Referent: Prof. Dr.Grammel, Korreferent: Prof. Dr.Wewerka.     

Zur Berechnung von Rotationsschalen mit Übertragungsmatrizen

Übersicht Die Grundgleichungen der linearen Biegetheorie dünner Rotationsschalen werden zu einem System von Differentialgleichungen erster Ordnung zusammengefaßt und in Matrizenform geschrieben. Die Koeffizientenmatrix des Systems ist für Hauptkrümmungskoordinaten in allgemeinen differentialgeometrischen Kennwerten angegeben und kann für bestimmte Rotationsschalen spezialisiert werden. Die Integration des Differentialsystems führt über Matrizenreihen und Matrizenprodukte unmittelbar zur Übertragungsmatrix. Numerische Schwierigkeiten lassen sich durch die Kombination mit einer baustatischen Methode beseitigen. Als Beispiel dient eine Teil-Torusschale unter Randbelastung.

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Summary The fundamental equations of the linear theory of shells of revolution are combined into a system of first-order differential equations formulated with matrices. The coefficient-matrix of the system is stated in general terms of differential geometry and lines of curvature but it may be specialized for any rotational geometry. The transfer-matrix results from a straightforward process of integration by series and products of matrices. Numerical difficulties may be removed by combination with a force or displacement method. As an example a section of a torus-shell subjected to edge-loads is treated.

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Dieser Arbeit liegt die Dissertation [13] des Verfassers zugrunde. Berichter: Prof. Dr.-Ing.W. Zerna; Mitberichter: Prof. Dr.-Ing.H. Duddeck.     

Berechnung von Transportgrößen mit Hilfe der Statistischen Physik: Ein Überblick

Transport coefficientsL(k, ω) are calculated by two methods, a) Using a kinetic equation for distribution functions (Boltzmann, Landau) and b) the linear response to a periodic disturbance in space and time (Kubo). The regions of validity of both methods are discussed, some results are compared with experiment and some general properties of the Kubo formula forL (k, ω) are given.     

Berechnung von Wärmespannungen in Scheiben infolge stationärer Temperaturfelder mit Hilfe der Integralgleichungsmethode

Übersicht Mit Hilfe der Integralgleichungsmethode (BEM) werden in dieser Arbeit Wärmespannungen, die in Scheiben infolge stationärer Temperaturfelder entstehen, berechnet. Neben den statischen oder geometrischen Randbedingungen wird die Temperatur oder der Temperaturgradient als zusätzliche Randbedingung vorgegeben. Unter Verwendung von Wärmequellen oder Wärmedipolen wird das Problem auf ein System Fredholmscher Integralgleichungen zurückgeführt, das numerisch gelöst wird. Numerische Untersuchungen schließen die Arbeit ab.

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Determination of thermal stresses in disks with the boundary element method

Summary The Boundary Element Method (BEM) is used to calculate thermal stresses in discs, caused by stationary temperature fields. Beside the statical or geometrical boundary conditions the temperature or the temperature gradient can be formulated as an additional boundary condition. By use of thermal sources or thermal dipols the problem is reduced to a system of Fredholm integral equations, which is solved numerically. Finally examples are presented including numerical results.

     

Zur Berechnung der Stofftransportbeziehungen an der Phasengrenze von Zweiphasen-Mehrkomponenten-Systemen

Zusammenfassung Die Stoffaustauschbeziehungen an der Phasengrenze eines Zweiphasen-Systems auf der Basis der erweiterten Ackermann/Colburn-Drew Gleichungen werden am Beispiel von binären und polynären Gemischen aufgezeigt. Darauf aufbauend werden Beziehungen für die Berechnung des Stoffdurchgangskoeffizienten und für das Verhältnis der partiellen Stoffübergangskoeffizienten für den Fall großer übergehender Stoffströme abgeleitet. Eine vergleichende Analyse mit Rechenansätzen verschiedener Struktur wird anhand von Beispielen gegeben.

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On the calculation of mass transfer relations at the interface of two-phase-multi-component-systems

The mass transfer relations at the interface of a two-phase-system related to the generalized Ackermann/Colburn-Drew equations are presented for binary and polynary mixtures. Therefore relations for the calculation of the overall mass transfer coefficient and the ratio of the partial mass transfer coefficients are derived for the case of high mass fluxes. An analysis comparing calculation procedures of different structures is demonstrated by examples.

