一试题的简解

题目（2011年清年自主招生理科试题）已知a^→=（1,0）,b^→=（-√3/2,1/2）,c^→=（√3/2,-1/2）,xa^→＋yb^→＋zc^→=（1,1）,求x^2＋y^2＋z^2的最小值.     

IMO31一道预选题的简证

第31届IMO预选题：已知a，b，c∈R，试证： （a^2＋ab＋b^2）（b^2＋bc＋c^2）（c^2＋ca＋a^2）≥（ab＋bc＋ca）^3     

IMO一题的进一步加强

这是第42届IMO第二题：对所有正实数a,b,c,证明：a/√a^2＋8bc＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1.文[1]中宋庆老师将其加强为：若a,b,c,为正数,则a/√a^2＋2（b＋c）^2＋b/√b^2＋2（c＋a）^2＋c/√c^2＋2（a＋b）^2≥1.     

又是一个“美丽的错误”

题目对任意正实数a、b、c,求证：1〈a/√a^2＋b^2＋b/√b^2＋c^2＋c/√c^2＋a^2≤3√2/2.     

齐次化在不等式证明中的应用

a^2＋b^2≥2ab，2（a^2＋b^2）≥（a＋b）^2，a^2＋b^2＋c^2≥nb＋bc＋ca等是我们经常使用的几个基本不等式．仔细观察，我们会发现，这几个不等式两边各项的次数都相等，像这样的不等式叫做齐次不等式．     

数学中的对立统一

2/1/a＋1/b〈√ab〈a＋b/2〈√a^2＋b^2/2     

一道高考压轴题的溯源、新证及推广

安徽省2008年高考理科数学压轴题为： 设椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）过点M（√2,1）,且左焦点为F1（-√2,0）．     

一个n元分式不等式北大核心

《中学数学》2007年（7）P41证明了如下定理： 若a,b,c,d∈R＋,a＋b＋c＋d=1,1/（1＋a^2）^2＋1/（1＋b^2）^2＋1/（1＋c^2）^2＋1/（1＋d^2）^2≤824/289.     

新解2008年高考安徽卷理科第22题

2008年高考安徽卷理科第22题：设椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）过点M（√2，1），且左焦点F（-√2，0），     

拉格朗日恒等式与几个常用不等式

ax＋by≤√a^2＋b^2·√x^2＋y^2，2ab≤a^2＋b^2，a＋b≤2√a^2＋b^2（a，b，x，y∈R）是几个常用的不等式．文[1]利用三角代换，将这些不等式统一为研究sin（α＋β）的取值范围；文[2]通过构造向量，将这些不等式统一为研究向量夹角的范围．这两种方法均是将不等式问题转化为等式进行研究，这让笔者联想到拉格朗日恒等式可以用来处理此类问题．     

一道日本奥赛题的别证及其它

对如下一道日本数学奥林匹克试题： 问题1已知a,b,c〉0,求证：（b＋c-a）^2/（b=c）^2＋a^2＋（c＋a-b）^2/（c＋a）^2＋b^2＋（a＋b-c）^2/（a＋b）^2＋c^2≥3/5.     

一个引理和两道竞赛不等式的证明

本文先介绍一个引理,然后用它证明两道不等式赛题． 引理如果a,b是正数,则 3√a^3＋b^3/2≤a^2＋b^2/a＋b.     

对一道奥赛题的再探索

第三届（2006年）东南数学奥林匹克第6题为： 求最小的实数m，使不等式 m（a^3＋b^3＋c^3）≥6（a^2＋b^2＋c^2）＋1     

一个性质的另证与补充

文[1]研究并得出了椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质,并通过类比引申,得出了双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质．     

8-ranks of Class Groups of Some Imaginary Quadratic Number Fields

Let F = Q（√-p1p2） be an imaginary quadratic field with distinct primes p1 = p2 = 1 mod 8 and the Legendre symbol （p1/p2） = 1. Then the 8-rank of the class group of F is equal to 2 if and only Pl if the following conditions hold： （1） The quartic residue symbols （p1/p2）4 = （p2/p1）4 = 1; （2） Either both p1 and p2 are represented by the form a^2 ＋ 32b^2 over Z and p^h2＋（2p1）/4=x^2-2p1y^2,x,y∈Z,or both p1 and p2 are not represented by the form a^2 ＋ 32b^2 over Z and p^h2＋（2p1）/4=ε（2x^2-p1y^2）,x,y∈Z,ε∈{±1},where h＋（2p1） is the narrow class number of Q（√2p1）,Moreover, we also generalize these results.     

伸缩变换与椭圆性质再研究

《数学通讯》2007年第10期的文[1]用解析法证明了“椭圆a^2^-x^2＋b^2^-y^2=1（a〉b〉0）的内接三角形面积的最大值为4^-3√3ab”,     

一道课本习题的一个姊妹不等式及其应用

现行全习制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）P,,有这样一道不等式：对任意的实数a,b,c,d都有（a^2＋b^2）（c^2＋d^2）≥（ac＋bd）^2。     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，C均为正实数，证明： （a^5-a^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（a＋b＋c）^3.     

椭圆的一个性质及应用

一、问题与探求 问题A,B是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上任意两点,O为坐标原点且∠AOB=90°,试判断1/｜OA｜^2＋1/｜OB｜^2是否为定值？