多複變數非歐空間中黎曼曲率的估值問題

<正> §1.引言 用(z)=(z~1,…,z~n)代表n個複變数,並命z~k=x~k+iy~k,此處x~k,y~k(1≤k≤n)是實數。代表x~1,…,x~n,y~1,…,y~n所定義的2n維空間中的一個域。我們現在並不假定它是受囿,抑單連通等性質。命     

經驗分佈對理論分佈的比值

<正> 設F(x)是隨機變数X的分佈函數,x_1,x_2,…,x_n是對X的n次相互獨立觀測的結果.將n個數據按照數值從小到大排列起來,以x_k代表其中的第k個,我們把原來的結果寫成     

谈一個製造處處不可微分的連續函數的方法

一.引言 連續函數不一定可微分,而且有的連續函數處處不可微分,最早舉出這種例子的是Weier-strass,他的例子是: F(x)=sum from n=0 to +∞(b~n cos(a~nπx)), (a是奇数,01+3π/2) (1)比較新的一個例子是van der Waerden所舉出的,那就是 f(x)=sum from n=I to +∞(fn(x)), (2)其中f_n(x)表示從x到離x最近的分數m/10~n(m是任意整數)的距離,有了這兩個例子,製造處處不可微分的連續两數的問題便已經是圓滿地解决了。     

一個組合問题

有一個問題:“以20冊數學通報任意分配給37個圖書館,有多少種方法?”這個問題的解決,一般說來,與下面所述是完全相同的,即:設有p個正整數r_1,r_2,r_3,…r_p,其中可以有零和相等的,不過,它們之間有一個關係式r_1+r_2+…+r_p=n…(1) 存在,n是一個給定的正整數,則能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數為H_n~p=C_(n+p-1)~p。 現在把這結果稍加推廣:設有p個正整數r_1,r_2,…,r_p,其中可以有相等的,但是每一個都不准小於一個給定的正整數a,而且它們之間仍有關係式(1)存在,n是一個給定的不小於p·a的正整數,試求能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數。 關於這個問題,我們這樣來討論:依假設,r_1,r_2,…,r_p都不准小於a,也就是說,它們的值至少是a。     

數學問题及解答欄

1955年6月號問題 本期問題的解答請讀者在1955年7月20日以前寄至“北京德胜門外北京師範大學數學系轉數學通報数學問題及解答欄工作組”收,問題的解答及正確解答者的姓名將在本刊1955年9月號的本欄內公佈,本欄歡迎讀者提出可供大家解答的問題。 173.設f(x)是一個實函數(即x可以取任何實數,同時f(x)也永遠是實數),並且對於任何實數a,b永遠合於f(a+b)=f(a)+f(b)且f(a·b)=f(a)·f(b)。試證f(x)或者是零函數(即對於任何實數a一概得f(a)=0)或者f(x)=x。 (註)若將原題說的“實數”都换作“有理數”,定理仍然成立。 174.設n是大於6的正整數,試證     

根式算術根的運算和根式圖象

1. 什麼是算術根? 根式a~(1/n)所代表的值(假定n是正整數)是多值的,利用代數的或非代數的運算(例如三角運算,便是非代數運算),可以求得n個不同的值,它的n次冪,均等於a我們加以限制,祇取一個主值,這個主值,叫做算術根,例如4的平方根的算術根是2。高中同學,都能解下面這個無理方程。     

“重複組合定理”的另一證明

范氏代數學§772,關於重複組合有定理如下:n個不同文字中取r個許重複的組合共有C_r~(n+r-1)個;現在我們用歸納法來證明它: 1.n=1時,定理顯然成立。 2.文字個數為n-1時,假設定理成立。 3.在n個文字中,取r個許重複的全部組合可分類如下: 1)不含某一特殊文字如a的:這顯然為n-1個文字中,取r個許重複的組合。由2,這種組合共有a_r~(n-1+r-1)=c_r~(n+r-2)個。     

星像的典型实照函数

<正> 称这处函数 f(z)为单位圆上的一个典型实照函数,记其全体为 T_r.设 f(z)是 T_r中的一个函数,f(z)映照|z|<的像是区域 D,如果对于 D 中任意一点都可以用完全落在 D 中的直线段与ω=0相联结的话,称 f(z)是一個星像的典型实照     

談第二种倒數方程

數学通報1955年10月号王友鋆同志有一篇討論倒數方程定义的文章:談倒數方程,我們在初等數学複習及研究(代數)的教学中也遇到了同样的問題,王友鋆同志的文章沒有談到倒數方程的解法,这篇短文僅就第二种倒数方程的解法問題作一些討論,为了完备起見,我們先从定义開始。定义 設f(x)=0为複數体上的n(>0)次方程,a_1,a_2,…,a_n为此方程的全部根,若-1/(a_1),-1/(a_2),…,-1/(a_n)也是f(x)=0的全部-1/a_1,-1/a_2,…,-1/a_n也是f(x)=0的全部根,則称f(x)=0为第二种倒數方程。定理1 n次方程f(x)=0为第二种倒數方程的充分必要条件是:f(x)=εx~nf(-1/x),其中当n为偶數時ε=1或-1;当n为奇數     

一個關於行列式的不等式

<正> 在研究多複變數函數論的時候,我們發現了以下的不等式:本文的目的在於給這不等式以一個代數證明,並且把它更精密化些.關於(1)式中所涉及的符號,作以下的說明:在本文中一切拉丁大寫字母都代表n行列的