二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，引起了笔者的注意，文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线，那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢？经证明，答案是肯定的。     

有心圆锥曲线切线的一类性质

文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质:给定二次曲线c:Ax2 Cy2 Dx Ey F=0及定点G(m,n),过定直线l:Amx Cny D·m x2 E·n y2 F=0上任一点M(点M在曲线c的外部,当c为双曲线时,点M不在其渐近线上)引曲线c的两条切线MA,MB,则切点弦AB所在直线恒过定点G,当n=0,E=0时,kAB·kMG     

圆锥曲线又一统一性质的再推广

文[1]介绍了圆锥曲线的一个统一性质：经过圆锥曲线通径PQ的一个端点作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M、N,则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线.文[2]放弃了弦PQ过焦点这一限制条件,将之推广为：性质经过圆锥曲线任意一条与对称轴垂     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

二次曲线的放射弦族中点轨迹

文[1]中给出了弦中点定理和逆定理,从而得到了求二次曲线弦族中点轨迹的简便方法.本文将利用此方法系统地讨论二次曲线的放射弦族中点轨迹.这一问题不仅本身饶有趣味,而且为我们用初等的方法研究二次曲线的切线奠定了基础. 过平面上一定点P的直线族被某二次曲线所截得的弦族,称为该二次曲线的、过点P的放     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨,笔者阅读后深受启发,得到了三角形的一个向量性质,并进行空间拓广.图1三角形定理1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,过P作直线AB,AC两边分别交于M,N两点,且A     

有心圆锥曲线上三角形的九点有心圆锥曲线

九点圆定理[1]是平面几何中的有名定理之一,文[2]把九点圆推广为三角形的九点二次曲线,但性质并不多.本文介绍有心圆锥曲线上三角形的九点有心圆锥曲线.     

对《有心圆锥曲线的一个性质》一文的补遗及探究

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个如下的性质:性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD.     

“一道高考试题的再推广”的一个修正及补充

文[1]推广了文[2]的两个结论，得到如下命题： 命题1 设A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右顶点，P为直线x=u上不同于点（u，0）的任一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，则     

“点重合”在三角解题中的应用

文[1]介绍了“点重合”在解析几何解题中的应用,阅后深受启发。本文旨在说明它在三角解题中的应用,其基本思想是:首先构造直线和二次曲线模型,然后根据直线和二次曲线的公共点最多不超过两个,判断出“点重合”,从而使问题得到解决。下面举例说明。     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系,受文[1]启发,笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法,现介绍如下:定理1设椭圆短半轴长为b,长轴为AA′,直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,则1)AM·A′M′=b2直线l与椭圆相切;〗2)AM·A′M′b2直线l与椭圆相离.证明设椭圆方程ax22 yb22=1(a>b>0).A(-a,0),A′(a,0),直线l:Ax By C=0.因直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,故B≠0,M(-a,aAB-C),M′(a,-aA-CB),AM=(0,aAB-C),A′M…     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

直线方程f(2x0-x,2y0-y)=f(x,y)的几何意义

文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0　 ( * )定理 1　设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明　在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一…     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广.命题1若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点,设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则点B在以MN为直径的圆内.并由此还发现了椭圆一个和谐而优美的性质.命题2若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点.1)设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则直线MN经过椭圆的右焦点F(c,0).2)设P为左准线上不同于点(-ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的…     

二次曲线——几何性质的本质

文 [1 ]分别表述了抛物线 ,椭圆 ,双曲线的一个几何性质 ,但其表述不够完整 ,未能揭示出本质 .事实上 ,其本质 ,应是二次曲线对称轴上的两个调和共轭点的几何性质 ,因此 ,应将文 [1 ]的结论推广 ,并统一地表述为定理　设Ａ、Ｂ是非退化二次曲线Γ的一条对称轴ｌ上的两个点 (不在Γ上 ) ,并设过Ａ点引直线与Γ相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则 (1 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之间时 ,等式∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ关于Γ调和共轭 (即Ｂ关于Γ的极线过Ａ) ;(2 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之外时 ,等式∠ＰＢＡ +∠ＱＢＡ=1 80°恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ…     

一个圆锥曲线统一性质的变式探究

文[1]给出如下结论:结论过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点F作不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆于M、N两点,MN的中垂线交x轴于点D,则|DF|/|MN|=e/2.(e为椭圆的离心率.)接着,文[1]将结论推广到双曲线和抛物线中,从而得出一个圆锥曲线的统一性质.