非结合非分配的环(Ⅴ)

本文引进了广义结合两非环 R 的导环 G 的概念,并对 G 引进可逆元集合的“Ore 条件”,从而引出 G 的左半群商环 Q 概念。利用 Q 的构造,我们定义了 R 的闭左理想,并指出 Q 的左理想与 R 的闭左理想是一一对应的,同时证明了:如 R满足闭左理想极大或极小条件,则 R 必满足闭左理想极小及极大条件。本文还指出,特别当 R 是通常结合环时,如 R 满足通常意义下的 Ore 条件,则 R 的导环 G 总满足可逆元集合的 Ore 条件。因此,结合环及有通常意义下的左商环必伴随着 G 的左半群商环 Q 的存在。本文还研究了此二种不同观念的“左商环”之间的结构关系。     

与线性变换的完全环同构的环理论(Ⅰ)

<正> 熟知地,满足极小条件的单纯环只与一个有限维向量空间的线性变换的完全环同构.并且此向量空间如取为左向量空间的话,那末R的任一极小右理想均可取为此左向量空间.在没有有限条件情况下,Jacobsoo用本原环来取代这种单纯环.接着Wolfson研     

非结合非分配的环(Ⅱ)

本文继上文(Ⅰ)的理论,共分二节,第一节继续上文的理想理论,引进两非环的半素理想及半准素理想概念,并对它们作基本性质的研究.第二节引进根及半单纯概念建立分解成单纯子环直和的有关诸定理.     

非结合非分配的环(Ⅲ)

本文继上二文(Ⅰ)、(Ⅱ)的理论,并把(Ⅱ)中能分解成单纯子环直和的半单纯环概念及其定理推广到能同构于单纯子环的一个子直和的半单纯两非环概念及其有关定理.然后又把后者概念扩展到§3中所定义的可分和两非环概念,并对可分和两非环给出了使Wedderbum主要定理成立的一个充分条件.     

ζ-半单纯环的结构

<正> 在[1]中引进了环的σ-理想,建立了σ-理想理论.本文进一步定义环的ζ-根,研究ζ-半单纯环的结构.主要结果:ζ-交换环只是ζ-半单纯的,当且仅当只是有限个ζ-单纯理想的直和.若ζ-是R的恒等自同态,就得到通常的Wedderburn-Artin结构定理.本文中所讨论的环都表示结合环.     

非结合的Γ-环

N.Nobusawa 在〔1〕中引进了Γ-环的概念。W.E.Barnes 在〔2〕中定义Γ-环的素理想,准素理想;证明了满足理想升链条件的Γ-环的一个理想如果有准素表示,通常的唯一性定理成立。在这篇文章中,我们将定义非结合的Γ-环的概念,利用〔3〕中的方法定义非结合的Γ-环的 u-素理想,任一理想的根集,给出二种 u-准素理想的概念;讨论了在满足理想升链条件的Γ-环里,如果一个理想有 u-1(或2)准素表示,通常的唯一性定理成立的问题。我们的结果自然可以适合一般的非结合环.     

零化子素理想和半素环

本文给出了一类满足零化子升链条件的环是半素环的一些充要条件 证明了:一个有右Krull维数(或是右非奇异)的满足右零化子升键条件的环R,若R有右Artin右分式环,则R是半素环的充要条件是R的任一极小素理想不是本质右理想。     

与线性变换的完全环同构的环理论(Ⅱ)

<正> 为了进一步对本原环结构的研究,本文引进规范环的概念,我们说环R是规范的,若R是一个线性变换完全环并且及的基座对于任一对应基{E_i}皆有=∑RE_i=∑E_iR.容易知道,满足单侧理想极小条件的单纯环必是规范的.     

