二项式定理在数列求和中的应用

所谓二项式定理,是指下面这个公式：（ａ＋ｂ）ｎ＝Ｃ０ｎａｎ＋Ｃ１ｎａｎ－１ｂ＋…＋Ｃｒｎａｎ－ｒｂｒ＋…＋Ｃｎｎｂｎ．其中ｎ是自然数．本文将举例说明,对于某些含有组合数的数列求和问题,充分利用二项式定理,可以使问题得到巧妙的解决．一、系数成等差数列的...     

二项式系数和Gauss系数

二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数万哲先（中国科学院）二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数在数学中有广泛的应用．本文先介绍二项式系数和它的性质，然后用类比的万法讨论了Ｇａｕｓｓ系数和它的性质．第一章二项式系数１．１二项式系数的定义和它的组合意义定义１．１设。和ｎ都是非...     

二项式定理

二项式定理２１４０００江苏无锡市丁蜀高级中学路雪强，唐志华我们知道（ａ＋ｂ）１＝ａ＋ｂ　（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２（ａ＋ｂ）３＝ａ２＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３那么怎样展开（ａ＋ｂ）４？（ａ＋ｂ）２０？一般地又怎样展开（ａ＋ｂ）呢？先看（ａ＋ｂ）...     

二项式定理的推广

二项式定理的推广陈皓（湖北省邮电学校４３００７２）设ｍ≥１，对于多项式（１＋ｘ＋…＋ｘｍ）ｎ＝ｎｍｊ＝０ａｊｘｊ，约定展开式中含ｘｊ项的系数ａｊ＝ｆｍ（ｎ，ｊ），易知ｆ１（ｎ，ｊ）＝Ｃｊｎ．定理１若０≤ｔｉ≤ｍ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则ｆｍ（ｎ，ｊ...     

整式目标测试题(一)

一、判断正误（每题２分）１．单项式ｘ的系数是０,次数是１．（　２．三次二项式ａ２＋ｂ３的常数项是０．（　）３．多项式ｘ３－１３ｂ４ｙ＋３ｙ２ｘ是按ｙ升幂排列的．（　）４．１３ｐ２ｑ与－９ｑ２ｐ是同类项．（　）５．（－ｍ＋ｎ）－２（ｃ＋ｄ）＝ｍ＋ｎ－２ｃ＋２ｄ．（　）二、填空题（每空３分）１．代数式２ｘ,ｘ２,ａ２ｂｃ２,ａ２２＋ｂ２－０．４ａ２,ｘ－２中单项式是,多项式是．２．单项式－２ｘ２ｙ３的系数是,－２ａｂ２５的系数是．３．多项式ａ３－６ａ２ｂ－ａｂ２＋ａ２ｂ的项数是,次数是．４．２ｘ３ｙ…     

二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

活用二项式定理面面观

学习二项式定理的重点在于利用二项式展开式进行灵活解题,通常涉及二项式展开式通项公式、赋值法求系数、不等式的放缩证明以及求近似值等方面的应用,在高考、模拟考中大都是以选择题、填空题形式出现．下面介绍二项式定理的几种典型应用,供读者参考．     

排列、组合和二项式定理

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点：两个计数原理，排列、组合的定义，排列数、组合数的定义以及排列数、组合数的公式，组合数的性质；二项式定理，二项展开式的通项．     

费尔马最后定理的证明

（ｉ）我们用（ｘ－ｂ）ｎ＋ｘｎ＝（ｘ＋ａ）来代替ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ作为费尔马最后定理（ＦＬＴ）的普遍方程式．其中ａ及ｂ是两个任意自然数．应用二项展开式，（０．１）可以写成因为ａｒ－（－ｂ）ｒ始终包含ａ＋ｂ作为它的因数，（０．２）可写成其中фｒ＝［ａｒ－（－ｂ）ｒ］／（ａ＋ｂ）对于ｒ＝１，２，…，ｎ．都是个整数．（ｉｉ）令ｓ是ａ＋ｂ的一个因数，并令ａ＋ｂ＝ｓｃ．我们可用ｘ＝ｓｙ来变换（０．３）成为下列（０．４）（ｉｉｉ）将（０．４）除以Ｓ２，我们得（０．５）式的左边，是的整系数多项式，而右边ｃф／ｓ是个常数Ｃф／ｓ．若Ｃф／ｓ不是个整数，那末我们不能求得能适合（０．５）的整数ｙ，这样ＦＬＴ对这场合是对问．若Ｃфｎ／ｓ是个整数，我们可以改变ｓ和ｃ，使ｃф／ｓ≠整数。     

