The method of conjugate gradients in finite element applications

Summary The method of conjugate gradients is applied to solve the linear equations arising from the finite element approximations for an elliptic and a biharmonic boundary value problem. It is shown experimentally that a proper scalling of the matrix may reduce the required number of iteration steps substantially. The preconditionedcg-algorithm shows even faster convergence.

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Zusammenfassung Die Methode der konjugierten Gradienten wird zur Lösung der linearen Gleichungssysteme angewandt, wie sie aus der Methode der finiten Elemente zur Approximation eines elliptischen und biharmonischen Randwertproblems resultieren. Es wird das experimentelle Ergebnis gezeigt, dass die Zahl der erforderlichen Iterationsschritte gelegentlich allein durch eine geeignete Skalierung der Matrix wesentlich reduziert werden kann. Der vorkonditioniertecg-Algorithmus weist noch bessere Konvergenz auf.

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Dedicated to Professor E. Stiefel     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

A note on adaptive-wall wind tunnels

The scheme proposed by Ferri/Baronti and by Sears, in which the walls of a wind tunnel are iteratively adjusted in accordance with certain flow-perturbation measurements, is reviewed briefly.The iterative process is then simulated, within the scope of the theory of small-perturbation subsonic flows, for three cases of sinusoidal bodies in two-dimensional and circular tunnels. One of these cases is that of a lifting sinusoidal wing of small span tested in a circular tunnel.It is shown that convergence occurs in all cases if the relaxation parameterk, which is the fraction of the measured discrepancy distribution employed after each iteration, is chosen anywhere within a rather wide range of positive values. It is suggested that the results of this study cast light on the adaptive-wall scheme in general.

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Zusammenfassung Es wird ein kurzer Überblick über das von Ferri/Baronti und von Sears vorgeschlagene Prinzip der Verwendung eines Unterschallwindkanals mit anpaßbarer Geometrie gegeben. Die Veränderung der Geometrie erfolgt durch iterative Verstellung der Windkanalwände gemäß bestimmter Messungen der Störströmung. Anschließend wird der iterative Prozeß für drei sinusförmige Körper in zweidimensionalen und kreisförmigen Windkanälen mathematisch simuliert, wobei die Theorie kleiner Störungen für die Unterschallströmung zugrunde gelegt wird. Einer dieser Fälle ist ein sinusförmiger Tragflügel kleiner Spannweite mit Auftrieb, der in einem Windkanal mit kreisförmigem Querschnitt untersucht wird. Es wird gezeigt, daß die Konvergenz immer dann gewährleistet ist, wenn der Relaxationsparameterk innerhalb eines relativ großen Bereiches positiver Werte gewählt wird. Dieser Parameter ist ein Bruchteil der Abweichung, die sich nach jeder Iteration gegenüber der gemessenen Verteilung einstellt. Es ist anzunehmen, daß die Ergebnisse dieser Untersuchung ganz allgemein zum Verständnis des Prinzips der Windkanäle mit anpaßbaren Wänden beitragen.

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Dedicated to Prof. Dr. Nikolaus Rott, with warmest regards and congratulations, on the occasion of his 60th birthday.

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This investigation was carried out under Contract No. AFOSR 76-2954.     

The boundary layer on a rotating ellipse

Summary The boundary layer at the surface of an elliptic cylinder is considered, when the cylinder is set into uniform rotation about an axis through its centre, in a fluid that is otherwise at rest. It is shown, by numerical solution of the governing equations that, except for the limiting case of a circular cylinder, the solution develops a singularity at a finite time, which is interpreted as the onset of flow separation.

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Zusammenfassung Wir betrachten die Grenzschicht an der Oberfläche eines elliptischen Zylinders welcher in gleichmäige Drehung um sein Zentrum in einer sonst ruhenden Flüssigkeit versetzt wird. Es wirel durch rechnerische Lösung der bestimmenen Gleichunglen gezeigt, daß mit Ausnahme des Grenzfalles eines kreisförmigen Zylinders die Lösung eine Singularität nach endlicher Zeit annimrut welche als Begin der Flussseparation interpreties wired.

