微分算子的迹

§1.引言、常型 微分算子的单个特征值一般是很难求的.矩阵也是如此.不过矩阵论中有一个非常重要的事实:全体特征值的对称函数可以用矩阵的元素(算子量)直接表出.事实上,由展式:可知,特征值之和∑λj等于对角线元素之和(矩阵的迹)∑αjj;特征值的二次基本对称函数∑λjλk等于A的一切二阶主子式之和,等等. 对于微分算子,全体特征值的对称函数是否也可用算子量直接表出呢?最简单的对称函数是∑λj,不过由于微分算子的无界性,它是发散的.一个自然的想法是将它正则化,即从     

含有积分、反周期和带P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性

利用格林函数的性质和Banach压缩映射原理讨论了含P-Laplacian算子反周期边值问题的解.首先,求出与该边值问题相关的格林函数并给出了格林函数的性质;然后将边值问题转化为与其等价的积分方程,利用格林函数的性质及Banach压缩映射原理得到边值问题解的唯一性;最后给出实例验证结果的合理性.     

具有非Abel内部对称性的非拓扑性孤立子

本文研究3+1维空时中具有非Abel内部对称性的非线性标量场系统的非拓扑性孤立子,对内部对称性为SU(2)的情形,进行了比较细致的讨论,以具体模型为例,讨论了经典单孤子解的存在性和稳定性,用集体坐标法讨论了单孤子解的量子化,指出量子化的孤子除了普通的3外,还可能有一个新的同位旋量子数′3,提出了一种新的运动孤立子量子化的Lorentz协变性的处理办法。     

规范场的分解约化及可Abel化场对偶荷解

本文根据荷算符的同位旋方向,将规范势与其场强规范协变地分解成以该荷及其对偶荷为源的场和带该荷的矢粒子场。写出了SU(N)/U(1)~(N-1),SU(N)/SU(P)SU(N-P)U(1),SO(N)/SO(N-1)规范场的明显分解式——其中包括各种推广的’t Hooft场强式.将可Abel化的规范场的无源方程分离变量化简,求得了静多体点荷系解及直线运动加速荷的推迟解。     

高层大气结构与动力学若干问题的解析理论(Ⅰ)

本文首次推导并讨论了热层大气影响函数,潮汐微分算子及其本征函数与扩散波等新函数和概念。 对于热层大气浓度和温度变化,找出了一种新的解析解法,把周期变化方程变换成二阶自共轭非齐次微分方程,并由此推导出热层大气影响函数这一类新函数。对于三维情形,用分层模式法和积分变换法得到了分层影响函数与热层大气潮汐微分算子及其本征函数。这一新算子是广泛应用的球谐波算子和Laplacc潮汐微分算子的推广;新本征函数是包括球函数和Hough函数在内的一类更加广泛的函数。 文中还讨论了这些新函数与概念在热层大气结构和动力学研究中的意义;并求解了中、小尺度热层大气波动的色散方程,从理论上推出了一类新波动——扩散波。     

渐近线性算子的多重解

本文在半序Banach空间中,研究了带实参数λ的渐近线性算子f(x,λ)存在两个以上正不动点的问题.引进了非线性算子“超于”或“次于”一个线性算子的概念.用它讨论了在零分歧点及无穷远分歧点附近,解集将被迫限于分歧点的一侧的各种情况.这些结果被用来研究半线性椭圆型方程的边值问题的多个正解的存在性。     

分子多重散射Xα-自洽场方法——原子氛重叠模型

本文在推导出非齐次Helmholtz方程格林函数的双中心重叠域球坐标展开式的基础上,求得了原子氛重叠模型的分子多重散射X_α-自洽场方法的正确结果.     

非平衡开系统计力学的一种形式表示

本文用含时投影算子方法发展了一种研究非平衡开系的形式理论。分析表明,环境对开系的影响主要取决于一个非马尔科夫项,此项由环境本身及其与体系的相互作用决定。在环境是热池的情况下,此项只由该相互作用决定。 文中给出了计算此非马尔科夫项的两种方法。一种归结为求解一个Volterra方程,另一种归结为求解一类新的推迟双时格林函数的练方程。     

一类具有转移条件的Sturm-Liouville方程的谱性质

研究一类具有转移条件和特征参数相关边界条件的不连续的Sturm-Liouville方程.构造了一个新的算子,并且在新的Hilbert空间中证明了其自伴性.构造了基本解,给出了特征值和特征函数的一些性质,以及渐近估计式,证明了特征函数系的完备性,并且得到了问题的格林函数和预解算子.     