非结合非分配的环(Ⅰ)

本文抛弃通常用元素满足一些特定等式来定义环的观念,而用特定点集满足一些特定点集所包含的关系式来引进环的概念,从而定义了非结合非分配的环,它包含通常的各种环类,此外,本文还对非结合非分配环建立了理想理论。     

亚直不可约环是体的条件

设R是结合环,H是R中全部非零理想之交,若H≠(0),则称R是亚直不可约环。本文研究了亚直不可约环是体的条件,得到: 定理 R是具有极小单侧理想的亚直不可约环,且H中无非零幂零元,则R是体。     

有限級有序加羣及有序環的表現

在另一文中,我们讨论了由全体2维實向量所成的有序环,在该文最後並说當维数n>2时(n为有限)也可类似地作初步讨论.为了显示这种向量环的用途,我们考虑用向量环来表现一般有序环的问题.在本文中我们证明:任一“n级的”(见以下定义)有序环都能与一个由若干n维實向量所组成的有序环同构.(主要在於证出关於n级有序加羣的类似结果.)我们希望有较好的结果,即:任一n级有序环都能与由全体n维實向量所成的一个有序环的一个子环同构,但未能证明或否定.     

CLASSICAL QUOTIENT RINGS OF GROUP RINGS

Abstract

Throughout G will denote a free Abelian group and Z(R) the right singular ideal of a ring R. A ring R is a Cl-ring if R is (Goldie) right finite dimensional, R/Z(R) is semiprime, Z(R) is rationally closed, and Z(R) contains no closed uniform right ideals. We prove that R is a Cl-ring if and only if the group ring RG is a C1-ring. If RG has the additional property that bRG is dense whenever b is a right nonzero-divisor, then the complete ring of quotients of RG is a classical ring of quotients.     

由环的幂零性所确定的根

结合环中的环的幂零性不是根性质。为此，本文将结合环中的幂零理想概念扩展为次拟幂零理想和拟幂零理想，定义次拟幂零根ＳＮ和拟幂零根ＱＮ，证明它们均为Ａｍｉｔｓｕｒ－Ｋｕｒｏｓｈ根，且二者相等，进一步，我们给出了ＱＮ－半单环的构造命题和ＱＮ－根的模刻划。     

A NOTE ON POLYNOMIAL RINGS OVER VON NEUMANN REGULAR RINGS

Abstract

Let R be an associative ring with 1. It is well known (see [1], [2]) that if R is commutative, then R is Yon Neumann regular (VNR) <=> the polynomial ring S = R[x] is semihereditary. While one of these implications is true in the general case, it is known that a polynomial ring over a regular ring need not be semihereditary (see [3]). In [4] we showed that a ring R is VNR <=> aS + xS is projective for each a ε R. In this note we sharpen this result and use it to show that if c is the ring epimorphism from R[x] to R that maps each polynomial onto its constant term, then R is Yon Neumann regular <=> the inverse image (under c) of each principal (right, left) ideal of R. is a principal (right. left) ideal of R[x] generated by a regular element. (Here an element is regular if and only if it is a non zero-divisor).     

ON SOME PROPERTIES OF IF RINGS

Abstract

We show that left IF rings (rings such that every injective left module is flat) have certain regular-like properties. For instance, we prove that every left IF reduced ring is strongly regular. We also give characterizations of (left and right) IF rings. In particular, we show that a ring R is IF if and only if every finitely generated left (and right) ideal is the annihilator of a finite subset of R.     

环的投射生成元和K0群

设Ｒ是含幺结合环,Ｐｇ（Ｒ）是Ｒ的所有投射生成元的同构类组成的半群,Ｇｒ（Ｐｇ（Ｒ））是Ｐｇ（Ｒ）的Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ群,在本文中我们证明了Ｋ０（Ｒ）＝Ｇｒ（Ｐｇ（Ｒ））。由此我们得到对任意ＶＢＮ环Ｒ,存在环Ｓ满足Ｓ＾２＝Ｓ并且具有Ａｕｔ－Ｐｉｃ性质,最后我们给出了环的一个分类,并且用Ｐｇ（Ｒ）的周期性对它作了描述。     

EXCHANGE MORITA RINGS

In this paper we characterize the largest exchange ideal of a ring R as the set of those elements x ∈ R such that the local ring of R at x is an exchange ring. We use this result to prove that if R and S are two rings for which there is a quasi-acceptable Morita context, then R is an exchange ring if and only if S is an exchange ring, extending an analogue result given previously by Ara and the second and third authors for idempotent rings. We introduce the notion of exchange associative pair and obtain some results connecting the exchange property and the possibility of lifting idempotents modulo left ideals. In particular we obtain that in any exchange ring, orthogonal von Neumann regular elements can be lifted modulo any one-sided ideal.