     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

Stirring of a viscous fluid

Zusammenfassung Untersucht wird die stationäre strömende Geschwindigkeit, die durch eine kreisförmige rührende Bewegung eines starren Zylinders induziert wird. Die Amplitude dieser kreisförmigen Bewegung wird im Vergleich zum Durchmesser des Zylinders als klein angenommen. Es wird gezeigt, dass bei genügend hohen Frequenzen der nicht-stationäre Wirbeleffekt auf eine dünne Stokes-Scherwellenschicht beschränkt ist, dass aber die induzierte Strömung ausserhalb dieser Region bestehen bleibt. Für den besonderen Fall eines runden Zylinders ergibt sich, dass diese stationäre Strömung von der Reynolds-Zahl unabhängig ist.     

Symmetric Oseen flow past a semi-infinite plate and two force singularities

Zusammenfassung Für die zweidimensionale, stationäre Oseen-Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und zweier zur Platte spiegelbildlich angeordneten Geraden von konzentrierten Kraft-Singularitäten wird eine analytische Lösung angegeben. Dieses Ergebnis wird zur vereinfachten Untersuchung der Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und eines symmetrischen Hindernisses benützt. Es wird auch gezeigt, dass die bekannten Lösungen von gewissen Oseen-Strömungsproblemen sich als Spezialfälle aus der neuen Lösungsformel ergeben.     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

Nonideal magnetogasdynamic flows in boundary layer approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden schwach konvergierende und schwach divergierende MGD-Strömungen in der Grenzschichtnäherung untersucht. Das Verhalten dieser magnetischen Grenzschicht, charakterisiert durch alleinige Berücksichtigung der magnetischen Viskosität und Vernachlässigung der dynamischen Viskosität, wird durch die starke Kopplung zwischen Magnetfeld und Strömungsfeld bestimmt. Es werden im allgemeinen durch diese Kopplung die MGD-Grenzschichtgleichungen komplizierter, so dass deren analytische Lösung nur mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen möglich ist. Nur im GrenzfallR _M (magnetische Reynoldszahl sehr gross) erhält man eine analytische Lösung. Mit Hilfe bestimmter Symmetriebedingungen werden die Lösungen auf symmetrische Strömungen eingeschränkt (freier Strahl oder Kanalströmungen). Schliesslich wird noch gezeigt, dass die endliche elektrische Leitfähigkeit die Ursache der freien Turbulenz gewisser Jet-Konfigurationen ist.

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This research has been sponsored in part by the United States Government under Contract No. F61052-67-C-0014.     

A note on non-uniqueness in linear elasticity theory

Zusammenfassung Es wird mit Hilfe von Gegenbeispielen gezeigt, dass die Annahme eines stark elliptischen Tensors der Elastizitätsmoduln für Spannungsaufgaben und gemischte Probleme der linearen Elastizität und sogar für das Verschiebungsproblem im Fall eines inhomogenen Körpers keine Eindeutigkeit garantiert. Für den Spezialfall eines isotropen Materials mit verschwindender Kompressibilität wird ein Ausdruck für die allgemeinste (nicht-eindeutige) Lösung des Spannungsproblems bei verschwindenden Oberflächenspannungen gegeben.     

A note on rational approximations of transcendental functions

Zusammenfassung Es wird gezeigt, wie man mit einfachen Mitteln rationale Näherungsfunktionen zur Annäherung von speziellen Funktionen erzeugen kann. Diese werden zur Inversion der Laplace-Transformationen bei einem Problem der Fortpflanzung von Spannungswellen benutzt. Die Ergebnisse der Näherungen werden mit anderen Näherungsmethoden und mit der exakten Lösung verglichen.     

On self-preserving,variable-density,turbulent free jets

Appropriately defined Gaussian error-functions are shown to represent closed-form solutions of self-preserving, axisymmetric, variable density, free turbulent jets. The turbulent diffusivities of momentum, mass or heat associated with such solutions are found to vary both in the streamwise and radial directions, and are different from each other. An entrainment function for the jet can also be derived from the present analysis. The entrainment coefficient is found to be uniquely related to the turbulent Reynolds number, Re _t , of the jet, which is one of the two parameters in the closed-form solutions. Inverse centreline values of velocity, density, mass fraction and temperature are found to be linearly proportional to the streamwise coordinate as are the spread of velocity and scalar. If the two parameters are determined from jet spread data, the resulting closed-form solutions are in good agreement with measurements.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß geeignet definierte Gauss'sche Fehlerfunktionen für ähnliche achssymmetrische Freistrahlen Lösungen in geschlossener Form darstellen. Die mit solchen Lösungen verbundenen Impuls-, Stoff- und Energieaustauschgrößen verändern sich sowohl in Strömungs- als auch in Radialrichtung und sind voneinander verschieden. Auch eine Entrainmentfunktion des Freistrahls ist ableitbar von der vorliegenden Analyse. Es wird gezeigt, daß der Entrainment-koeffizient des Freistrahls einzig von der turbulenten Reynolds-Zahl Re _t , einem der zwei Parameter der Lösung, abhängig ist. Die Inversen der Geschwindigkeits-, Dichte-, Massenverhältnis- und Temperaturwerte auf der Strahlachse steigen in Strömungsrichtung linear an. Wenn die zwei Parameter aus den Versuchswerten der Strahlausbreitung ermittelt werden, ergibt die resultierende analytische Lösung eine gute Übereinstimmung mit den Messungen.