三维旋涡星系的泊松方程严格解

本文在星系密度螺旋形扰动的径向部分为Hankel函数的情况下,利用文献[2]中所提出的以无限薄盘的Poisson方程的解作Green 函数,用积分变换方法,求出了有限厚盘状星系的对称面(z=0)上Poisson方程的严格解。并给出了在z≠0处扰动引力势的分析解。由此较满意地解释了一些观测现象,如银河系的“三千秒差距臂”,并提出了一种估计星系厚度的方法。本文的结果,在ar>>1和|k|r>>1的极限情形下,自然地过渡到林家翘等用W.K.B.近似方法所得到的解,以及彭秋和等利用积分变换和最速下降法所得到的结果。     

推广的Volterra复合算子的本性范数

本文研究单位圆盘上Bergman型空间到Zygmund型空间上的一类推广的Volterra复合算子.利用符号函数ϕ和g刻画这类算子的有界性、紧性,并计算其本性范数.     

一类广义差商的Leibniz公式与Green函数的递推关系

本文研究具有幂基解组的微分算子所定义的广义差商的Leibniz公式及其格林(Green)函数的递推关系.     

一类分数阶p-Laplacian具积分边界的多点边值问题

在含p-laplacian算子的基础上,将多点边界条件与积分边界条件相结合,研究一类新的任意阶分数微分方程.通过求解等价积分方程,得到格林函数,再定义一个Banach空间中的连续算子,最后利用锥理论和不动点定理证明边值问题解的存在性,并通过实例验证所得结果的有效性.     

π—核电荷交换反应

本文用多重绕射理论,讨论了强子引起的核反应。采用了分离变数的方法来计算高次项,从而能处理一般的核结构组态对反应截面的影响。并用此方法给出了π^-核的单电荷交换反应及双电荷交换反应的振幅。对O¹⁸(π⁺,π⁰)F¹⁸和O¹⁸(π⁺,π^-)Ne¹⁸的同位旋相似态之间的反应截面,用壳模型纯组态和SU³波函数分别进行了计算。结果表明核结构对截面的影响是很重要的。     

关于多极点的k-格林函数

研究了k-Hessian算子对应的多极点k-格林函数,得到了在k-超凸域上的连续性与边界行为,并通过Lelong-Jensen公式展示了k-Hessian边界测度与k-凸函数在极点处函数值之间的关系.     

G·格林与位势理论

格林(G·Green,1793~1841年)是19世纪前期英国数学家,他继承了前人的成果,引入了位势概念,建立了“格林函数”,提出“格林定理”和 n 维空间概念.直到今天,学过高等数学和大学物理的人都知道“格林公式”、“格林函数”、“格林算子”、“格林空间”和“格林测度”等.1　移植思维出成果格林创立位势理论运用的是移植思维方法.大家知道,数学抽象性这一特点,具有促成不同学科领域相互模拟、相互移植的功能.以二阶常微分方程为例d2ydx2 pdydx Qy = f(x)在力学中可表示为强迫振动方程,在电学中可表示为电阻、电感、电容串联电路方程,在…     

彩色图象边缘检测的新算法——广义模糊算子法

给出了广义模糊集合的定义,并提出用一个广义模糊算子将广义模糊集合变换成普通模糊集合,从而为二维图象边缘检测的最新算法——广义模糊算子法奠定了充分的理论依据.实践表明,这是一个简单、快速且定位精度很高的算法;此外,文中还就彩色图象的边缘检测问题,提出了具体的实施步骤.     

任意旋成面叶栅杂交型气动命题的变分原理与广义变分原理

本文建立了任意旋成面叶栅一种杂交型命题——在叶型周线的某段上给定叶型形状,而在其余段上则给定流速分布——的两族气动变分原理与广义变分原理,从而使正命题与反命题的处理完全统一起来,并加以推广.文中充分发挥了“自然边界条件”和“人工分界面”的有力作用,以简化各种复杂边界条件的处理,并提出了一个新的短函数.本文为在叶轮机叶栅的气动问题中引进和推广有限元法、变分-差分解法以及变分直接解法,提供一个更广泛、更完密的理论基础.     

量子开放体系中推广拉氏变换切断近似求解的一个简便途径

本文从非平衡态量子开放体系主方程出发,通过建立复合算子统计平均值的运动方程组,并应用推广拉氏变换和采用类似双时格林函数的切断近似方法,提供求解量子统计中不可逆过程的另—种简便途径。     

关于不定尺度空间Πk上算子

本文的目的是讨论不定尺度空间Π_k(k≤∞)上的酉算子和自共轭算子.文中给出了酉算子的谱半径.对于Pontryagin空间Π_k(即j<∞),进一步给出了酉算子和自共轭算子的三角模型以及模型的某些应用.