数学解题中的优化假设举例

在解题教学中注重优化假设的数学思想与方法 ,探索解题的思路和规律 ,能培养学生的直觉思维、发散思维和想象力 .在各类的数学问题中 ,有许多的题目可由条件和结论的特殊性与一般性的辩证关系 ,采用优化假设思想 ,创设新的解题思路 ,优化解题过程 .优化假设通过恰当的假设处理问题 ,优化出新的解题方法与思路 .优化假设是科学的发现、创造的方法之一 ,在优化假设过程中 ,体现了假设、猜想、优化等数学思想 ,渗透了数学其他的方法和思路 ,在高考和数学竞赛题中有许多数学问题能采用此方法给予解决 .1　假设条件特殊化优化解题思路一个命题成…     

特殊化——一种有效的数学思维方法

客观事物的发展,总是经由由简单到复杂、由特殊到一般、由个体到群体、由具体到抽象这样一个过程;人们对客观事物的认识也是如此;在数学解题研究中的特殊化思考法,就是基于这一原理。一、什么是特殊化方法 1.G.Polya的例子及其分析当代美国著名数学家、数学教育家G.Polya在其名著《数学与猜想》里指出:“特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那包含在这集合内的较小的     

“加0”与“乘1”

在数学解题中,为完成论证,求值、化简等任务,常要对某些式子进行恒等变形,但恒等变形又无一定之规,一个式子往往有多种可能的变形方向,因题而异,技巧性非常强.本文介绍两种常用的恒等变形技巧——“加0”与“乘1”.在解题中适当地运用这两种变形技巧,可化繁为简、化难为易,能产生“山重水复、柳暗花明”的效果,从而达到事半功倍.     

解题中的“想”

学习数学意味着解题,探索解题途径需要积极而活跃的想．有的人“会想”,这样试试,那样想想,很快就找到了解题的“门路”；有的人却不然,何故?本文试图通过一个实例谈谈解题中的想．一、回想在认真审视命题的基础上,根据题目的条件和结论的联系,回想与题目有关的基本     

数列解题中的“管中窥豹”

解题就是解决矛盾 .由于矛盾的普遍性寓于特殊性之中 ,因而问题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情形必须为真 .有些数学问题 ,直接从一般情况求解有时难以入手 ,这时我们可先考虑它的某一特殊情况 ,据此可检验答案的真伪 ,简化计算 ;有些数学问题 ,其特殊情形的解与一般情形的解往往有共性 ,这时我们可由“一斑”迅速判断“全身” ,再加以论证 ,起到事半功倍之效 .下面举例谈谈数列解题中的“管中窥豹”———特殊化处理 .1　取特殊值判断真伪例 1　若数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1 (ａ为常数 ,且ａ≠ 0 ) ,则 {ａｎ}是 (　　 )(…     

挖掘隐含条件解题之管见

在某些数学命题的题设中,有时不明确地点明已知条件,或在明确条件中还可能隐去一两个条件,这种隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”,对隐含条件学生解题时往往被忽视.造成解题错误或者解题过程繁琐,或认为题目缺少条件而束手无策,本文就如何挖掘和利用隐含条件来解题谈点体会.     

应用“中途点理论”解题

在论述如何解题、如何导向数学发现时,世界数学大师波利亚(G·Polya)强调“不断地变换你的问题”、“我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西为止”,他认为,解题过程也就是问题变换的过程。     

隐含条件“隐”在何处

学生答错题的原因多种多样,有知识掌握不牢固、论证不严密、解题方法选择不当等．此外,也有心理因素和偶然因素．知识性错误是指对试题涉及到的有关知识不能正确理解,或运用不当,因此不能正确陈述解题过程和结论而导致的错误．学生在解题时,注意力集中在某些条件而经常忽视题目的隐含条件导致解题错误,这是知识性错误中常见的一种．那么隐含条件究竟“隐”在哪里？     

怎样构造反例

反例指满足题设条件而结论不真的命题．立体几何判断题中的假命题，常可用反倒去应证．但由于有些学生想象能力欠佳，思维不严谨，解题时总是“想不到”反例．究其原因，主要是“不会想”．所以，教学时应回答“怎么想”这一关键问题．1将一般情形特殊化特殊化后得到命题的简单情形，它的真、假是很容易验证的．所以寻求反例，特殊化是一条途径，简单情形是“一面镜子”．例1判断命题真假：“一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，则这两个二面角相等或互补”．分析对二面角来说，一般情形是非直二面角，特殊。情形是直二面角…     

例谈构造法解题

构造法是数学解题中的数学转化方法之一,其实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为"元件",用已知的数学关系为"支架",在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式;或者利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设计一个合理的框架,从而使问题转化并得到解决的方法.正由于构造法的这些特点,使构造法成为解题的主要方法之一,并且在中学数学中有着广泛的应用.本文通过几个例子来谈谈构造法解题.……     