     

Integral representations in two dimensional potential theory

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass mittels einer passenden Integraldarstellung der Potentialfunktion eine Klasse von Problemen der zweidimensionalen Potentialtheorie auf die Lösung einer Abelschen Integralgleichung zurückgeführt werden kann. Das Verfahren wird durch Anwendung auf Probleme der klassischen Aerodynamik, der Magnetoaerodynamik und der Elastizität veranschaulicht.     

A method for studying the diffusion of silver iodide particles in the atmosphere by means of I131

Zusammenfassung Es wird eine neue Methode entwickelt zur Erfassung der Diffusion des zur künstlichen Wetterbeeinflussung verwendeten AgI-Rauches in der freien Atmosphäre. Der durch Verwendung von I¹³¹ radioaktiv gemachte AgI-Rauch wird in speziellen Papierfiltern, die am Messflugzeug befestigt sind, aufgefangen; mittels eines chemischen Prozesses wird das AgI aus den Filtern gelöst und sodann auf eine Kernphotoplatte gebracht, wo die Zahl der -Spuren ein Mass für die Anzahl der in der Luft gefundenen AgI-Partikel darstellt.

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Paper presented at the 3rd International Symposium on Atmospheric Condensation Nuclei, Cambridge, England, July 16–18, 1958.     

On the theory of imploding shocks

This paper is concerned with the non-monotonic distribution of the static pressure behind self-similar imploding shocks as revealed by the numerical solutions of Landau and Stanyukovich. It is found that in terms of the ratio of the reduced gas velocity to the similarity variable, the exponent equation derived from the condition of zero pressure gradient and that derived from the theory of singularity are of identical form. The identicalness is shown to be formal only. It is shown that both equations can be obtained from a unified equation. Using these results, it is shown that within the framework of inviscid self-similar solutions, the zero pressure gradient cannot exist immediately behind the shock for2+3. Applying the unified equation, it is analytically shown that as approaches unity the similarity exponents also approach unity independent of the dimensionality, a result previously obtained by Lazarus and Richtmyer.

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Zusammenfassung Die nicht-monotone statische Druckverteilung hinter selbst-ähnlichen implodierenden Stößen, dargestellt in den numerischen Lösungen von Landau uad Stanyukovich, ist Gegenstand dieser Arbeit. Es wird gezeigt, daß in bezug auf das Verhältnis zwischen reduzierter Gasgeschwindigkeit und der Ähnlichkeits-Veränderlichen, die unter der Null-Druckgradient-Bedingung und der Singularitätstheorie abgeleiteten Exponentengleichungen identisch sind. Des weiteren wird gezeigt, daß die Identität nur formal ist, daß beide Gleichungen von einer Einheitsgleichung abgeleitet werden können und daß im reibungsfreien Bereich der Null-Druckgradient unmittelbar hinter dem Stoß für2+3 nicht bestehen kann. Bei Anwendung der Einheitsgleichung läßt sich zeigen, daß unabhängig von ihrer Dimensionalität, sowohl als auch die Ähnlichkeitsexponenten sich Eins annähern, wie bereits von Lazarus und Richtmyer angegeben wurde.

     

Study of cylindrical piston problem in water using P-L-K method

Zusammenfassung Die in ruhendem Wasser durch die gleichförmige Ausdehnung eines Zylinderkolbens (Anfangsradius null) verursachten Druckwellen werden hier bei kleiner Machzahl nach der P-L-K-Methode untersucht. Es wird gezeigt, dass die Stoßstärke mit der vierten Potenz von der Kolbenmachzahl abhängt.     