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Beziehungen c Moldichte kmol/m³ - D Diffusionskoeffizient m²/h - Steigung der Gleichgewichts-linie - m Verhältnis der Phasengrenz-konzentrationen - n Stromdichte kmol/hm² - s Weg, Diffusionsweg m - x Flüssigkeitsphasenkonzen-kmol/kmol tration - y Gas-Dampfphasenkonzen-kmol/kmol tration - z Variable - Stoffaustauschkoeffizient kmol/hm² - Unterschichtdicke m - Abweichung - [_bin] Matrix der Stoffübergangskoeffizient en der binären Paare für äquimolaren Stofftransport - [] Matrix der Mehrkomponenten-Stoffübergangskoeffizienten für äquimolaren Stofftransport - [B] =[]^–1, Def. s. Gl.4d - [] Def. s. Gl.4e - [] Verallgemeinerte Ackermann/Colburn-Drew Korrektur Matrix für Mehrkomponenten-Stoffaustausch - [J] Einheitsmatrix Indizes bin binär - d dampfseitig (Stoffübergang) - D dampfseitig (Stoffdurchgang) - f flüssigkeitsseitig - g Phasengrenze - Laufindex - n Gesamtzahl der Komponenten - l l. > Komponente betreffend - 2 2 - charakterisiert für nichtäquimolaren Transport korrigierte Größen     

Stoffgleichungen nach der Theorie zweiter und erster Ordnung für hyperelastische faserverstärkte Werkstoffe mit inneren Zwangsbedingungen

Übersicht Für das hyperelastische, kompressible, durch eine Familie undehnbarer Fasern verstärkte Verbundmaterial wird die allgemeine finite Stoffgleichung aufgestellt; anschließend werden die Stoffgleichungen nach der Theorie zweiter und erster Ordnung mit Hilfe der Methode der asymptotischen Approximation hergeleitet. Auch die linearisierte Stoffgleichung des durch zwei Familien undehnbarer Fasern verstärkten, kompressiblen Verbundwerkstoffs wird ermittelt, wobei sich für den ebenen Verzerrungszustand die gleichen Beziehungen wie beim inkompressiblen, durch eine Familie undehnbarer Fasern verstärkten Verbundmaterial ergeben.

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Summary The general finite constitutive equation for hyperelastic compressible materials reinforced by one family of inextensible fibres is determined and with the aid of the asymptotic approximation method the second- and first-order constitutive equations are derived. The linearized constitutive equation for a compressible composite reinforced by two families of inextensible fibres is also regarded. For plane strain deformations it is found that these equations are also valid for an incompressible material reinforced by a single family of inextensible fibres.

     

Elastisch-plastische Formänderungen biegesteifer Tragwerke nach der Spannungstheorie II. Ordnung

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird ein Berechnungsverfahren für die elastisch-plastischen Verformungen von Stabwerken behandelt, welches sich aus dem Minimalprinzip der Restspannungen ableiten läßt. Hierbei wird eine finite Elementapproximation angewendet, die zu einer quadratischen Optimierungsaufgabe führt.Der Vergleich mit Versuchsergebnissen und eine Vergleichsberechnung nach den Stabilitätsvorschriften des Stahlbaues (DIN 4114) zeigen, daß die Methode zu zuverlässigen und praktisch anwendbaren Ergebnissen führt. Da jedoch aufwendige numerische Berechnungen unvermeidbar sind, sollte sie nur zur Kontrolle praktikabler Näherungsverfahren angewendet werden. Die vereinfachende Annahme der isotropen Verfestigung verkürzt die numerischen Berechnungen. Die Methode kann jedoch auch dann angewendet werden, wenn kompliziertere Stoffgesetze aus Versuchen, bekannt sind.

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Summary This paper presents a method for the calculation of elastic-plastic deformations of frameworks by means of the well-known Principle of Residual Stress. A finite element technique which transforms this minimum principle into a quadric programming problem is employed. It is shown by comparison with test results and by an analysis of the German stability code for steel structures (DIN 4114), that the method gives reliable and practical results. However, the calculations are rather lengthy, so that it should be used primarily as a yardstick for practicable approximations. A simple isotropic hardening function has been used as it leads to a straightforward numerical treatment, but the method can also be applied if more complicated functions are available from experimental data.