特殊化方法在解高考题中的三种功能

“特殊化”是中学数学里很重要的一种思想方法,稍加留心就可看到高考试题里有许多能够用“特殊化”方法解决的问题.特殊中蕴藏着一般,这是一个辩证的思想,所以在解决高考数学问题时,我们也可经常回归特殊,在特殊中寻找一般思路.特殊化方法在解决高考试题中有三种功能:提示解题方向、寻找解题途径、直接解答问题.下面举例加以说明.1.提示解题方向有些题目的结论不明确,将问题的条件特殊化,可以找到结论,从而发现解题前进的方向.例1设无穷等差数列{an}中的前几项和为Sn.(Ⅰ)若首项a1=32,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k.(Ⅱ)求所有的无穷…     

重视“差异”分析 提高解题能力

在每年的高考试题中，总有部分试题被考生认为是做过或教师讲过的“熟题”，而且有些考题与“熟题”仅是点滴差异，但不少考生在解答过程中由于受思维定势的影响，未能注意到这些差异引起的变化，导致解题失误．因此在平时教学中，必须重视对问题的差异进行分析，使学生能透过现象看到其本质，从而提高解题能力．本文分析数学教学中常见的几种差异，望能从中得到启示．1语言差异数学语言是数学描述方法的定量化及数学思维的逻辑化的直接体现．常有三种：一种是文字型语言，即用文字来表述一个概念、定理、法则等，另一种是符号型语言，它由…     

先“退”后“进”的解题策略

先“退”后“进”是研究数学的一个重要方法。所谓“退”,就是把复杂的、抽象的,一般的数学问题简单化、具体化、特殊化。对这些简单的、具体韵、特殊的情况加以分析研究,找出规律,然后类比推广,这就是“进”,进到一般的结论上去。例题把1到100这一百个自然数依次排成一横行,称为第一行,把第一行中相邻的两数相加,得第二行;再把第二行相邻的两数相加,得第三行;这样继续下去,最后得到的一个数是( )。     

活用特殊化思想巧解数学解答题

在数学解题中,探求解题思路与方法是最重要、最难把握的一个环节,是学生解题中的难点.特殊化(巧用条件或结论的特殊性)思想方法是一种重要的思考方法,在初等数学中有着广泛的应用.希尔伯特也曾说:"在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用,我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样一个事实,即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决他们."本'文对特殊化思想方法在解答题中的作用进行归纳,以供大家参考.……     

数学论证中的逻辑问题

数学论证就是根据已知的公理、定理、定义、公式等数学命题来确定另一数学命题真实性的推理过程。下面是论证过程中应遵守的几项规则,否则犯逻辑错误。一、论题方面: (1)论题必须明确。若论题含糊不清,将犯“以讹传讹”的错误。例如,“两三角形相似时,求证它们的中线成比例”。这里的论题是含糊不清的:六条中线怎样成比例呢?即使“证池来”了,也是个假命题。只有在“中线”前面加上“对应边上的”这一条件,论题才算明确了。 (2)论题必须如一。若随时改变论题,将     

学会特殊化方法

<正>特殊化方法是数学学习中的常用方法.对于某些数学问题,借助特殊化方法,可以更易获取解题思路,从而解决问题.所谓特殊化方法,是指从一个问题的某种特殊情形入手,发现破解问题的信息端倪,并由此探寻解决问题的思维脉络的一种数学思维方法.运用特殊化方法解决一个数学问题,通常可以从特殊数值、特殊位置、特殊模型等三个"特殊"入手.本     

从“特殊化法”入手

许多数学问题,虽然其表现形式可能是较为复杂的一般情形,但其本质总存在着简单的一面．因此不妨从一般退到特殊,用“特殊化法”对问题进行整体处理或实施赋值、降维、减元等转化的策略,从特殊情况的探究中,寻找解题思路,发现解答问题的方向或途径,并能快速得出一般结论．     

也谈“特殊化”解题

数学特殊化方法是指从考察符合问题的条件(如特殊值、特殊位置与特殊图形)入手,从中找出解决问题的方法与思路,进一步通过不完全归纳、猜测、转化等手段得到解决问题的方法或思路.特殊化方法是一种较为重要的数学     

学会特殊化方法

特殊化方法是数学学习中的常用方法.对于某些数学问题,借助特殊化方法,可以更易获取解题思路,从而解决问题.所谓特殊化方法,是指从一个问题的某种特殊情形入手,发现破解问题的信息端倪,并由此探寻解决问题的思维脉络的一种数学思维方法.运用特殊化方法解决一个数学问题,通常可以从特殊数值、特殊位置、特殊模型等三个＂特殊＂入手.     

谈数学奥林匹克试题的命制

秘鲁大学教授J·N·Kapur先生曾指出 :“在数学中 ,我们从明显的事实出发并从此推出不够明显的事实 ,再从此推出更不明显的事实 ,如此下去以至无穷 .”这也是数学奥林匹克命题所采用的常用手法 .从一个基本问题、或基本定理、或基本公式、或基本图形、或一组条件出发 ,进行逻辑推理 ,从易到难 ,逐步演绎深化出一个较难的问题 .解题中的观察、联想、类比、化归、变换、赋值、放缩、构造、一般化、特殊化、数形结合等方法或技巧 ,都可以从相反的方向用于演绎深化命题之中 ,所不同的是 :命题着眼于扩大条件和结论之间的距离 ,力图掩盖条件和…