Expansion procedures and similarity laws for transonic flow

Zusammenfassung Die schallnahe Näherungslösung für die Umströmung eines schlanken Drehkörpers wird mit Hilfe einer mathematischen Entwicklung beschrieben. Die Entwicklung wird durch eine abnehmende Folge von Funktionen des Dickenverhältnisses dargestellt, und ein Ähnlichkeitsparameter, der Machsche Zahl und Dickenverhältnis enthält, wird eingeführt. Die ersten Glieder der Entwicklung der Geschwindigkeiten nahe der Achse werden erhalten, und die Ähnlichkeitssätze für Druckkoeffizient und Widerstandsbeiwert eines nichtangestellten Körpers werden abgeleitet. Mit Hilfe einer anderen Entwicklung wird eine angenäherte area rule (Flächenregel) für einen Körper, dessen Querschnittsfläche nicht kreisförmig ist, erhalten.     

Euclidean matching problems and the metropolis algorithm

The Euclidean matching problem consists in partitionning a cloud ofn points inton/2 pairs such that the sum of the euclidean distances between the endpoints of each couple is minimized, resp. maximized.In this paper the thermodynamically inspired approach of simulated annealing is applied to find good approximations to large scale problems of the above kind. Also the asymptotic behaviour of random euclidean matching problems is studied, in particular computational results on the rate of convergence towards the asymptote are given.

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Zusammenfassung Euklidische Matching-Probleme bestehen darin, eine ausn Punkten bestehende Wolke derart inn/2 Paare zu partitionieren, daß die Summe der Abstände zwischen den Endpunkten der Paare minimal bzw. maximal wird. Vorliegende Arbeit beschreibt die Anwendung der simulierten Abkühlung, eines durch die Thermodynamik inspirierten Verfahrens, zur Lösung großer derartiger Probleme. Zudem wird das asymptotische Verhalten zufälliger euklidischer Matching-Probleme studiert, insbesondere werden numerische Angaben zur Konvergenzrate gegen die Asymptote gegeben.

     

On the higher-order stroboscopic method

The stroboscopic method is a semi-analytical method for the solution of the equations of a perturbed dynamical system depending on several slow variables and one fast variable. It is shown how this method can be generalised to higher order approximations. An important application has been made in satellite dynamics.

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Zusammenfassung Die stroboskopische Methode ist eine semi-analytische Methode zur Lösung der Gleichungen eines gestörten dynamischen Systems welches von mehreren langsamen Variablen abhängt und einer schnellen Variablen. Es wird gezeigt, daß sich die Methode auf Approximationen höherer Ordnung verallgemeinern läßt. Eine wichtige Anwendung findet sie in der Satellitendynamik.

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Dedicated to Professor Eduard Stiefel     

The flow due to the motion of an object through a non-diffusive stratified fluid confined between horizontal planes

Summary Very slow translation of an object through a stratified fluid confined between horizontal planes causes a very long upstream wake just as in the case when the fluid is unbounded. If the Froude number is exceedingly small and the Reynolds number is not too small, the inviscid core of the wake is bounded by boundary and shear layers which merge into the core far upstream to make the entire upstream motion viscous. We present here a solution which is uniformly-valid upstream of the obstacle. The downstream motion for an object which is a semi-infinite rectangular prism is uniformly viscous dominated, and a solution may also be constructed in that region. We further show that no downstream-growing boundary layers are possible in any such small-Froude-number flow.

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Zusammenfassung Die sehr langsame Translation eines Körpers in einem geschichteten Fluid, der durch zwei horizontale Platten begrenzt wird, verursacht eine sehr lange Delle stromaufwärts, genau wie im Fall einer unbegrenzten Flüssigkeit. Wenn die Froude-Zahl äusserst klein ist, und für nicht zu kleine Reynolds-Zahl, wird der reibungsfreie Kern der Delle durch Grenz- und Scherschichten begrenzt, die weit stromaufwärts mit dem Kern zusammenfliessen, so dass die ganze Strömung zähigkeitsbehaftet wird. Es wird hier eine Lösung gegeben die weit stromaufwärts gleichförmig gültig ist. Die Bewegung stromabwärts ist für einen Körper in der Form eines halb- unendlichen rechteckigen Prismas gleichförmig durch die Zähigkeit beherrscht, und es kann eine Lösung für dieses Gebiet konstruiert werden, wird auch gezeigt, dass für derartig kleine Froude- Zahlen keine Grenzschichten möglich sind, die stromabwärts anwachsen.