与二项式系数有关问题的解题策略

<正>二项式定理是每年高考的必考内容,笔者研究了近几年有关二项式定理的高考试题.发现二项展开式系数问题占到了一定的比例,下面就二项展开式系数问题常见的题型及其解题方法归类如下.1.通项公式法求展开式的特定项(常数项、中间项、有理项、最大项等)及这些特定项的系数问题.是近年来各省市高考中二项式内容的热门题型,难     

浅谈《圆锥曲线弦的中点问题》一文的疏忽

贵刊《圆锥曲线弦的中点问题》（１９９８（３））一文给出了两个定理．定理１若过一点（ａ，ｂ）的直线被抛物线（ｙ－ｎ）２＝２ｐ（ｘ－ｍ）（ｐ≠０）截得的弦的中点为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０－ｂｘ０－ａ＝ｐｙ０－ｎ（ｘ０≠ａ，ｙ０≠ｎ）．定理２若过一点（ａ，ｂ...     

浅谈公式x~2 (a b)x ab=(x a)(x b)

浅谈公式ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）遂宁安居镇中学何旭东十字相乘法是因式分解的一种方法，其灵活性大，难度高。现行义务教材用它分解二次项系数为１和二次项系数不为１的二次三项式，但未提及双十字相乘法。现在我们用公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＝...     

一个应用广泛的不等式

一个应用广泛的不等式湖南沅陵六中周永国定理若ａ、ｂ∈Ｒ＋，ｎ∈Ｎ，则当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证对任意的非负整数ｋ≤ｎ，有（ｋ＝０，１，…，ｎ），上面ｎ＋１式相加，得等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．定理有着广泛的应用，下面举例说明．例１设ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢ...     

高考专题复习系列讲座——排列、组合和概率

[考试内容和考试要求]1．排列、组合、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理，排列，排列数公式，组合．组合数公式，组合数的两个性质．二项式定理。二项展开式的性质．     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

二项式系数的若干性质

本文准备从三个不同的方面,推证出二项展开式系数的若干性质. (一) 在统编教材中讲述了二项式公式(a+b)~(?),并且有选择地令a、b的值代入公式,得到关于二项展开式系数的一系列性质.例如证明,c_n~0+c_n~2+…     

二项式定理试题的几种常见题型

二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数、各项中的指数等方面的联系,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一,考查题型主要是选择题和填空题,多为容易题.本文以高考题为例,对其进行分类与解析,简述如下: 一、求展开式的某一项的系数 1.(α b)n(n∈N)型 例1 在(3-x)7的展开式中,x5的系数是_(用数字作答).(1994全国高考题) 解由通项公式得     

排列、组合和概率

本单元重点知识有排列与组合、二项式系数、等可能性事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件等概念；排列数与组合数公式，二项式定理及其通项公式，各类事件的概率计算公式；组合数的性质及二项式系数的性质等．求解排列组合问题的重要方法有分类求和、逆向思考、先选后排、特元优先、捆绑法、插空法、枚举法及二项展开式中的赋值法等．     

柯西中值定理的一种几何性质

柯西中值定理的一种几何性质石心坦（合肥工业大学）本文由柯西微分中值定理导出的公式，可在几何上对柯酉中值定理加以解释。设函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，且在（ａ，ｂ）内每一点处ｇ＇（ｘ）≠０，则有下面关系式成立...     

某些环的交换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｐ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ￣２和ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的字ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，且对任意的ａ．ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤ι，一含有ｘ￣２和ｎ＝ｎ＇（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得其中ι是一固定的自然数，那么，Ｒ是一个交换环。