     

Zur Bestimmung rheologischer Parameter viskoelastischer Flüssigkeiten mit Hilfe eines Kugel-Kugel-Rheometers

Zusammenfassung Wird eine viskoelastische Flüssigkeit in einem konzentrischen Kugel-Kugel-Raum durch Rotation einer Kugel beansprucht, so ermöglicht eine Analyse der Antriebsmoment- und Druckverteilungskennlinie die Bestimmung rheologischer Parameter. Insbesondere zeigen die Ergebnisse, daß der in den konventionellen Meßapparaten nur ungenau dargestellte Bereich der Anfangsbeanspruchung durch geeignete Wahl von Spaltweite und Durchmesserverhältnis erfaßt werden kann.

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Summary Visco-elastic liquids will be stressed in a concentric space between a sphere and a hollow sphere by rotation of one of the spheres. By analysis of the torque- and wall-pressure-characteristics it is possible to determine rheological parameters. In this paper it is shown how to measure the dynamic viscosity and the relaxation times in the range of initial shear-strain in a sphere-sphere-rheometer.

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a isotroper Druckanteil - f _i () Geometriefunktionen - g Erdbeschleunigung - h _i , _i Normalspannungsparameter - k, m Fließkurvenparameter des Potenzgesetzes - n Drehfrequenz der Innenkugel - p _w Wanddruck - reduzierter Wanddruck - p ₀ Außendruck - r, , Kugelkoordinaten - t ₀,t _0i Anfangsrelaxationszeiten - v Geschwindigkeitsvektor - A, C Fließkurvenparameter des Polynomgesetzes - M Antriebsmoment - M _i Drehmomentanteile - R Radius der Innenkugel - R _G Radius der Hohlkugel - _i Stoffkonstanten der rheologischen Zustandsfunktion - Schergradient - RadienverhältnisR/R _G - variable dynamische Viskosität - ₀ Anfangsviskosität - Proportionalitätsfaktor - Dichte - _I , _II , Viskosimeterfunktionen - Kreisfrequenz der Innenkugel - D Deformationsgeschwindigkeitstensor - I Einheitstensor - W Rotationstensor - Spannungstensor - korotationale zeitliche Ableitung des Deformationsgeschwindigkeitstensors (n-te Ableitung) - Nablaoperator Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 28.–30. April 1975 in Berlin.Mit 4 Abbildungen und 1 Tabelle     

Zur Theorie von Mehrkörpersystemen mit drehzahlgeregelten Rotoren

Übersicht Es wird gezeigt, daß die bekannte Routhsche Methode zur Elimination von zyklischen Koordinaten dann erheblich vereinfacht werden kann, wenn die in einem System vorhandenen Rotoren durch eine Regelung auf konstanter relativer Drehzahl gehalten werden. Bewegungsgleichungen, ihre Vereinfachung für den Fall schneller Rotoren sowie zweckmäßige Verfahren zur Aufstellung linearer Gleichungen werden besprochen und am Beispiel einer Drei-Kreisel-Plattform demonstriert.

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Summary The wellknown Routh-procedure for eliminating ignorable (cyclic) coordinates can be simplified considerably if the rotors, installed in a multi-body-system, are kept on constant relative rotational velocity by control. The general equations of motion, their simplifications in the case of fast running rotors and a suitable way for deriving linear equations are discussed. As an example a three-gyro-platform is considered.

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Heinz Neuber zum 70. Geburtstag gewidmet.     

Zur Berechnung des Wärmetransportes durch Strahlung mit der Monte-Carlo-Methode

Zusammenfassung Mit der Monte-Carlo-Methode ist es möglich, den Wärmetransport durch Strahlung für sehr allgemeine Fälle zu berechnen, für die geschlossene Lösungen nicht bekannt sind. Es wurde ein digitales Rechenprogramm erstellt, das speziell den Wärmetransport durch Strahlung innerhalb eines Hohlzylinders, dessen Deckel-, Boden- und Mantelfläche unterschiedliche vorgegebene Temperaturen und Emissionsverhältnisse aufweisen, mit der Monte-Carlo-Methode berechnet. Die einzelnen Rechenschritte dieses Programmes werden beschrieben. Die Ergebnisse einiger für die Praxis interessanter Sonderfälle werden dargestellt.

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On the calculation of heat transfer by radiation using the Monte Carlo method

Using the Monte Carlo method, it is possible to solve completely general problems in heat radiation, for which analytical solutions may not be known. A digital computer program, based on the Monte Carlo method has been written for the special case of heat transfer by radiation inside a hollow, closed cylinder; the boundary conditions on this problem are the temperatures and emissivities of the top, bottom and walls of the cylinder. The program structure is described and the solutions for some typical applications are given.

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Bezeichnungen A Fläche - C _s Strahlungskonstante des schwarzen Körpers - H Helligkeit - J Wärmestrom pro Flächen- und Zeiteinheit - L Länge des Zylinders - Q Wärmemenge pro Zeiteinheit - R Zylinderradius - T absolute Temperatur - n Anzahl Strahlungsquanten - r Startradius - r _a Auftreffradius - z Abschnittshöhe - y Starthöhe - y _a Auftreffhöhe - Winkel zur Beschreibung der Flugrichtung - Emissionsverhältnis - ¯ Winkelverhältnis - Verhältnis Radius/Abstand - Zufallszahl Indizes B Boden - D Deckel - G Gesamtes System - M Mantelfläche - i Zählindex für axiale Abschnitte:i=1, 2,, m - k korrigiert - k Zählindex Der Verfasser dankt Herrn Dr. J. Lieberoth für die Durchsicht des Manuskriptes.     

Berechnung der Störung der Brennkammer-Filmkühlung durch Einblasen von Luftstrahlen mit Hilfe einer Analogiebetrachtung zwischen Strahl und Zylinder

The influence of cold air jet injection upon the film cooling of combustion chamber walls is investigated theoretically and experimentally. Considering the cold air jet acting like a cylinder in the combustion gas and film cooling streams, an equation can be derived theoretically which describes the disturbance of the film cooling effectiveness downstreams of the air jet injection. The experiments, where single cold air jets are injected normal to the film cooled test chamber wall, show considerable decreases of the film cooling effectiveness downstream of the injection points. The same effect is noted in real combustion chambers of aircraft gas turbine engines. Additional experiments with cylinders simulating the disturbance effect of the air jets prove the analogy consideration between jet and cylinder. The theoretically predicted cooling effectiveness is in agreement with own experiments as well as other test results.     

Die Untersuchung der Stabilität der Bewegung eines Eisenbahnfahrzeuges mit Hilfe der Neumarkschen Methode

Übersicht Die Neumarksche Methode ermöglicht für ein lineares System die Bestimmung der Stabilitätskurven in einer Ebene, in welcher eine bestimmte Kennzahl die Abszisse und eine zweite Kennzahl die Ordinate darstellt. Die Methode wurde bisher benutzt für den Fall, daß die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung lineare Funktionen der beiden Kennzahlen sind. Durch ihre Anwendung auf den Beispiel eines einfachen Eisenbahnfahrzeugs, das sich auf einem Gleis bewegt, wird gezeigt, daß die Methode nicht auf solche Linearitäten beschränkt ist.

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Summary The method of D-partitioning enables us to determine for a linear system the stability limit curves in a plane in which some parameter of the system represents the abscissa and another one the Ordinate. Hitherto the method was used for the case that the coefficients of the characteristic equation are linear functions of both of the parameters. By applying it on the case of a single railway vehicle, moving along the track, it is shown that the method is not restricted to such linearities.

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Herrn Professor Dr. E. Mettler zum 70. Geburtstag gewidmet     

Ermittlung der Beultraglasten ausgesteifter Schalen mit Hilfe von Übertragungsmatrizen

Übersicht Bei Beultraglastsberechnungen von ausgesteiften Kreiszylinderschalen unter Axialbelastung im plastischen Bereich werden das Deformationsverfahren und das Eigenwertverfahren mit Hilfe von übertragungsmatrizen verwendet, wobei die Übertragungsmatrix im Deformationsverfahren aus der nach der Finite-Element-Methode gewonnenen Steifigkeitsmatrix hergeleitet wird. Bei gleichzeitiger Berücksichtigung der Vorverformungen und der Restspannungen bzw. bei alleiniger Berücksichtigung der Restspannungen werden Rechenergebnisse von längsausgesteiften Schalen nach beiden Verfahren vorgelegt und verglichen.

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Study of the buckling load of stiffened shells by the transfer matrix method

Summary The deformation and eigenvalue method using the transfer matrix are applied to ultimate strength analyses of axially compressed, stiffened cylindrical shells in the plastic range. The transfer matrix in the deformation method is obtained by suitable transformation of the stiffness matrix used in the finite element method, and the transfer matrix in the eigenvalue method is described by the linearized differential equation of shells. In the deformation method geometrical imperfections and residual stresses are taken into consideration, while in the eigenvalue method the former are not considered. The numerical results of stiffened shells obtained by both methods are illustrated and compared with each other.